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【高考复习方案】(新课标)2022届高三数学二轮限时训练 第16讲 圆锥曲线中的热点问题B

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[第16讲 圆锥曲线中的热点问题](时间:5分钟+40分钟)基础演练1.已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点和.(1)求椭圆的方程.(2)设Q(x0,y0)(x0y0≠0)为椭圆C上一点,取点A(0,),E(x0,0),连接AE,过点A作AE的垂线交x轴于点D,点G是点D关于原点的对称点,证明:直线QG与椭圆只有一个公共点.2.已知焦点在y轴,顶点在原点的抛物线C1经过点P(2,2),以C1上一点C2为圆心的圆过定点A(0,1),记M,N为圆C2与x轴的两个交点.(1)求抛物线C1的方程.(2)当圆心C2在抛物线上运动时,试判断|MN|是否为一定值?请证明你的结论.(3)当圆心C2在抛物线上运动时,记|AM|=m,|AN|=n,求+的最大值.3.已知A,B是椭圆+y2=1上的两点,且=λ,其中F为椭圆的右焦点.(1)当λ=2时,求直线AB的方程;(2)设点M,求证:当实数λ变化时,·恒为定值.提升训练-5-\n4.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-,0),F2(,0),椭圆上的点P满足∠PF1F2=90°且△PF1F2的面积S△PF1F2=.(1)求椭圆C的方程.(2)是否存在直线l,使l与椭圆C交于不同的两点M,N,且线段MN恰被直线x=-1平分?若存在,求出l的斜率取值范围;若不存在,请说明理由.5.P(x0,y0)是椭圆+=1(a>b>0)上一点,A,B分别是椭圆的左右顶点,直线PA,PB的斜率之积为-.(1)求椭圆的离心率;(2)过椭圆的右焦点且斜率为的直线交椭圆于M(x1,y1),N(x2,y2)两点,且x1<x2,O为坐标原点,C为椭圆上一点,且=λ+,求实数λ的值.-5-\n专题限时集训(十六)B【基础演练】1.解:(1)∵椭圆C:+=1(a>b>0)过点和,∴解得a2=2,b2=1.∴椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明:设D(x1,0).∵A(0,),E(x0,0),∴=(x0,-),=(x1,-),由题意知AE与AD垂直,所以有·=x1·x0+2=0,∴x1=-,又点G是点D关于原点的对称点,∴G,∴kQG===,∴lQG:y-y0=-(x-x0).整理得y=.(*)将(*)式代入椭圆方程得x2+2·=2,∴整理得x2-2x0·x+x=0.∴Δ=(-2x0)2-4·x=0.∴直线QG与椭圆C只有一个公共点.2.解:(1)由已知,设抛物线方程为x2=2py(p>0),则22=2p×2,解得p=1.故所求抛物线C1的方程为x2=2y.(2)方法一:设圆心C2,则圆C2的半径r=,圆C2的方程为(x-a)2+=a2+.令y=0,得x2-2ax+a2-1=0,得x1=a-1,x2=a+1.|MN|=|x1-x2|=2(定值).-5-\n方法二:设圆心C2(a,b),因为圆过点A(0,1),所以半径r=,因为C2在抛物线上,所以a2=2b,且圆被x轴截得的弦长|MN|=2=2=2=2(定值).(3)由(2),不妨设M(a-1,0),N(a+1,0),则m==,n==,+===2,a=0时,+=2;a≠0时,+=2≤2,故当且仅当a=±时,+取得最大值2.3.解:(1)由已知条件知,直线AB过椭圆右焦点F(1,0).又直线AB不与x轴重合时,可设AB:x=my+1,代入椭圆方程,并整理得(2+m2)y2+2my-1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得y1+y2=,y1y2=.又由=2得-y1=2y2,所以y1=,y2=.于是=,解之得m=±.故直线AB的方程为x±y-1=0.(2)证明:·=+y1y2=+y1y2=(1+m2)y1y2-(y1+y2)+=-++===-为定值.(经检验,当AB与x轴重合时也成立)4.解:(1)由题意知:|F1F2|=2c=2,∵椭圆上的点P满足∠PF1F2=90°,且S△PF1F2=,∴S△PF1F2=|F1F2|·|PF1|=×2×|PF1|=.∴|PF1|=,|PF2|==.∴2a=|PF1|+|PF2|=4,a=2.又∵c=.∴b==1.-5-\n∴椭圆C的方程为+y2=1.(2)假设这样的直线l存在.∵l与直线x=-1相交,∴直线l的斜率存在.设l的方程为y=kx+m,由得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.(*)∵直线l与椭圆C有两个交点,∴(*)的判别式Δ=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-4)>0,即m2<4k2+1.①设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=.∵MN被直线x=-1平分,可知k≠0,∴==-1,m=.②把②代入①,得<4k2+1,即48k4+8k2-1>0.∵k2≥0,∴k2>.∴k<-或k>.即存在满足题设条件的直线l,且l的斜率取值范围是∪.5.解:(1)设P(x0,y0),A(-a,0),B(a,0),则kPA=,kPB=,由kPA·kPB=-,得·=-,又因为+=1,所以=,e==.(2)由(1)得a2=3c2,b2=2c2,故椭圆方程为+=1,与直线y=(x-c)联立得2x2+3×2(x-c)2-6c2=0,即8x2-12cx=0,解得x1=0,x2=,y1=-c,y2=c,即M(0,-c),N,设M(x1,y1),N(x2,y2),C(x3,y3),因为=λ+,所以x3=λx1+x2=,y3=λy1+y2=-λc+c,代入椭圆方程得2+3-6c2=0,化简得λ2-λ=0,解得λ=0或λ=1.-5-

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发布时间:2022-08-26 00:07:14 页数:5
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文章作者:U-336598

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