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【高考领航】2022高考数学总复习 6-4 基本不等式练习 苏教版
【高考领航】2022高考数学总复习 6-4 基本不等式练习 苏教版
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【高考领航】2022高考数学总复习6-4基本不等式练习苏教版【A组】一、填空题1.(2022·江苏三市第二次调研)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是________.解析:依题意得x+1>1,2y+1>1,易知(x+1)(2y+1)=9,则(x+1)+(2y+1)≥2=2=6,当且仅当x+1=2y+1=3,即x=2,y=1时取等号,因此有x+2y≥4,所以x+2y的最小值是4.答案:42.(2022·苏北八校三模)已知函数y=a2x-4+1(a>0且a≠1)的图象过定点A,且点A在直线+=1(m,n>0)上,则m+n的最小值为________.解析:由已知函数y=a2x-4+1的图象过定点A(2,2),且点A在直线+=1上,所以+=1,所以m+n=(m+n)=4++≥4+2=8,当且仅当即m=n=4时取等号,所以m+n的最小值为8.答案:83.(2022·高考重庆卷)已知a>0,b>0,a+b=2,则y=+的最小值是________.解析:依题意得+=(a+b)=≥=,当且仅当即a=,b=时取等号,即+的最小值是.答案:4.设a>0,b>0.若是3a与3b的等比中项,则+的最小值为________.解析:由题有()2=3a·3b⇒a+b=1,又a>0,b>0,∴+=(+)(a+b)=1+++1≥2+2=4,∴+的最小值为4.答案:47\n5.已知x,y∈R+,且满足+=1,则xy的最大值为____.解析:∵x>0,y>0,∴+==1可化为4x+3y=12,∴(4x)·(3y)≤2=36(当且仅当4x=3y时等号成立),即12xy≤36,∴xy≤3.∴xy的最大值为3.答案:36.从等腰直角三角形纸片ABC上,剪下如图所示的两个正方形,其中BC=2,∠A=90°,则这两个正方形的面积之和的最小值为__________.解析:设两个正方形边长分别为a,b,则由题可得a+b=1,且≤a,b≤,S=a2+b2≥2×()2=,当且仅当a=b=时取等号.答案:7.若对任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围是________.解析:∵x>0,∴x+≥2(当且仅当x=1时取等号),∴=≤=,即的最大值为,故a≥.答案:[,+∞)二、解答题8.(1)已知x,y为正实数,且2x+y=1,求+的最小值;(2)已知a、b为正数,且a2+=1,求a的最大值以及达到最大值时a、b的值.解:(1)法一:+=+7\n=2+1++≥3+2.当且仅当=,即x=1-时取最小值3+2.法二:+=(+)(2x+y)=3++≥3+2.当且仅当=,即x=1-时取最小值3+2.(2)因为a、b都为正数,且a2+=1,所以a=·a·≤·=,当且仅当a=时,等号成立.由 得故当a=,b=时,a有最大值.9.某养殖厂需定期购买饲料,已知该厂每天需要饲料200公斤,每公斤饲料的价格为1.8元,饲料的保管与其他费用为平均每公斤每天0.03元,购买饲料每次支付运费300元.(1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少;(2)若提供饲料的公司规定,当一次购买饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠(即为原价的85%),问该厂是否可以考虑利用此优惠条件,请说明理由.解:(1)设该厂应隔x(x∈N*)天购买一次饲料,平均每天支付的总费用为y1.∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03=6(元),∴x天饲料的保管与其他费用共是6(x-1)+6(x-2)+…+6=3x2-3x(元),从而有y1=(3x2-3x+300)+200×1.8=+3x+357≥417.7\n当且仅当=3x,即x=10时,y1有最小值.即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.(2)若厂家利用此优惠条件,则至少25天购买一次饲料,设该厂利用此优惠条件,每隔x天(x≥25)购买一次饲料,平均每天支付的总费用为y2,则y2=(3x2-3x+300)+200×1.8×0.85=+3x+303(x≥25).∵g(x)=+3x在[10,+∞)上是增函数,∴y2在[25,+∞)上也是增函数.∴当x=25时,y2有最小值390,而390<417.∴该厂可以接受此优惠条件.【B组】一、填空题1.(2022·常州重点中学联考)已知正数x,y满足x+2≤λ(x+y)恒成立,则实数λ的最小值为________.