大纲版数学高考名师一轮复习教案96多面体和球．microsoftword文档doc高中数学

9．6棱柱、棱锥和球一、明确复习目标1.理解棱柱、棱锥的有关概念，掌握棱柱、棱锥的性质和体积计算；2.会画棱柱、棱锥的直观图，能运用前面所学知识分析论证多面体内的线面关系，并能进展有关角和距离的计算.3．了解球、球面的概念,掌握球的性质及球的外表积、体积公式,理解球面上两点间距离的概念,了解与球内接、外切几何问题的解法．二．建构知识网络一、棱柱(1)棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.(2)棱柱的性质：——侧棱、侧面、横截面、纵截面的性质①侧棱都相等，侧面都是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.(3)棱柱的分类：①按底面多边形的边数分类：三棱柱，四棱柱，…，n棱柱.②按侧棱与底面的位置关系分类:(4)特殊的四棱柱:四棱柱→平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体.请在“→”上方添上相应的条件.15/15\n(5)长方体对角线定理:长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和.(6)棱柱的体积公式:,是棱柱的底面积,是棱柱的高.二、棱锥1.定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥.如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥.2.正棱锥的性质——侧棱、侧面的性质和一些RtΔ(1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形.(2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形.3.一般棱锥的性质——定理：如果棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥高的平方比.4.棱锥的体积:V=Sh，其S是棱锥的底面积，h是高.三、球1.定义：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。球面所围成的几何体叫做球体.球面是到定点的距离小于或等于定长的点的集合.过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长叫做两点的球面距离.地球上的径度是个二面角，纬度是个线面角。2.性质：平面截球所得的截面是圆.（1）球心和球面圆心的连线垂直于截面；（2）球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系：15/15\n3.S球=4πR2；V球=πR3.三、双基题目练练手1.如图，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，那么C1在底面ABC上的射影H必在()A.直线AB上;B.直线BC上;C.直线AC上;D.△ABC内部A1ABB1CC12．如图，正三棱锥P—ABC顶点P在底面上的射影在ΔABC内部，M是侧面PAB上的点，且M到点P的距离等于M到底面的距离,那么点M的轨迹是()A．椭圆的一段B.双曲线的一段C.一段抛物线D.直线段MCBAP3.(2022全国卷II)将半径都为1的4个铅球完全装入形状为正四面体的容品里，这个正四面体的高最小值为（）15/15\nA．B．C．D．4.三条弦PA、PB、PC两两垂直的，且，，那么过点P、A、B、C的球面O的半径R=；5.斜三棱柱的一个侧面的面积为S，这个侧面与它所对的棱的距离为d，那么这个三棱柱的体积为_________.6.在三棱锥S—ABC中，∠ASB=∠ASC=∠BSC=60°，那么侧棱SA与侧面SBC所成的角的大小是_____________.ACSB7.地球的半径为R,北纬450纬线上有2点A、B间的球面距离为大圆周长的，那么A、B两地间纬线长为◆答案提示：1-3.AAC；4.5.dS;6arccos;7.1．提示：BC1在上底面的射影垂直于AC，必为AB.法二：AC⊥平面ABC1，从而平面ABC1⊥平面ABC……4．先确定点P、A、B、C所在的球面及其直径.5.补上一个相同的棱柱成为平行六面体；或割成三个相同的三棱锥.四、经典例题做一做【例1】如图，设三棱锥S—15/15\nABC的三个侧棱与底面ABC所成的角都是60°，又∠BAC=60°，且SA⊥BC.ABCDSO（1）求证：S—ABC为正三棱锥；（2）已知SA=a，求S—ABC的全面积.证明（1）：正棱锥的定义中，底面是正多边形；顶点在底面上的射影是底面的中心，两个条件缺一不可.作三棱锥S—ABC的高SO，O为垂足，连结AO并延长交BC于D.ABCDSOEF因为SA⊥BC，所以AD⊥BC.