大纲版数学高考名师一轮复习教案81椭圆方程及性质microsoftword文档doc高中数学
资源预览文档简介为自动调取,内容显示的完整度及准确度或有误差,请您下载后查看完整的文档内容。
第八章圆锥曲线知识构造网络8.1椭圆方程及性质一、明确复习目标1.掌握椭圆的定义、标准方程,了解椭圆的参数方程2.掌握椭圆的简单几何性质;掌握a,b,c,e等参数的几何意义及关系.二.建构知识网络1.椭圆的两种定义:(1)平面内与两定点F1,F2的距离的和等于定长的点的轨迹,即点集M={P||PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|};(时为线段,无轨迹)。其中两定点F1,F2叫焦点,定点间的距离叫焦距。(2)平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹,即点集M={P|,0<e<1的常数。(为抛物线;为双曲线)23/23\n2.标准方程:(1)焦点在x轴上,中心在原点:(a>b>0);焦点F1(-c,0),F2(c,0)。其中(一个)(2)焦点在y轴上,中心在原点:(a>b>0);焦点F1(0,-c),F2(0,c)。其中(3)两种标准方程可用统一形式表示:Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B当A<B时,椭圆的焦点在x轴上,A>B时焦点在y轴上),这种形式用起来更方便。3.性质:对于椭圆:(a>b>0)如下性质必须熟练掌握:①范围;②对称轴,对称中心;③顶点;④焦点;⑤准线方程;⑥离心率;(参见课本)此外还有如下常用性质:⑦焦半径公式:|PF1|==a+ex0,|PF2|==a-ex0;(由第二定义推得)⑧焦准距;准线间距;通径长;⑨最大角23/23\n证:设|PF1|=r1,|PF2|=r2,那么对于椭圆:(a>b>0)的性质可类似的给出(请课后完成)。4.椭圆方程中的a,b,c,e与坐标系无关,是椭圆本身所固有的,决定椭圆形状的参数,而焦点坐标,准线方程,顶点坐标,与坐标系有关.5.对椭圆方程作三角换元即得椭圆的参数方程:;注意θ不是∠xOP(x,y).6.有关圆锥曲线弦的中点和斜率问题可利用“点差法”及结论:设椭圆:上弦AB的中点为M(x0,y0),那么斜率kAB=,对椭圆:,那么kAB=.三、双基题目练练手1.(2022全国Ⅱ)已知△ABC的顶点B、C在椭圆上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,那么△ABC的周长是()23/23\nA.B.6C.D.122.(2022广东)假设焦点在轴上的椭圆的离心率为,那么m=()A.B.C.D.3.(2022山东)在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为,焦点到相应准线的距离为1,那么该椭圆的离心离为()A.B.C.D.4.设F1、F2为椭圆的两个焦点,以F2为圆心作圆F2,已知圆F2经过椭圆的中心,且与椭圆相交于M点,假设直线MF1恰与圆F2相切,那么该椭圆的离心率e为()A.-1B.2-C.D.5.椭圆对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形,焦点到椭圆上的点的最短距离是,那么这个椭圆方程为__________________.6.(2022四川15)如图把椭圆的长轴AB分成8份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半局部于,,……七个点,F是椭圆的一个焦点,那么____________.23/23\n简答提示:1-4.CBBA;4.易知圆F2的半径为c,(2a-c)2+c2=4c2,()2+2()-2=0,=-1.5.+=1或+=1;6.根据椭圆的对称性知,,同理其余两对的和也是,又,∴=35四、经典例题做一做【例1】假设椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点,M为AB的中点,直线OM(O为原点)的斜率为,且OA⊥OB,求椭圆的方程.分析:欲求椭圆方程,需求a、b,为此需要得到关于a、b的两个方程,由OM的斜率为.OA⊥OB,易得a、b的两个方程.解法1:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0).