五年高考2022届高考数学复习第一章第二节命题及其关系充分条件与必要条件文全国通用

第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件考点一　四种命题及其关系1．(2022·山东，5)若m∈R,命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是(　　)A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0解析　原命题为“若p，则q”，则其逆否命题为“若綈q，则綈p”．∴所求命题为“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．答案　D2．(2022·四川，15)已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x2＋ax(其中a∈R)．对于不相等的实数x1，x2，设m＝，n＝，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝－n.其中真命题有________(写出所有真命题的序号)．解析　设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x1，g(x1))，D(x2，g(x2))，对于①：从y＝2x的图象可看出，m＝kAB＞0恒成立，故正确；对于②：直线CD的斜率可为负，即n＜0，故不正确；对于③：由m＝n得f(x1)－f(x2)＝g(x1)－g(x2)，即f(x1)－g(x1)＝f(x2)－g(x2)，令h(x)＝f(x)－g(x)＝2x－x2－ax，则h′(x)＝2x·ln2－2x－a，由h′(x)＝0，∴2x·ln2＝2x＋a，(*)结合图象知，当a很小时，方程(*)无解，∴函数h(x)不一定有极值点，就不一定存在x1，x2使f(x1)－g(x1)＝f(x2)－g(x2)，不一定存在x1，x2使得m＝n；对于④：由m＝－n，得f(x1)－f(x2)＝g(x2)－g(x1)，即f(x1)＋g(x1)＝f(x2)＋g(x2)，5\n令F(x)＝f(x)＋g(x)＝2x＋x2＋ax，则F′(x)＝2xln2＋2x＋a，由F′(x)＝0，得2xln2＝－2x－a，结合如图所示图象可知，该方程有解，即F(x)必有极值点，∴存在x1，x2使F(x1)＝F(x2)，得m＝－n.故①④正确．答案　①④3．(2022·陕西，8)原命题为“若＜an，n∈N＋，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)A．真，真，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假解析　从原命题的真假入手，由于＜an⇔an＋1＜an⇔{an}为递减数列，即原命题和逆命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A.答案　A4．(2022·陕西，6)设z是复数，则下列命题中的假命题是(　　)A．若z2≥0，则z是实数B．若z2＜0，则z是纯虚数C．若z是虚数，则z2≥0D．若z是纯虚数，则z2＜0解析　由复数的运算可知若z2≥0，则z一定是实数，A是真命题；若z2＜0，则z一定是纯虚数，B是真命题；若z是虚数，则z2可能还是虚数，则不能与0比较大小，C是假命题；若z是纯虚数，则z2＜0，所以D是真命题．答案　C5．(2022·湖南，3)命题“若α＝，则tanα＝1”的逆否命题是(　　)A．若α≠，则tanα≠1B．若α＝，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠D．若tanα≠1，则α＝解析　根据逆否命题的定义可知C正确．答案　C6．(2022·陕西，1)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是(　　)A．若a≠－b，则|a|≠|b|5\nB．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－bD．若|a|＝|b|，则a＝－b解析　根据逆命题的定义将原命题的条件和结论互换即可．答案　D考点二　充分条件与必要条件1．(2022·天津，4)设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析　由|x－2|＜1得1＜x＜3，所以1＜x＜2⇒1＜x＜3；但1＜x＜3⇒/1＜x＜2，故选A.答案　A2．(2022·重庆，2)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　)A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件解析　解x2－2x＋1＝0得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件．答案　A3．(2022·福建，12)“对任意x∈，ksinxcosx＜x”是“k＜1”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析　∀x∈，ksinxcosx＜x⇔∀x∈，k＜，令f(x)＝2x－sin2x.∴f′(x)＝2－2cos2x＞0，∴f(x)在为增函数，∴f(x)＞f(0)＝0.∴2x＞sin2x，∴＞1，∴k≤1，故选B.答案　B4．(2022·安徽，3)设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q成立的(　　)A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析　∵x<3⇒－1<x<3，但－1<x<3⇒x<3，∴p是q的必要不充分条件，故选C.答案　C5．(2022·陕西，6)“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的(　　)5\nA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析　∵sinα＝cosα⇒cos2α＝cos2α－sin2α＝0；cos2α＝0⇔cosα＝±sinα⇒/sinα＝cosα，故选A.答案　A6．(2022·湖南，3)设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析　由x＞1知，x3＞1；由x3＞1可推出x＞1.故选C.答案　C7．(2022·浙江，3)设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析　当a＝3，b＝－1时，a＋b＞0，但ab＜0，故充分性不成立；当a＝－1，b＝－2时，ab＞0，而a＋b＜0.故必要性不成立．故选D.答案　D8．(2022·新课标全国Ⅱ，3)函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则(　　)A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析　设f(x)＝x3，f′(0)＝0，但是f(x)是单调增函数，在x＝0处不存在极值，故若p则q是一个假命题，由极值的定义可得若q则p是一个真命题．故选C.答案　C9．(2022·北京，5)设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析　可采用特殊值法进行判断，令a＝1，b＝－1，满足a＞b，但不满足a2＞b2，即条件“a＞b”不能推出结论“a2＞b2”；再令a＝－1，b＝0，满足a2＞b2，但不满足a＞b，即结论“a2＞b2”不能推出条件“a＞b”．故选D.答案　D5\n10．(2022·广东，7)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sinA≤sinB”的(　　)A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件解析　由正弦定理，得＝，故a≤b⇔sinA≤sinB，选A.答案　A11．(2022·安徽，4)“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析　由(2x－1)x＝0，得x＝或x＝0.故(2x－1)x＝0是x＝0的必要不充分条件．答案　B12．(2022·福建，2)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析　当x＝2且y＝－1时，点P在直线l：x＋y－1＝0上成立；反之则不成立．答案　A13．(2022·湖北，9)设a，b，c∈R，则“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的(　　)A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要的条件解析　由abc＝1，得a＋b＋c≥＋＋＝＋＋，反之不成立，故选A.答案　A5