又侧棱与底面所成的角都相等，从而O为△ABC的外心，OD为BC的垂直平分线，所以AB=AC.又∠BAC=60°，故△ABC为正三角形，且O为其中心.所以S－ABC为正三棱锥.解（2）：在Rt△SAO中，由于SA=a，∠SAO=600，所以SO=a，AO=a.因O为重心，所以AD=AO=a，BC=2BD=2ADcot600=a，OD=AD=a.在Rt△SOD中，SD2=SO2＋OD2=（a）2＋（a）2=，那么SD=a.于是，（SS－ABC）全=·（a）2sin60°＋3··a·a=a2.◆思悟探讨15/15\n（1）求正棱锥的侧面积或全面积还可以利用公式S正棱锥底=cosα·S正棱锥侧（α为侧面与底面所成的二面角）.（2）注意到高SO=a，底面边长BC=a是相等的，因此这类正三棱锥还有高与底面边长相等的性质，反之亦真.（3）正三棱锥中，假设侧棱与底面边长相等，那么可称为正四面体，因此正四面体是特殊的正三棱锥，但正三棱锥不一定是正四面体.【例2】三棱锥A—BCD的两条棱AB=CD=6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球半径.解法一：易知内切球球心O到各面的距离相等.设E、F为CD、AB的中点，那么O在EF上且O为EF的中点.在△ABE中，AB=6，AE=BE=4，OH=.解法二：设球心O到各面的距离为R.那么4×S×R=VA—BCD，∵S=×6×4=12，VA—BCD=2VC—ABE=6.∴4××12R=6.∴R=.评述：正多面体与球的切接问题常借助体积求解.【例3】．（2022邯郸一模）已知，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱与底面成600的角，AB⊥AC，BC1⊥A1C1，AB=4，AC=3.(1).求证：截面ABC1⊥底面ABC；15/15\n(2).求三棱柱ABC-A1B1C1的体积的最小值；(3).求三棱柱ABC-A1B1C1体积最小时，截面A1BC1与底面ABC所成二面角的大小.B1A1C1CBA证(1)：在三棱柱ABC-A1B1C1中,AC∥A1C1,∵BC1⊥A1C1,∴BC1⊥AC,又AB⊥AC,∴AC⊥面ABC1,∴面ABC1⊥面ABC.解（2）：作C1H⊥面ABC于H,那么H在AB上，连CH，那么∠HCC1=600当H与A重合时CH最短，棱柱的高C1H=CHtan600=CH最短三棱柱ABC-A1B1C1的体积V最小.此时，∠ACC1=600,C1H=AC1=3V=解（3）设面ABC交面A1BC1于直线m,那么m为二面角的棱.∵AC∥A1C1,∴AC∥面A1BC1,AC∥m,∴AB⊥m,又AC1⊥面ABC,由三垂线定理知C1B⊥m,15/15\n∴∠ABC1为所求二面角的平面角.在RtΔABC1中，tan∠ABC1=【例4】如图，三个12×12cm的正方形，都被连结相邻两边中点的直线分成A、B两片〔如图（1）〕，把6片粘在一个正六边形的外面〔如图（2）〕，然后折成多面体〔如图（3）〕，求此多面体的体积.EDC解法一：补成一个正方体，如图甲，V=V正方体=×123=864cm3.甲乙解法二：补成一个三棱锥，如图乙，V=V大三棱锥－3V小三棱锥=864cm3.解法三：如图（3）7设C是所在棱的中点，截面CDE把几何体截成两局部，沿DE把上局部翻转过来可拼成正方体的下一半.◆思考讨论补形的方法可将不规那么的几何体转化成规那么的几何体，这是求多面体体积的常用方法.五．提炼总结以为师1.棱柱、棱锥的概念和性质是研究解决问题的依据，要能正确利用这些知识进展图中点、线、面的位置关系的分析和计算；15/15\n2.三棱锥的等（体）积变换是解决点到面的距离的常见方法之一；“割”“补”是解决立体几何，尤其是体积问题的常用技巧.正棱锥的四个“特征”直角三角形，是将“空间问题”转化为“平面问题”的桥梁.3.球的概念和性质以及面积、体积是解决有关问题的重要依据；它的轴截面是解决问题的重要“场所”，球半径、截面圆半径、圆心距都在这个图形内，它把空间问题转化为平面问题.4.要正确地区别球面上两点间的直线距离与球面距离.搞清纬度、经度、纬度差、经度差等概念.同步练习9.6棱柱、棱锥和球【选择题】1.P是长方体AC1上底面A1C1内任一点，设AP与三条棱AA1、AB、AD所成的角为α、β、γ，那么cos2α+cos2β+cos2γ的值是（）A.1B.2C.D.不确定2.长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上,这个球的外表积是（）A.20πB.25πC.50πD.200π3．各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，那么这个球的外表积是（）A.B.C.D.【填空题】4.过棱锥高的三等分点作两个平行于底面的截面，它们将棱锥的侧面分成三局部的面积的比（自上而下）为__________.5.（2022年北京）地球仪上北纬30°纬线的长度为12πcm，该地球仪的半径是_________cm，外表积是_________cm2.6.