∴(a+b)x2-2bx+b-1=0.由x+y=1,ax2+by2=1,∴x0==,y0==1-=.∴M(,).23/23\n∵kOM=,∴b=a.①∵OA⊥OB,∴·=-1.∴x1x2+y1y2=0.∵x1x2=,y1y2=(1-x1)(1-x2),∴y1y2=1-(x1+x2)+x1x2=1-+=.∴+=0.∴a+b=2.②由①②得a=2(-1),b=2(-1).∴所求方程为2(-1)x2+2(-1)y2=1.法2:(点差法)由ax1+by1=1,ax2+by2=1相减得,即…下同法1.提炼方法:1.设而不求,即设出A(x1,y1),B(x2,y2),借助韦达定理推出b=a..再由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0,转换出a,b的又一关系式,2.点差法得b=a.…【例2】(2022湖南)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左.右焦点为F1、F2,离心率为e.直线,l:y=ex+a与x轴.y轴分别交于点A、B,M是直线l与椭圆C的一个公共点,P是点F1关于直线l的对称点,设=λ.23/23\n(Ⅰ)证明:λ=1-e2;(Ⅱ)假设,△MF1F2的周长为6;写出椭圆C的方程;(理科无此问)(Ⅲ)确定λ的值,使得△PF1F2是等腰三角形.(Ⅰ)证法一:因为A、B分别是直线l:与x轴、y轴的交点,所以A、B的坐标分别是.所以点M的坐标是().由即.证法二:因为A、B分别是直线l:与x轴、y轴的交点,所以A、B的坐标分别是设M的坐标是所以因为点M在椭圆上,所以即解得23/23\n(Ⅱ)当时,,所以由△MF1F2的周长为6,得所以椭圆方程为(Ⅲ)解法一:因为PF1⊥l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角,要使△PF1F2为等腰三角形,必有|PF1|=|F1F2|,即设点F1到l的距离为d,由得所以即当△PF1F2为等腰三角形.解法二:因为PF1⊥l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角,要使△PF1F2为等腰三角形,必有|PF1|=|F1F2|,设点P的坐标是,那么由|PF1|=|F1F2|得两边同时除以4a2,化简得从而于是.即当时,△PF1F2为等腰三角形.23/23\n【例3】(2022春上海)(1)求右焦点坐标是,且经过点的椭圆的标准方程;(2)已知椭圆的方程是.设斜率为的直线,交椭圆于两点,的中点为.证明:当直线平行移动时,动点在一条过原点的定直线上;(3)利用(2)所提醒的椭圆几何性质,用作图方法找出下面给定椭圆的中心,简要写出作图步骤,并在图中标出椭圆的中心.解:(1)设椭圆的标准方程为,,∴,即椭圆的方程为,∵点()在椭圆上,∴,解得或(舍),由此得,即椭圆的标准方程为.(2)设直线的方程为,与椭圆的交点()、(),23/23\n那么有,解得,∵,∴,即.那么,∴中点的坐标为.∴线段的中点在过原点的直线上.(3)如图,作两条平行直线分别交椭圆于、和,并分别取、的中点,连接直线;又作两条平行直线(与前两条直线不平行)分别交椭圆于、和,并分别取、的中点,连接直线,那么直线和的交点即为椭圆中心.MAOA1M1N1D1C1NBDB1C【例4】(2022江西)如图,椭圆的右焦点为,过点的一动直线绕点转动,并且交椭圆于、两点,为线段的中点.(1)求点的轨迹的方程;23/23\n(1)假设在的方程中,令确定的值,使原点距椭圆的右准线最远.此时设与轴交点为,当直线绕点转动到什么位置时,三角形的面积最大?解:如图(1)设椭圆上的点、,又设点坐标为,那么………………②………………①当不垂直轴时,由①—②得当垂直于轴时,点即为点,满足方程(*).故所求点的轨迹的方程为:.23/23\n(2)因为,椭圆右准线方程是,原点距椭圆的右准线的距离为,时,上式到达最大值,所以当时,原点距椭圆的右准线最远.此时.设椭圆上的点、,△的面积设直线的方程为,代入中,得由韦达定理得令,得,当取等号.因此,当直线绕点转动到垂直轴位置时,三角形的面积最大.特别提醒:注意这种直线方程的设法,适用于“含斜率不存在,而无斜率为零的情况”.23/23\n【研讨.欣赏】(1)已知点P的坐标是(-1,-3),F是椭圆的右焦点,点Q在椭圆上移动,当取最小值时,求点Q的坐标,并求出其最小值。