大纲版数学高考名师一轮复习教案82双曲线microsoftword文档doc高中数学

8．2双曲线方程及性质一、明确复习目标1．掌握双曲线的定义、标准方程和几何性质;2．理解a,b,c,e,等参数的几何意义及关系．二．建构知识网络1．双曲线定义：(1)到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹（（为常数））这两个定点叫双曲线的焦点(2)动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线M2M11PK2K1A1A2F2F1Oyx2．标准方程①－=1，c=，焦点是：F1（－c，0），F2（c，0）16/16\n②－=1，c=，焦点是：F1（0，－c）、F2（0，c）(图形略)．3．双曲线的几何性质：①范围;②对称轴,对称中心;③顶点;④焦点;⑤准线方程;⑥离心率;⑦渐近线方程(以上可参见课本)⑧焦准距；准线间距;通径长;⑨焦半径公式中符号复杂：建议直接利用第二定义推算．4．等轴双曲线，,a=b,离心率,两渐近线互相垂直，分别为y=;5．共轭双曲线：有共同的渐近线,相等的焦半径．6．渐近线为即的双曲线方程可设为(，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）7．中结合定义与余弦定理可推得，当焦点在y轴上时，标准方程及相应性质（略）8．从题型与与方法上本节将附带参数取值范围及最值问题,常用的方法有：Δ法,目标函数法,不等式法,几何法,向量法等．16/16\n三、双基题目练练手1．(2022春上海)假设，那么“”是“方程表示双曲线”的()A．充分不必要条件．B．必要不充分条件．C．充要条件．D．既不充分也不必要条件．2．(2022天津)如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么它的两条准线间的距离是（）A．B．C．D．3．（2022浙江）假设双曲线上的点到左准线的距离是到左焦点距离的，那么()A．B．C．D．4．(2022北京)已知双曲线的两个焦点为，，P是此双曲线上的一点，且，，那么该双曲线的方程是（）A．B．C．D．5．（2022全国II）设中心在原点的椭圆与双曲线2x2－2y2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，那么该椭圆的方程是．16/16\n6．(2022湖南)过双曲线的左顶点作斜率为1的直线,假设与双曲线的两条渐近线分别相交于点,且,那么双曲线的离心率是_______简答：1-3、ACCC；5．＋y2＝1；6．．四、经典例题做一做【例1】根据以下条件，求双曲线的标准方程：(1)与双曲线有共同渐近线，且过点；(2)双曲线的焦点在轴上，且过点和，P是双曲线上异于A、B的任一点，ΔAPB的垂心H总在此双曲线上。【解】：（1）设所求双曲线方程为，将点代入得，所以双曲线方程为。（2）设双曲线方程为为双曲线上任一点，BN，PM是ΔAPB的两条高，那么BN方程为①PM方程为②又③16/16\n得，又H在双曲线上，∴④∴，所以双曲线方程为．【例2】已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为。(1)求双曲线C的方程；(2)假设直线l：与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点)，求k的取值范围。解：（Ⅰ）设双曲线方程为由已知得故双曲线C的方程为（Ⅱ）将由直线l与双曲线交于不同的两点得即①设，那么而16/16\n于是②由①、②得故k的取值范围为提炼方法：求参数的取值范围是个综合性的问题,常用的方法有：Δ法,目标函数法,不等式法,几何法,向量法等．【例3】设点P到点M（－1，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围分析：由|PM|－|PN|=2m，得||PM|－|PN||=2|m|．知点P的轨迹是双曲线，由点P到x轴、y轴距离之比为2，知点P的轨迹是直线，由交轨法求得点P的坐标，进而可求得m的取值范围解：设点P的坐标为（x，y），依题意得=2，即y=±2x（x≠0）①因此，点P（x，y）、M（－1，0）、N（1，0）三点不共线，从而得||PM|－|PN||<|MN|=2∵||PM|－|PN||=2|m|>0，∴0<|m|<1因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上故－=1②将①代入②，并解得x2=，16/16\n∵1－m2>0，∴1－5m2>0解得0<|m|<，即m的取值范围为（－，0）∪（0，）解题点评：解决此题的关键是用好双曲线的定义,取值范围的求法是——【例4】已知双曲线的离心率，左，右焦点分别的为，左准线为，能否在双曲线的左支上找到一点P，使得是P到的距离与的等比中项。