大纲版数学高考名师一轮复习教案44三角函数的图象解析式microsoftword文档doc高中数学
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4.4三角函数的图象解析式一、明确复习目标1.了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,2.会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图,理解Aω、φ的物理意义3.会由图象求y=Asin(ωx+φ)的解析式.二.建构知识网络1.三角函数线[见课本]利用三角函数线可以:比较三角函数值的大小,求取值范围,证明:“假设0<α<那么sinα<α<tanα”;画三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象;2.y=Asin(ωx+φ)的图象:①用五点法作图:五点取法由ωx+=0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值,再描点作图.?????00A0-A0②图象变换:先平移、再伸缩两个程序③A---振幅----周期----频率3.图象的对称性15/15\n①y=sinx图象的对称中心(kπ,0),对称轴x=kπ+;y=cosx呢?②y=tanx图象的对称中心(,0),渐近线x=kπ+;③y=Asin(ωx+φ)图象的对称轴是:ωx+φ=kπ+,即x=?(k∈Z).由ωx+φ=kπ得对称中心为:(,0),k∈Z.4.给出图象确定解析式y=Asin(ωx+φ)的题,一般先找“五点”中的第一零点或第一个最大值点确定ω或φ.三、双基题目练练手1.在(0,2π)内,使sinx>cosx成立的x的取值范围是()A.(,)∪(π,)B.(,π)C.(,)D.(,π)∪(,)2.函数y=cos(x+)的图象向左平移φ个单位,所得的函数为偶函数,那么的最小值是()A.B.C.D.3.(2022天津)已知函数(、为常数,,)在处取得最小值,那么函数是( )A.偶函数且它的图象关于点对称B.偶函数且它的图象关于点对称C.奇函数且它的图象关于点对称15/15\nD.奇函数且它的图象关于点对称4.(2022湖北)假设()A.B.C.D.5.将函数的图象按向量平移,平移后的图象如以下图,那么平移后的图象所对应函数的解析式是______________6.(2022湖南)设函数f(x)的图象与直线x=a,x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a,b]上的面积,已知函数y=sinnx在[0,]上的面积为(n∈N*),(i)y=sin3x在[0,]上的面积为 ;(ii)y=sin(3x-π)+1在[,]上的面积为 .✿简答:1-4.CBDC;1.利用三角函数线;2.设平移后:y=cos(x++),那么+=kπ.=kπ->0.∴k>.∴k=2.∴=;3.可取,∴,4.利用图象可得解.15/15\n5.平移后的图象所对应的解析式为,由图象知,,所以,答案。6.(i);(ii)画图知:在一个周期上面积为,[,]是1.5个周期,面积为.四、经典例题做一做【例1】解三角不等式组(1)(2)yx0解:(1)如图:∴解集为(2)由图得解集为:温馨提示:利用三角函数线或单调性求解,先求出一个周期上的解再写出全部。【例2】(2022重庆)设函数(其中),且的图象在轴右侧的第一个最高点的横坐标为。(Ⅰ)求的值;15/15\n(Ⅱ)如果在区间上的最小值为,求的值。提炼方法:1.先化简,再由图象求解析式——利用第一个最大值点求ω;2.借助三角函数线,或三角函数图象求取值范围.【例3】(2022全国卷Ⅰ)设函数图像的一条对称轴是直线。(Ⅰ)求φ;(Ⅱ)求函数y=f(x)的单调增区间;(Ⅲ)画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图像。解:(Ⅰ)的图像的对称轴,15/15\n(Ⅱ)由(Ⅰ)知由得∴函数y=f(x)的的单调区间为(Ⅲ)由x0y-1010故函数题型方法:1.求单调区间——把复合角放到单调区间内,解x的范围;2.画图:关键是确定“五点”对应的x值;不是整齐的“五点”间的一段时,要再描出端点。_y_1_M_N_P_o_x【例4】(2022浙江)如图,函数y=2sin(πx+φ),x∈R,(其中0≤φ≤)的图象与y轴交于点(0,1).(Ⅰ)求φ的值;(Ⅱ)设P是图象上的最高点,M、N是图象与x轴的交点,求15/15\n解:(I)因为函数图像过点,所以即因为,所以.(II)由函数及其图像,得所以从而,故.题型方法:1.利用图象所给信息求解析式;2.