已知球面上的三点A、B、C，AB=6，BC=8，AC=10，球的半径为13，那么球心到平面ABC的距离为.◆答案提示：1-3．ACC；4.1∶3∶5;15/15\n5.4192π;6.距离为12.【解答题】7.（2022山东）如图，已知平面平行于三棱锥的底面ABC，等边△所在的平面与底面ABC垂直，且∠ACB=90°，设（1）求证直线是异面直线与的公垂线；（2）求点A到平面VBC的距离；（3）求二面角的大小.ABCA1VB1C1证明（Ⅰ）∵平面∥平面，∵∴又∵平面⊥平面，平面∩平面，∴⊥平面，，又，.为与的公垂线.解（Ⅱ）：过A作于D，∵△为正三角形，∴D为的中点.∵BC⊥平面∴，又，∴AD⊥平面，15/15\n∴线段AD的长即为点A到平面的距离.在正△中，.∴点A到平面的距离为.解法2：取AC中点O连结，那么⊥平面，且=.由（Ⅰ）知，设A到平面的距离为x，，即,解得.即A到平面的距离为.那么∴到平面的距离为.(III)过点作于，连，由三重线定理知是二面角的平面角.在中，..所求二面角大小为arctan.8.已知三棱锥S—ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直且长度分别为a、b、c，设O为S在底面ABC上的射影.求证：（1）O为△ABC的垂心；（2）O在△ABC内；15/15\nABCDSOEF（3）设SO=h，那么++=.证明：（1）∵SA⊥SB，SA⊥SC，∴SA⊥平面SBC，BC平面SBC.∴SA⊥BC.而AD是SA在平面ABC上的射影，∴AD⊥BC.同理可证AB⊥CF，AC⊥BE，故O为△ABC的垂心.（2）证明△ABC为锐角三角形即可.不妨设a≥b≥c，那么底面三角形ABC中，AB=为最大，从而∠ACB为最大角.用余弦定理求得：cos∠ACB=>0，∴∠ACB为锐角，△ABC为锐角三角形.故O在△ABC内.（3）SB·SC=BC·SD，故SD=，=+，又SA·SD=AD·SO，===+=++=.9.如图，三棱锥V—ABC中，VA⊥底面ABC，∠ABC=90°.（1）求证：V、A、B、C四点在同一球面上；VCBA（2）过球心作一平面与底面内直线AB垂直，求证：此平面截三棱锥所得的截面是矩形.15/15\n证明：（1）取VC的中点M，∵VA⊥底面ABC，∠ABC=90°，∴BC⊥VB.在Rt△VBC中，M为斜边VC的中点，∴MB=MC=MV.同理，在Rt△VAC中，MA=MV=MC.∴MV=MC=MA=MB.∴V、A、B、C四点在同一圆面上，M是球心.（2）取AC、AB、VB的中点分别为N、P、Q，连结NP、PQ、QM、MN，那么MNPQ就是垂直于AB的三棱锥V—ABC的截面，易证PQMN是平行四边形.又VA⊥BC，QP∥VA，NP∥BC，∴QP⊥PN.故截面MNPQ是矩形.10．（1994全国）如图，已知A1B1C1－ABC是正三棱柱，D是AC中点．(1)证明AB1∥平面DBC1；(2)假设AB1⊥BC1，求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面的二面角α的度数．(1)证明：∵A1B1C1－ABC是正三棱柱，∴四边形B1BCC1是矩形．连结B1C交BC1于E，那么B1E=EC．连结DE．在△AB1C中，∵AD=DC，∴DE∥AB1．又AB1平面DBC1，DE平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1．(2)解：作DF⊥BC，垂足为F，那么DF⊥面B1BCC1，连结EF，那么EF是ED在平面B1BCC1上的射影．∵AB1⊥BC1，15/15\n由(1)知AB1∥DE，∴DE⊥BC1，那么BC1⊥EF，∴∠DEF是二面角α的平面角．设AC=1，那么DC=．∵△ABC是正三角形，∴在Rt△DCF中，DF=DC·sinC=，CF=DC·cosC=．取BC中点G．∵EB=EC，∴EG⊥BC．在Rt△BEF中，EF2=BF·GF，又BF=BC－FC=，GF=，∴EF2=·，即EF=．∴tg∠DEF=．∴∠DEF=45°故二面角α为45°．【探索题】1.（2022江西），在四面体中，截面经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心，且与、分别截于、.如果截面将四面体分为体积相等的两局部,设四棱锥与三棱锥的外表积分别为、,那么必有()A.B.C.D.、大小关系不能确定2．边长为a的正三角形，要拼接成一个正三棱柱且不剩料，应如何设计?（在图中用虚线画出）15/15\nC1B1A1CBA解:1.C．提示：设内切球半径为r,截面AEF的面积为S，由VA-BEFD=VA-CEF得2.解：设O为△ABC的中心，连结OA、OB、OC，并设OA、OB、OC的中点分别为A1、B1、C1，过A1、B1、C1分别向三边作垂线，那么所得三个矩形即为三个侧面，三个角上的小四边形拼在一起即为上底面【变式】△ABC假设为一般三角形，又如何拼接？（取O为三角形的内心，其余同）15/15