【解】：设在左半支上存在点P，使，由双曲线的第二定义知，即①再由双曲线的第一定义，得②由①②，解得：由在Δ中有，③利用，从③式得解得，与已知矛盾。∴符合条件的点P不存在。思维点拨：利用定义及假设求出离心率的取值是关键。【研讨．欣赏】（2022黄冈调研）已知椭圆C的方程为+=1（a>b>0），双曲线－=1的两条渐近线为l1、l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l216/16\n交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B．（如以以下图）（1）当l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；（2）当=λ时，求λ的最大值．剖析：（1）求椭圆方程即求a、b的值，由l1与l2的夹角为60°易得=，由双曲线的焦距为4易得a2+b2=4，进而可求得a、b．（2）由=λ，欲求λ的最大值，需求A、P的坐标，而P是l与l1的交点，故需求l的方程．将l与l2的方程联立可求得P的坐标，进而可求得点A的坐标．将A的坐标代入椭圆方程可求得λ的最大值．解：（1）∵双曲线的渐近线为y=±x，两渐近线夹角为60°，又<1，∴∠POx=30°，即=tan30°=．∴a=b．又a2+b2=4，∴a2=3，b2=1．故椭圆C的方程为+y2=1．（2）由已知l：y=（x－c），与y=x解得P（，），由=λ得A（，）．代入椭圆方程得（c2+λa2）2+λ2a4=（1+λ）2a2c2．∴（e2+λ）2+λ2=e2（1+λ）2．∴λ2==－［（2－e2）+］+3≤3－2．∴λ的最大值为－1．评述：此题考察了椭圆、双曲线的根底知识，及向量、定比分点公式、重要不等式的应用．解决此题的难点是通过恒等变形，利用重要不等式解决问题的思想．此题是培养学生分析问题和解决问题能力的一道好题．五．提炼总结以为师16/16\n1．求双曲线的方程，常用待定系数法,定义法,首先确定曲线类型和方程的形式，再由题设条件确定参数值，应“特别”掌握；（1）双曲线中的关系与椭圆中的关系是不同的，应注意区别；（2）当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏；（3）已知渐近线的方程bx±ay=0，可设双曲线方程为b2x2－a2y2=λ（λ≠0），2．会利用方程求参数值和确定曲线的性质，利用曲线的范围、不等式、判别式、目标函数解参数范围或求最值。3．解题中,应重视双曲线两种定义的灵活应用,减少运算量,值提高解题质量4．应擅于将几何关系与代数关系相互转化,把平面解析几何问题与向量、平面几何、三角函数、函数、导数、不等式等有机结合相互转化;养成整体处理的习惯。同步练习8．2双曲线方程及性质【选择题】1．(2022全国卷II)已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1⊥x轴，那么F1到直线F2M的距离为（）A．B．C．D．16/16\n2．(2022湖南)已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为（O为原点），那么两条渐近线的夹角为（）A．30º　　B．45º　　C．60º　　D．90º3．(2022天津)设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，那么双曲线的渐近线的斜率为（）A．B．C．D．【填空题】4．(2022福建)已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，假设边MF1的中点在双曲线上，那么双曲线的离心率是_____5．(2022山东)设双曲线的右焦点为，右准线与两条渐近线交于P、两点，如果是直角三角形，那么双曲线的离心率e=________．6．已知双曲线的方程是16x2－9y2=144,F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|=32，求∠F1PF2的大小16/16\n简答提示：1－3．CDC；4．