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大纲版数学高考名师一轮复习教案45三角函数的图象和性质microsoftword文档doc高中数学

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4.5三角函数的图象和性质一、明确复习目标1.掌握正、余弦函数,正余切函数的性质;2.能把一般的三角函数变形为y=Asin(ωx+φ)的形式,并能求解它的周期、最值、单调区间以及奇偶性、图象的对称性等问题。二.建构知识网络1.三角函数的性质:(结合图象理解,表中))y=sinxy=cosxy=tanxy=cotx定义域RR{x∈R|x≠kπ}值域[-1,1][-1,1]RR周期2π2πππ奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数增区间无减区间无(kπ,kπ+π)对称轴x=kπ无对称中心(,0)2.函数y=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A>0,ω>0)的性质:周期:;单调递增区间:由2kπ-≤ωx+φ≤2kπ+(k∈Z)可解得.单调递减区间.由2kπ+≤ωx+φ≤2kπ+](k∈Z)可解得.16/16\n类似可求,对称轴和对称中心.特别提醒:假设A或ω是负数,单调区间应在相反的单调区间内求。y=Acos(ωx+φ)也类似。3.三角函数求最值的方法:化Asin(ωx+φ),换元法,配方法,数形结合,不等式法,单调性法等.三、双基题目练练手1.(2022浙江)已知k<-4,那么函数y=cos2x+k(cosx-1)的最小值是()(A)1(B)-1(C)2k+1(D)-2k+12.(2022全国)函数的单调增区间为()ABCD3.(2022江西)设函数为()A.周期函数,最小正周期为B.周期函数,最小正周期为C.周期函数,数小正周期为D.非周期函数4.已知sinα+cosβ=1,那么y=sin2α+cosβ的取值范围是__________.5.为了使y=sinωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值,那么ω的最小值是6.16/16\n,的最小正周期是________.7.给出以下命题:①正切函数的图象的对称中心是唯一的;②y=|sinx|、y=|tanx|的周期分别为π、;③假设x1>x2,那么sinx1>sinx2;④假设f(x)是R上的奇函数,它的最小正周期为T,那么f(-)=0.其中正确命题的序号是____________.◆答案:1-3.ACA;4.y=sin2α-sinα+1=(sinα-)2+.∵cosβ=1-sinα.∴sinα∈[0,1]∴y∈[,1].(此题易错解为y=sin2α+1-sinα,sinα∈[-1,1],求y的取值范围.)5.49×T≤1,即×≤1,∴ω≥.答案思考:假设条件改为在[x0,x0+1]上至少出现50次最大值呢?6.化为一个角的三角数周期是π;7.答案:④四、经典例题做一做【例1】(2022春北京)已知函数f(x)=,求f(x)的定义域,判断它的奇偶性,并求其值域.解:由cos2x≠0得2x≠kπ+,解得x≠+(k∈Z).所以f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠+,k∈Z}.因为f(x)的定义域关于原点对称,且16/16\nf(-x)===f(x),所以f(x)是偶函数.又当x≠+(k∈Z)时,f(x)===3cos2x-1=,所以f(x)的值域为{y|-1≤y<或<y≤2}.◆提炼方法:对复杂的函数式,要先化简为Asin(ωx+φ)+m,或Acos(ωx+φ)+m的形式,再讨论性质.【例2】锐角x、y满足sinycscx=cos(x+y)且x+y≠,求tany的最大值.和取最大值时角x的集合.解:∵sinycscx=cos(x+y),∴sinycscx=cosxcosy-sinxsiny,siny(sinx+cscx)=cosxcosy.∴tany====≤=,当且仅当tanx=时取等号.∴tany的最大值为.对应角x的集合为16/16\n◆提炼方法:先由已知变换出tany与x的函数关系,再用不等式求最值;是三角、函数、不等式知识的综合应用。【例3】(2022辽宁)已知函数,.求:(I)函数的最大值及取得最大值的自变量的集合;(II)函数的单调增区间.(I)解法一:∴当,即时,取得最大值因此,取得最大值的自变量的集合是解法二:∴当,即时,取得最大值因此,取得最大值的自变量的集合是(II)解:由题意得,即16/16\n因此,的单调增区间是【例4】是否存在实数a,使得函数在闭区间上的最大值是1?假设存在,求出对应的a值?假设不存在,试说明理由。解:当时,,令那么,综上知,存在符合题意。◆思维点拨:化,闭区间上的二次函数的最值问题字母分类讨论思路。16/16\n【研讨.欣赏】(2022江苏)已知函数上的偶函数,其图象关于点对称,且在区间上是单调函数.求的值。解:由是偶函数,得,即,所以,对任意x都成立,且,所以得,依题设,所以解得.由的图象关于点M对称,得,取得所以,…,….当k=0时,上是减函数;当k=1时,上是减函数;当时,上不是单调函数.所以,综合得.五.提炼总结以为师1.熟记三角函数的图象与各性质很重要.2.设参可以帮助理解,熟练了以后可以省却这个过程.16/16\n3.要善于运用图象解题,数形结合,数形转化。