(2)设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,已知点P到这个椭圆上的点的最远距离是,求这个椭圆的方程,并求椭圆上到点P的距离是的点的坐标。解(1)由椭圆方程可知a=4,b=,那么c=2,,椭圆的右准线方程为x=8过点Q作QQ’于点Q’,过点P作PP’于点P’,那么据椭圆的第二定义知,,易知当P、Q、Q’在同一条线上时,即当Q’与P’点重合时,才能取得最小值,最小值为8-(-1)=9,此时点Q的纵坐标为-3,代入椭圆方程得。因此,当Q点运动到(2,-3)处时,取最小值9.23/23\n(2)设所求的椭圆的直角坐标方程是.由,解得,设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d.那么其中,如果,那么当y=-b时,d2取得最大值解得b=与矛盾,故必有当时d2取得最大值,解得b=1,a=2所求椭圆方程为.由可得椭圆上到点P的距离等于的点为,.五.提炼总结以为师1.椭圆定义是解决问题的出发点,一般地,涉及a、b、c的问题先考虑第一定义,涉及e、d及焦半径的问题行急需处理虑第二定义;2.求椭圆方程,常用待定系数法,定义法,首先确定曲线类型和方程的形式,再由题设条件确定参数值,应“特别”掌握;(1)当焦点位置不确定时,方程可能有两种形式,应防止遗漏;23/23\n(2)两种标准方程中,总有a>b>0,c2=a2-b2并且椭圆的焦点总在长轴上;3.要正确理解和灵活运用参数a,b,c,,e的几何意义与相互关系;4.会用方程分析解决交点、弦长和求值问题,能正确使用“点差法”及其结论。同步练习8.1椭圆方程及性质【选择题】1.(2022全国I)椭圆的两个焦点为F1、F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,那么=()A.B.C.D.42.(2022全国卷Ⅲ)设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,假设△F1PF2为等腰直角三角形,那么椭圆的离心率是()A.B.C.D.【填空题】3.点P在椭圆+=1上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,那么点P的横坐标是____________.4.已知F1为椭圆的左焦点,A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点,P为椭圆上的点,当PF1⊥F1A,PO∥AB(O为椭圆中心)时,那么椭圆的离心率为________.5.已知P是椭圆+=1(a>b>0)上任意一点,P与两焦点连线互相垂直,且P到两准线距离分别为6、12,那么椭圆方程为____________.23/23\n6.(2022重庆)已知是圆为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于P,那么动点P的轨迹方程为.简答提示:1.C;2.D;3.;4.∵|PF1|=,AB∥PO,ΔOPF1∽ΔABO∴=.b=c.∴e===.5.+=1;6.【解答题】7.已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与椭圆相交于点P和点Q,且OP⊥OQ,|PQ|=,求椭圆方程.解:设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0),设P(x1,y1),Q(x2,y2),解方程组y=x+1,mx2+ny2=1.消去y,整理得(m+n)x2+2nx+n-1=0.Δ=4n2-4(m+n)(n-1)>0,即m+n-mn>0,OP⊥OQx1x2+y1y2=0,即x1x2+(x1+1)(x2+1)=0,2x1x2+(x1+x2)+1=0,∴-+1=0.∴m+n=2.①由弦长公式得2·=()2,将m+n=2代入,得m·n=.②23/23\n或解①②得m=,m=,n=n=.∴椭圆方程为+y2=1或x2+=1.8.如以以下图,设E:+=1(a>b>0)的焦点为F1与F2,且P∈E,∠F1PF2=2θ.求证:△PF1F2的面积S=b2tanθ.剖析:有些圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如此题,设|PF1|=r1,|PF2|=r2,那么S=r1r2sin2θ.