；5．；6．||PF1|－|PF2||=6，cos∠F1PF2====0∴∠F1PF2=90°【解答题】7．（2022江苏）已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）．（Ⅰ）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。解：(I）由题意，可设所求椭圆的标准方程为(a>b>0)，其半焦距c=62=|PF1|+|PF2|=+=6∴=3，b2=a2-c2=45-36=9所以所求椭圆的标准方程为(II)点P(5,2)、F1(-6，0)、F2(6，0)关于直线y=x的对称点分别为P´(2,5)、F1´(0，-6)，F2´（0，6）设所求双曲线的标准方程为(a1>0,b1>0)．16/16\n由题意知，半焦距c1=6，2a1=||P´F1´|-|P´F2´||=|-|=4．∴a1=2,b=c-a=36-20=16．所以所求双曲线的标准方程为8．已知双曲线的方程为,直线通过其右焦点F2，且与双曲线的右支交于A、B两点，将A、B与双曲线的左焦点F1连结起来，求|F1A|·|F1B|的最小值解：设A(x1,y1),B(x2,y2),A到双曲线的左准线x=─=─的距离d=|x1+|=x1+，由双曲线的定义，=e=,∴|AF1|=(x1+)=x1+2,同理，|BF1|=x2+2,∴|F1A|·|F1B|=(x1+2)(x2+2)=x1x2+(x1+x2)+4(1)双曲线的右焦点为F2(,0),(1)当直线的斜率存在时设直线AB的方程为：y=k(x─)，16/16\n由消去y得(1─4k2)x2+8k2x─20k2─4=0,∴x1+x2=,x1x2=─,代入(1)整理得|F1A|·|F1B|=+4=+4=+4=+∴|F1A|·|F1B|>;(2)当直线AB垂直于x轴时，容易算出|AF2|=|BF2|=,∴|AF1|=|BF1|=2a+=(双曲线的第一定义),∴|F1A|·|F1B|=由(1),(2)得：当直线AB垂直于x轴时|F1A|·|F1B|取最大值9．已知椭圆具有性质：假设M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值试对双曲线C′：－=1写出具有类似特性的性质，并加以证明解：类似的性质为假设MN是双曲线－=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值设点M的坐标为（m，n），16/16\n那么点N的坐标为（－m，－n），其中－=1又设点P的坐标为（x，y），由kPM=，kPN=，得kPM·kPN=·=，将y2=x2－b2，n2=m2－b2，代入得kPM·kPN=点评：此题主要考察椭圆、双曲线的根本性质，考察类比、归纳、探索问题的能力它是一道综合椭圆和双曲线根本知识的综合性题目，对思维能力有较高的要求10．如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．当时，求双曲线离心率的取值范围．解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xoy，那么CD⊥y轴．因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于x轴对称．依题意，记A(－c，0)，C(，h)，E(x0,y0)，其中c=|AB|为双曲线的半焦距，h是梯形的高．由定比分点坐标公式得x0==，16/16\n．设双曲线的方程为，那么离心率．由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线方程得，①．②由①式得，③将③式代入②式，整理得，故由题设得，．解得．所以双曲线的离心率的取值范围为．【探索题】如图，在双曲线的上支有三点，它们与点F（0，5）的距离成等差数列。（1）求（2）证明：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标16/16\n解：（1）故F双曲线的焦点，设准线为，离心率为，由题设有　　　　①分别过A、B、C作x轴的垂线，那么由双曲线的第二定义有，代入①式，得，于是两边均加上准线与x轴距离的2倍，有AC的中垂线方程为　　　（2）由于A、C在双曲线上，所以有相减得故（2）式化为，易知此直线过定点。思维点拨：利用第二定义得焦半径，可使问题容易解决，中垂线过弦AC的中点，中点问题往往把A、C的坐标代入方程，两式相减、变形，即可解决问题。16/16