第四章指数函数与对数函数5.3函数模型的应用训练（附解析新人教A版必修第一册）

函数模型的应用A级——基础过关练1．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足(　　)A．y＝a(1＋5%x)B．y＝a＋5%C．y＝a(1＋5%)x－1D．y＝a(1＋5%)x【答案】D　【解析】经过1年，y＝a(1＋5%)；经过2年，y＝a(1＋5%)2；…；经过x年，y＝a(1＋5%)x.2．若等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为(　　)A．y＝20－2x(x≤10)B．y＝20－2x(x＜10)C．y＝20－2x(5≤x≤10)D．y＝20－2x(5＜x＜10)【答案】D　【解析】由题意，得2x＋y＝20，所以y＝20－2x.因为y＞0，所以20－2x＞0，所以x＜10.又因为三角形两边之和大于第三边，所以解得x＞5，所以5＜x＜10.故选D．3．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系式y＝alog3(x＋2)，观测发现2019年冬(作为第1年)有越冬白鹤3000只，估计到2025年冬越冬白鹤有(　　)A．4000只B．5000只C．6000只D．7000只【答案】C　【解析】当x＝1时，由3000＝alog3(1＋2)，得a＝3000.所以到2025年冬，即第7年，y＝3000×log3(7＋2)＝6000.故选C．4．(2020年德阳模拟)为贯彻执行党中央“不忘初心，牢记使命”主题教育活动，增强企业的凝聚力和竞争力．某重装企业的装配分厂举行装配工人技术大比武，根据以往技术资料统计，某工人装配第n件工件所用的时间(单位：分)f(n)大致服从的关系为f(n)＝(k，M为常数)．已知该工人装配第9件工件用时20分钟，装配第M件工件用时12分钟，那么可大致推出该工人装配第4件工件所用时间是(　　)A．40分钟B．35分钟5 C．30分钟D．25分钟【答案】C　【解析】从函数式可看出，该工人装配第9件工件用时20分钟，装配第M件工件用时12分钟，说明9<M，所以f(a)＝＝20，解得k＝60.又4<9，所以f(4)＝＝30.故选C．5．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·lg(其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设η1＝70dB的声音强度为I1，η2＝60dB的声音强度为I2，则I1是I2的(　　)A．倍B．10倍C．10倍D．ln倍【答案】B　【解析】依题意可知，η1＝10·lg，η2＝10·lg，所以η1－η2＝10·lg－10·lg，则1＝lgI1－lgI2，所以＝10.故选B．6．某市的房价(均价)经过6年时间从1200元/m2增加到了4800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是________．【答案】－1　【解析】设6年间平均年增长率为x，则有1200(1＋x)6＝4800，解得x＝－1.7．工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系式y＝a·0.5x＋b，现已知今年1月份，2月份该产品的产量分别为1万件，1.5万件，则3月份该产品的产量为________万件．【答案】1.75　【解析】由题意得解得所以y＝－2×0.5x＋2，所以3月份的产量为－2×0.53＋2＝1.75(万件)．8．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：时)，y表示繁殖t小时后细菌总个数，则k＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．【答案】2ln2　1024　【解析】由题意知，当t＝时，y＝2，即2＝ek，所以k＝2ln2，所以y＝e2tln2.当t＝5时，y＝e2×5×ln2＝210＝1024，即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1024.9．一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%5 ，10年后森林面积变为.已知到今年为止，森林面积为a.(1)求p%的值；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？解：(1)由题意得a(1－p%)10＝，即(1－p%)10＝，解得p%＝1－.(2)设经过m年森林面积变为a，则a(1－p%)m＝a，即＝，＝，解得m＝5.故到今年为止，已砍伐了5年．B级——能力提升练10．(2020年汉中一模)我国北方某地区长期受到沙尘暴的困扰.2019年，为响应党中央提出的“防治土地荒漠化助力脱贫攻坚战”的号召，当地政府积极行动，计划实现本地区的荒漠化土地面积每年平均比上年减少10%.已知2019年该地区原有荒漠化土地面积为7万平方公里，则2025年该地区的荒漠化土地面积(万平方公里)为(　　)A．7×0.94B．7×0.95C．7×0.96D．7×0.97【答案】C　【解析】设从2019年后的第n年的沙漠化土地面积为y，则y＝7×(1－10%)n，故2025年的沙漠化土地面积为7×0.96.故选C．11．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是(　　)A．y＝100x　　B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x　　D．y＝100log2x＋100【答案】C　【解析】根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可得．12．世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据：lg2≈0.3010，100.0075≈1.017)(　　)A．1.5%　　B．1.6%C．1.7%　　D．1.8%【答案】C　【解析】由题意得(1＋x)40＝2，所以40lg(1＋x)＝lg2，即lg(1＋5 x)≈0.0075，所以1＋x＝100.0075，解得x≈0.017＝1.7%.故选C．13．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化．常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为T.现测得某种放射性元素的剩余质量A随时间t变化的6次数据如下：t(单位时间)0246810A(t)3202261601158057从以上记录可知这种元素的半衰期约为________个单位时间，剩余质量随时间变化的衰变公式为A(t)＝________________．【答案】4　320·2－(t≥0)　【解析】从题表中数据易知半衰期为4个单位时间，故T＝4由初始质量为A0＝320，则经过时间t的剩余质量为A(t)＝A0·＝320·2－(t≥0)．14．近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：h)间的关系为P(t)＝P0e－kt(P0，k均为非零常数，e为自然对数的底数)，其中P0为t＝0时的污染物数量．若经过5h过滤后还剩余90%的污染物．(1)求常数k的值；(2)试计算污染物减少到40%至少需要多长时间．(精确到1h，参考数据：ln0.2≈－1.61，ln0.3≈－1.20，ln0.4≈－0.92，ln0.5≈－0.69，ln0.9≈－0.11)解：(1)由已知得，当t＝0时，P＝P0.当t＝5时，P＝90%P0.于是有90%P0＝P0e－5k，解得k＝－ln0.9.(2)由(1)知P＝P0eln0.9.当P＝40%P0时，有0.4P0＝P0eln0.9，5 解得t＝≈≈42.故污染物减少到40%至少需要42小时．C级——探究创新练15．(多选)假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如图所示，横轴为投资时间，纵轴为回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法正确的是(　　)A．投资3天以内(含第3天)，采用方案一B．投资4天，不采用方案三C．投资6天，采用方案二D．投资10天，采用方案二【答案】ABC　【解析】由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，故A正确；在第四天，方案一、二一样多，方案三最少，故B正确；在第五天到第八天，方案二最多，故C正确；第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，故D不正确．故选ABC．5