第四章指数函数与对数函数4第2课时对数函数图象及性质的应用训练（附解析新人教A版必修第一册）

对数函数图象及性质的应用A级——基础过关练1．下列各式中错误的是(　　)A．ln0.8＞ln0.7B．log0.50.4＞log0.50.6C．lg1.6＜lg1.4D．0.30.8＜0.30.7【答案】C　【解析】由对数函数的性质可知函数y＝lgx为单调递增函数．又因为1.4<1.6，所以lg1.6>lg1.4.C错误．故选C．2．若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是(　　)A．(－∞，7]B．(2，7]C．[7，＋∞)D．(2，＋∞)【答案】B　【解析】因为lg(2x－4)≤1，所以0＜2x－4≤10，解得2＜x≤7.所以x的取值范围是(2，7]．故选B．3．(2021年蚌埠三模)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)，且x∈[0，1)时，f(x)＝log2(x＋1)．若a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是(　　)A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．a＞c＞b【答案】B　【解析】由f(x＋1)＝f(x)，得f＝f，f＝f.因为0<<<<1，且f(x)在[0，1)上为增函数，所以f<f<f，即f<f<f，所以c<a<b.故选B．4．已知y＝loga(2－ax)在[0，1]上为x的减函数，则a的取值范围为(　　)A．(0，1)　　B．(1，2)C．(0，2)　　D．[2，＋∞)【答案】B　【解析】题目中隐含条件a>0，当a>0时，2－ax为减函数，故要使y＝loga(2－ax)在[0，1]上是减函数，则a>1，且2－ax在x∈[0，1]时恒为正数，即2－a>0，故可得1<a<2.5．(多选)设函数f(x)＝logx，下列四个命题正确的是(　　)A．函数f(|x|)为偶函数B．若f(a)＝|f(b)|，其中a＞0，b＞0，a≠b，则ab＝16 C．函数f(－x2＋2x)在(1，3)上为单调递增函数D．若0＜a＜1，则|f(1＋a)|＜|f(1－a)|【答案】ABD　【解析】f(x)＝logx，x＞0.函数f(|x|)＝log|x|，因为f(|－x|)＝f(|x|)，所以f(|x|)为偶函数，A正确；若f(a)＝|f(b)|，其中a＞0，b＞0，因为a≠b，所以f(a)＝|f(b)|＝－f(b)，所以loga＋logb＝log(ab)＝0，所以ab＝1，B正确；函数f(－x2＋2x)＝log(－x2＋2x)＝log[－(x－1)2＋1]，由－x2＋2x＞0，解得0＜x＜2，所以函数的定义域为(0，2)，因此在(1，3)上不具有单调性，C不正确；若0＜a＜1，所以1＋a＞1>1－a，所以f(1＋a)＜0＜f(1－a)，故|f(1＋a)|－|f(1－a)|＝－f(1＋a)－f(1－a)＝－log(1－a2)＜0，即|f(1＋a)|＜|f(1－a)|，D正确．故选ABD．6．比较大小：(1)log22________log2；(2)log8π________logπ8.【答案】(1)＞　(2)＜　【解析】(1)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且2＞，所以log22＞log2.(2)因为函数y＝log8x为定义域上的增函数，且π＜8，所以log8π＜log88＝1.同理1＝logππ＜logπ8，所以log8π＜logπ8.7．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．【答案】　【解析】因为y＝log5x与y＝2x＋1均为定义域上的增函数，故函数f(x)＝log5(2x＋1)是其定义域上的增函数，所以函数f(x)的单调增区间是.8．(2021年上海高一检测)设f(x)＝lgx，若f(1－a)－f(a)＞0，则实数a的取值范围为________．【答案】　【解析】f(x)＝lgx在(0，＋∞)上单调递增，因为f(1－a)－f(a)＞0，所以1－a＞a＞0，所以a∈.9．(2021年佛山高一期末)设函数f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，a≠1)，且f(1)＝2.6 (1)求a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间上的值域．解：(1)因为f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)，所以f(1)＝loga2＋loga2＝loga4＝2，解得a＝2.又因为所以x∈(－1，3)．所以f(x)的定义域为(－1，3)．(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]．当x∈(－1，1]时，f(x)单调递增；当x∈(1，3)时，f(x)单调递减．所以f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.