三角函数与向量的综合题是一个新的命题方向。I_t0300-300【研讨.欣赏】已知电流I与时间t的关系式为.(1)右图是(ω>0,)在一个周期内的图象,根据图中数据求的解析式;(2)如果t在任意一段秒的时间内,电流都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整数值是多少?解:(1)由图可知A=300.设t1=-,t2=,15/15\n那么周期T=2(t2-t1)=2(+)=.∴ω==150π.又当t=时,I=0,即sin(150π·+)=0,150π·+=0∴=.故所求的解析式为.(2)依题意,周期T≤,即≤,(ω>0)∴ω≥300π>942,又ω∈N*,故最小正整数ω=943.提炼方法:1.关键是将图形语言转化为符号语言.2.利用相邻两零点间的距离是半个周期求ω,利用第一个零点求φ.五.提炼总结以为师知识总结:1.三角函数线及运用;2.正、余弦、正切函数图象的画法、变换及对称性;思想方法:3.深刻理解图象变换与函数式变换(参数变化)的关系,掌握由图象求解析式的方法。4.数形结合,数形转化是本课的重要的思想方法。同步练习4.4三角函数的图象解析式【选择题】15/15\n1.函数y=-xcosx的局部图象是()2.已知函数y=tan(2x+)的图象过点(,0),那么可以是()A.-B.C.-D.3.(2022江苏)为了得到函数的图像,只需把函数的图像上所有的点()(A)向左平移个单位长度,再把横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)(B)向右平移个单位长度,再把横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)(C)向左平移个单位长度,再把横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)(D)向右平移个单位长度,再把横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)4.函数的局部图象如以下图,那么函数表达式为()15/15\n(A)(B)(C)(D)【填空题】5.(2022湖南)假设是偶函数,那么有序实数对可以是__________.(注:写出你认为正确的一组数字即可)6.(2022上海)函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点,那么的取值范围是__________。✿练习简答:1-4.DACA;5.(1,);6..【解答题】7.(2022山东)已知函数,且的最大值为2,其图象相邻两对称轴间的距离为2,并过点(1,2).(I)求(II)计算.解:(I)的最大值为2,.又其图象相邻两对称轴间的距离为2,,15/15\n.过点,又.(II)解法一:,.又的周期为4,,解法二:又的周期为4,,15/15\n8.(2022福建)已知函数(I)求函数的最小正周期和单调增区间;(II)函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到?解:(I) 的最小正周期由题意得即 的单调增区间为(II)方法一:先把图象上所有点向左平移个单位长度,得到的图象,再把所得图象上所有的点向上平移个单位长度,就得到的图象。方法二:把图象上所有的点按向量平移,就得到的图象。15/15\n029.(2022季上海)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A>0,ω>0)在一个周期内的图象如图所示。求直线y=与函数f(x)图象的所有交点的坐标〖解〗根据图象得A=2,T=-=4π,ω=,又由图象可得相位移为,.即,根据条件:,〖思维点拨〗按图可求得f(x)=Asin(ωx+φ),再求交点即可。-310.如图为某三角函数图象的一段(1)用正弦函数写出其中一个解析式;(2)求与这个函数关于直线对称的函数解析式,并作出它一个周期内简图。思路分析:由,由最值定A,由特殊值定,用五点法作简图。15/15\n解:(1)由图它过(为其中一个值)(2)上任意一点,该点关于直线对称点为关于直线对称的函数解析式是列表:00-3030作图:【探索题】(2022全国Ⅰ)设函数图像的一条对称轴是直线。(Ⅰ)求;(Ⅱ)求函数的单调增区间;(Ⅲ)证明直线与函数的图像不相切。解:(Ⅰ)的图像的对称轴,15/15\n(Ⅱ)由(Ⅰ)知由题意得所以函数(Ⅲ)证明:∵所以曲线的切线斜率的取值范围为[-2,2],而直线的斜率为,所以直线于函数的图像不相切15/15
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