解析:依题意得x+2≤x+(x+2y)=2(x+y),即≤2(当且仅当x=2y时取等号),即的最大值是2;又λ≥,因此有λ≥2,即λ的最小值是2.答案:22.(2022·苏州联合测试)已知M是△ABC内的一点,且·=2,∠BAC=30°,若△MBC,△MCA,△MAB的面积分别为,x,y,则+的最小值为________.解析:依题意得·=||·||cos30°=2,则||·||=4,故S△ABC=||·||sin30°=1,即+x+y=1,x+y=,所以+=2(x+y)·=2≥2=18,当且仅当=,即y=2x=时,等号成立,因此+的最小值为18.答案:183.(2022·豫西五校联考)已知a,b∈R,且ab=50,则|a+2b|的最小值是________.7\n解析:依题意得,a,b同号,于是有|a+2b|=|a|+|2b|≥2=2=2=20(当且仅当|a|=|2b|时取等号),因此|a+2b|的最小值是20.答案:204.(2022·北京朝阳期末)某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*),则当每台机器运转________年时,年平均利润最大,最大值是________万元.解析:每台机器运转x年的年平均利润为=18-,而x>0,故≤18-2=8,当且仅当x=5时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为8万元.答案:5 85.(2022·高考北京卷)某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品________.解析:设每件产品的平均费用为y元,由题意得y=+≥2=20.当且仅当=(x>0),即x=80时“=”成立.答案:806.(2022·高考浙江卷)若实数x、y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是________.解析:由x2+y2+xy=1,得1=(x+y)2-xy,∴(x+y)2=1+xy≤1+.解得-≤x+y≤.当且仅当x=y=时x+y取最大值为.答案:7.(2022·泰州模拟)设a,b是实数,且a+b=3,则2a+2b的最小值是________.解析:2a+2b≥2=2=2·=4∴2a+2b≥4.答案:47\n二、解答题8.已知lg(3x)+lgy=lg(x+y+1).(1)求xy的最小值;(2)求x+y的最小值.解:由lg(3x)+lgy=lg(x+y+1),得(1)∵x>0,y>0,∴3xy=x+y+1≥2+1.∴3xy-2-1≥0.即3()2-2-1≥0.∴(3+1)(-1)≥0.∴≥1.∴xy≥1.当且仅当x=y=1时,等号成立.∴xy的最小值为1.(2)∵x>0,y>0,∴x+y+1=3xy≤3·2.∴3(x+y)2-4(x+y)-4≥0.∴[3(x+y)+2][(x+y)-2]≥0.∴x+y≥2.当且仅当x=y=1时取等号,∴x+y的最小值为2.9.(2022·苏北四市联考)某开发商用9000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼,规划要求写字楼每层建筑面积为2000平方米.已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4000元,从第二层开始,每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元.(1)若该写字楼共x层,总开发费用为y万元,求函数y=f(x)的表达式;(总开发费用=总建筑费用+购地费用)(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低,该写字楼应建为多少层?解:(1)由已知,写字楼最下面一层的总建筑费用为:4000×2000=8000000(元)=800(万元),从第二层开始,每层的建筑总费用比其下面一层多:100×2000=200000(元)=20(万元),写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项,20为公差的等差数列,所以函数表达式为:7\ny=f(x)=800x+×20+9000=10x2+790x+9000(x∈N*);(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为:g(x)=×10000==50≥50×(2+79)=6950(元).当且仅当x=,即x=30时等号成立.答:该写字楼建为30层时,每平方米平均开发费用最低.7
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:04:22
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文章作者:U-336598
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