又因为f(0)＝log23，f＝log2，f－f(0)＝log2－log23＝log2>0，所以f(0)＜f.所以f(x)在上的最小值是f(0)＝log23.所以f(x)在区间上的值域是[log23，2]．B级——能力提升练10．已知a＝log23.4，b＝log43.6，c＝log30.3，则(　　)A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．a＞c＞bD．c＞a＞b【答案】A　【解析】因为a＝log23.4＞1，0＜b＝log43.6＜1，c＝log30.3＜0，所以a＞b＞c.故选A．11．(2020年龙岩高一期中)已知函数f(x)＝loga＋2(a＞0且a≠1)的图象恒过定点P(m，n)，则函数g(x)＝logm(x2－2nx－5)的单调递增区间是(　　)A．(－∞，－1)B．(－∞，2)C．(2，＋∞)D．(5，＋∞)【答案】D　【解析】对于f(x)＝loga＋2(a＞0，且a≠1)，令x－＝1，得x＝，y＝2，所以图象恒过定点.再根据它的图象经过定点P(m，n)，得m＝，n6 ＝2，则g(x)＝logm(x2－2nx－5)＝log(x2－4x－5)．由x2－4x－5>0，得x<－1或x>5.易知h(x)＝x2－4x－5在(－∞，－1)上单调递减，在(5，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性可知g(x)的增区间为(5，＋∞)．故选D．12．(2021年杭州模拟)若定义运算f(a*b)＝则函数f(log2(1＋x)*log2(1－x))的值域是(　　)A．(－1，1)B．[0，1)C．[0，＋∞)D．[0，1]【答案】B　【解析】因为f(a*b)＝所以y＝f(log2(1＋x)*log2(1－x))＝当0≤x＜1时，y＝log2(1＋x)在[0，1)上为增函数，所以y∈[0，1)．当－1＜x＜0，y＝log2(1－x)在(－1，0)上为减函数，所以y∈(0，1)．所以y∈[0，1)，故f(log2(1＋x)*log2(1－x))的值域为[0，1)．故选B．13．设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝________．【答案】4　【解析】因为a>1，所以f(x)＝logax在[a，2a]上递增，所以loga(2a)－logaa＝，即loga2＝，所以a＝2，解得a＝4.14．已知函数f(x)＝loga(ax2－x)．(1)若a＝，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在区间[2，4]上是增函数，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝时，易知函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)．易知y＝x2－x在(－∞，0)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．故函数f(x)＝loga(ax2－x)＝log在(－∞，0)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减．(2)令g(x)＝ax2－x，则g(x)图象的对称轴为x＝.又f(x)在[2，4]上单调递增，则6 ①当a＞1时，有≤2，解得a＞1.又因为g(x)在[2，4]上恒大于0，所以g(2)＞0，所以4a－2>0，解得a＞，所以a＞1.②当0＜a＜1时，必须使g(x)＝ax2－x在[2，4]上单调递减，有≥4，解得0＜a≤.又因为g(x)在[2，4]上恒大于0，所以g(4)＞0，所以16a－4>0，解得a＞，与0＜a≤矛盾．综上，a的取值范围为(1，＋∞)．C级——探究创新练15．(2020年北海期末)已知函数f(x)＝log的图象关于原点对称，其中a为常数．(1)求a的值；(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log(x－1)＜m恒成立，求实数m的取值范围；(3)若关于x的方程f(x)＝log(x＋k)在[2，3]上有解，求k的取值范围．解：(1)函数f(x)＝log的图象关于原点对称，所以f(x)＋f(－x)＝0，即log＋log＝0.所以log＝0.所以×＝1恒成立，即1－a2x2＝1－x2，即(a2－1)x2＝0恒成立．所以a2－1＝0，解得a＝±1.又a＝1时，f(x)＝log无意义，故a＝－1.6 (2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log(x－1)＜m恒成立，即log＋log(x－1)＜m，所以log(x＋1)＜m在(1，＋∞)恒成立．由于y＝log(x＋1)是减函数，故当x＝1，函数取到最大值－1，所以m≥－1，即实数m的取值范围是m≥－1.(3)f(x)＝log在[2，3]上是增函数，g(x)＝log(x＋k)在[2，3]上是减函数，所以只需要即可保证关于x的方程f(x)＝log(x＋k)在[2，3]上有解．所以解得－1≤k≤1.所以当－1≤k≤1时，关于x的方程f(x)＝log(x＋k)在[2，3]上有解．6