同步练习4.5三角函数的图象和性质【选择题】1.(2022福建9)已知函数在区间上的最小值是,那么的最小值等于()(A)    (B)    (C)2    (D)32.(2022全国卷Ⅱ)已知函数内是减函数,那么()A.0<≤1B.-1≤<0C.≥1D.≤-13.(2022辽宁)函数,的值域是()(A)(B)(C)(D)4.(2022全国卷Ⅱ)函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是()A.B.C.πD.2π【填空题】5.函数的最小值等于________。16/16\n6.半径为R的圆的内接矩形周长的最大值等于__________.◆练习简答:1-4:BBCC;5.令t=sinx+cosx,那么y=最小值6.4R.【解答题】7.设,假设方程有两解,求的取值范围。解:设,要使两函数图象有交点,由图可知。8.(2022浙江)已知函数f(x)=-sin2x+sinxcosx.(Ⅰ)求f()的值;(Ⅱ)设∈(0,),f()=-,求sin的值.解:(Ⅰ)(Ⅱ)解得16/16\n9.(2022陕西)已知函数f(x)=sin(2x-)+2sin2(x-)(x∈R)(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合解:(Ⅰ)f(x)=sin(2x-)+1-cos2(x-)=2[sin2(x-)-cos2(x-)]+1=2sin[2(x-)-]+1=2sin(2x-)+1∴T==π(Ⅱ)当f(x)取最大值时,sin(2x-)=1,有2x-=2kπ+即x=kπ+(k∈Z)∴所求x的集合为{x∈R|x=kπ+,(k∈Z)}10.已知函数(a∈(0,1)),求f(x)的最值,并讨论周期性,奇偶性,单调性。解:三角函数式降幂16/16\n∴f(x)=令那么y=au∴0<a<1y=au是减函数∴由得,此为f(x)的减区间由得,此为f(x)增区间∵u(-x)=u(x)∴f(x)=f(-x),f(x)为偶函数∵u(x+π)=f(x),∴f(x+π)=f(x)∴f(x)为周期函数,最小正周期为π当x=kπ(k∈Z)时,ymin=1当x=kπ+(k∈Z)时,ynax=【探索题】函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为g(a),a∈R,(1)求g(a);(2)假设g(a)=,求a及此时f(x)的最大值.解:(1)f(x)=1-2a-2acosx-2(1-cos2x)=2cos2x-2acosx-1-2a=2(cosx-)2--2a-1.假设<-1,即a<-2,那么当cosx=-1时,f(x)有最小值g(a)=2(-1-)2--2a-1=1;假设-1≤≤1,即-2≤a≤2,那么当cosx=时,f(x)有最小值g(a)=--2a-1;假设>1,即a>2,那么当cosx=1时,f(x)有最小值g(a)=2(1-)2--2a-1=1-4a.16/16\n∴g(a)=(2)假设g(a)=,由所求g(a)的解析式知只能是--2a-1=或1-4a=.由a=-1或a=-3(舍).由a=(舍).此时f(x)=2(cosx+)2+,得f(x)max=5.∴假设g(a)=,应a=-1,此时f(x)的最大值是5.备选题5.函数的值域是_____________[](2022安徽)设,对于函数,以下结论正确的选项是()A.有最大值而无最小值B.有最小值而无最大值C.有最大值且有最小值D.既无最大值又无最小值【例1】试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值,假设x∈[0,]呢?16/16\n剖析:注意sinx+cosx与sinx·cosx之间的关系,进展换元可将原函数转化成一元二次函数来解.解:令t=sinx+cosx=sin(x+)∈[-,],那么y=t2+t+1∈[,3+],即最大值为3+,最小值为.当x∈[0,]时,那么t∈[1,],此时y的最大值是3+,而最小值是3.评述:此题考察的是换元法,转化思想,在换元时要注意变量的取值范围.(2022广东)已知函数(Ⅰ)求的最小正周期;(Ⅱ)求的最大值和最小值;(Ⅲ)假设,求的值解:(Ⅰ)的最小正周期为;(Ⅱ)的最大值为和最小值;(Ⅲ)因为,即,即(2022春上海19)已知函数.(1)假设,求函数的值;(2)求函数的值域.19.[解](1),16/16\n.(2),,,,函数的值域为.6.化简并求函数的值域和最小正周期和递增区间.解:所以函数f(x)的值域为,最小正周期由.(k∈Z)(2022上海)求函数的值域和最小正周期.[解]16/16\n∴函数的值域是,最小正周期是;(2022重庆卷)假设函数的最大值为,试确定常数a的值.解:因为的最大值为的最大值为1,那么所以8.已知(1)假设x∈R,求f(x)的单调递增区间;(2)假设时,f(x)的最大值为4,求的值〖解〗(1)由使,解得,16/16\n(2)由f(x),因此f(x)在上的最大值为+3,使+3=4,=1.16/16

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发布时间:2022-08-25 16:09:07 页数:16
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文章作者:U-336598

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