假设能消去r1r2,问题即获解决.证明:设|PF1|=r1,|PF2|=r2,那么S=r1r2sin2θ,又|F1F2|=2c,由余弦定理有(2c)2=r12+r22-2r1r2cos2θ=(r1+r2)2-2r1r2-2r1r2cos2θ=(2a)2-2r1r2(1+cos2θ),于是2r1r2(1+cos2θ)=4a2-4c2=4b2.所以r1r2=.这样即有S=·sin2θ=b2=b2tanθ.评述:解与△PF1F2(P23/23\n为椭圆上的点)有关的问题,常用正弦定理或余弦定理,并结合|PF1|+|PF2|=2a来解决.9.如以以下图,已知△OFQ的面积为S,且·=1.(1)假设<S<2,求向量与的夹角θ的取值范围;(2)设||=c(c≥2),S=c,假设以O为中心,F为一个焦点的椭圆经过点Q,当||取最小值时,求椭圆的方程.解:(1)由已知,得||||sin(π-θ)=S,||||cosθ=1.∴tanθ=2S.∵<S<2,∴1<tanθ<4.那么<θ<arctan4.(2)以O为原点,所在直线为x轴建立平面直角坐标系.设椭圆方程为+=1(a>b>0),Q(x,y).=(c,0),那么=(x-c,y).∵||·y=c,∴y=.又∵·=c(x-c)=1,∴x=c+.那么||==(c≥2).23/23\n可以证明:当c≥2时,函数t=c+为增函数,∴当c=2时,||min==,此时Q(,).将Q的坐标代入椭圆方程,解得得+=1,a2=10,a2-b2=4.b2=6.∴椭圆方程为+=1.10.(2022上海)如图,点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于轴上方,.(1)求点P的坐标;(2)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于,求椭圆上的点到点M的距离的最小值.解:(1)由已知可得点A(-6,0),F(4,0)设点P的坐标是,由已知得23/23\n那么2x2+9x-18=0,,∴P点的坐标是(2)直线AP的方程是设点M的坐标是(m,0),那么M到直线AP的距离是,于是椭圆上的点到点M的距离d有由于【探索题】(2022湖北)设A、B分别为椭圆()的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且为它的右准线。(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设P为右准线上不同于点(4,0)的任意一点,假设直线AP、BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N,证明点B在以MN为直径的圆内。解(Ⅰ)依题意得解得从而故椭圆方程为23/23\n(Ⅱ)解法1:由(Ⅰ)得设M点在椭圆上,①又M点异于顶点A、B,由P、A、M三点共线可得从而∴②将①式代入②式化简得于是为锐角,从而为钝角,故点B在以MN为直径的圆内。解法二:由(Ⅰ)得.设,那么直线AP的方程为,直线BP的方程为.点M、N分别在直线AP、BP上,.从而③联立消去得=023/23\n是方程的两根,,即④又⑤于是由③、④式代入⑤式化简可得N点在椭圆上,且异于顶点A、B,又,从而故为钝角,即点B在以MN为直径的圆内。解法3:由(Ⅰ)得,设那么.又MN的中点Q的坐标为,化简得⑥直线AP的方程为,直线BP的方程为点P在准线上,,即⑦又M点在椭圆上,,即⑧于是将⑦、⑧式代入⑥式化简可得23/23\n从而B在以MN为直径的圆内。23/23
版权提示
- 温馨提示:
- 1.
部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
- 2.
本文档由用户上传,版权归属用户,莲山负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
- 3.
下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
- 4.
下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服vx:lianshan857处理。客服热线:13123380146(工作日9:00-18:00)