大纲版数学高考名师一轮复习教案83抛物线方程及性质microsoftword文档doc高中数学
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8.3抛物线方程及性质一、明确复习目标掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质,了解圆锥曲线的初步应用.二.建构知识网络1.抛物线的定义:到一个定点F的距离与到一条定直线L的距离相等的点的轨迹.2.标准方程:y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py(p>0) 图形略: 3.几何性质:对于抛物线y2=2px要掌握如下性质:对称轴,顶点坐标,焦点坐标,准线方程.离心率,焦准距=,焦半经 rmin=4.焦点弦:对于y2=2px,过焦点的弦A(x1,y1)B(x2,y2)有,通径:过焦点垂直于轴的弦长为。5.焦半径为直径的圆与y轴相切,焦点弦为直径的圆与准线相切.三、双基题目练练手20/20\n1.(2022江苏)抛物线上的一点M到焦点的距离为1,那么点M的纵坐标是()A.B.C.D.02.(2022上海)过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于5,那么这样的直线()A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在3.焦点在直线x-2y-4=0上的抛物线的标准方程是()A.y2=16xB.y2=16xC.x2=-8yD.以上说法都不对.4.过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,假设PF与FQ的长分别为p、q,那么等于()ABCD5.以以下图所示的直角坐标系中,一运动物体经过点A(0,9),其轨迹方程是y=ax2+c(a<0),D=(6,7)为x轴上的给定区间.为使物体落在D内,a的取值范围是___________;AxOy6720/20\n6.已知抛物线y2=8x上两个动点A、B及一个定点M(x0,y0),F是抛物线的焦点,且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列,线段AB的垂直平分线与x轴交于一点N那么点N的坐标是_____________(用x0表示);简答:1-4.BBDC;4.考虑特殊位置,令焦点弦PQ平行于轴,5.把点A的坐标(0,9)代入y=ax2+c得c=9,即运动物体的轨迹方程为y=ax2+9.令y=0,得ax2+9=0,即x2=-.假设物体落在D内,应有6<<7,解得-<a<-.6.N(x0+4,0)四、经典例题做一做【例1】给定抛物线y2=2x,设A(a,0),a>0,P是抛物线上的一点,且|PA|=d,试求d的最小值.解:设P(x0,y0)(x0≥0),那么y02=2x0,∴d=|PA|===.∵a>0,x0≥0,∴(1)当0<a<1时,1-a>0,此时有x0=0时,dmin==a.(2)当a≥1时,1-a≤0,此时有x0=a-1时,dmin=.【例2】过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦AB,点A、B在抛物线准线上的射影为A1、B1,求∠A1FB1.20/20\n解法1:由抛物线定义及平行线性质知∠A1FB1=180°-(∠AFA1+∠BFB1)=180°-(180°-∠A1AF)-(180°-∠B1BF)=(∠A1AF+∠B1BF)=90°.法2:设弦AB的方程是:得,设A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理得y1y2=-p2又,∴从而知∠A1FB1=90°.提炼方法:1.平面几何法与定义法结合,简捷高效;2.弦AB的方程是:(此题不存在AB垂直于y轴的情况),避开了斜率存在性的讨论,解题中应注意灵活运用.【例3】如以以下图所示,直线l1和l2相交于点M,l1⊥l2,点N∈l1,以A、B为端点的曲线段C上任一点到l2的距离与到点N的距离相等.假设△AMN为锐角三角形,|AM|=,|AN|=3,且|NB|=6,建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.20/20\n解:以直线l1为x轴,线段MN的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,由条件可知,曲线段C是以点N为焦点,以l2为准线的抛物线的一段.其中A、B分别为曲线段C的端点.设曲线段C的方程为y2=2px(p>0)(xA≤x≤xB,y>0),其中xA、xB为A、B的横坐标,p=|MN|,所以M(-,0)、N(,0).由|AM|=,|AN|=3,得(xA+)2+2pxA=17,①(xA-)2+2pxA=9.②①②联立解得xA=,代入①式,并由p>0,或解得p=4,p=2,xA=1xA=2.因为△AMN为锐角三角形,所以>xA.所以故舍去P=2,P=4,xA=2.xA=1.由点B在曲线段C上,得xB=|BN|-=4.综上,曲线段C的方程为y2=8x(1≤x≤4,y>0).提炼方法:1.熟练运用定义确定曲线C是抛物线段;2.合理选择坐标系,确定标准方程;3.运用距离公式求出标准方程中的待定系数;4.特别注意范围的限定.20/20\n【例4】(2022全国卷Ⅲ)设两点在抛物线上,l是AB的垂直平分线.(Ⅰ)当且仅当取何值时,直线l经过抛物线的焦点F?证明你的结论;(Ⅱ)当直线l的斜率为2时,求l在y轴上截距的取值范围.解:(Ⅰ)两点到抛物线的准线的距离相等.∵抛物线的准线是x轴的平行线,不同时为0,∴上述条件等价于∵,∴上述条件等价于即当且仅当时,l经过抛物线的焦点F.另解:(Ⅰ)∵抛物线,即,∴焦点为(1)直线的斜率不存在时,显然有(2)直线的斜率存在时,设为k,截距为b即直线:y=kx+b由已知得:20/20\n即的斜率存在时,不可能经过焦点所以当且仅当=0时,直线经过抛物线的焦点F(II)(理)设l在y轴上的截距为b,依题意得l的方程为;过点A、B的直线方程可写为,所以满足方程得;A,B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式即设AB的中点N的坐标为,那么由即得l在y轴上截距的取值范围为().法二:y1=2x12,y2=2x22,相减得,中点在抛物线内必【研讨.欣赏】(2022山东文)已知动圆过定点,且与直线相切,其中.20/20\n(I)求动圆圆心的轨迹的方程;(II)设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点,直线和的倾斜角分别为和,当变化且时,证明直线恒过定点,并求出该定点的坐标.解:(I)如图,设为动圆圆心,为记为,过点作直线的垂线,垂足为,由题意知:即动点到定点与定直线的距离相等,由抛物线的定义知,点的轨迹为抛物线,其中为焦点,为准线,所以轨迹方程为(II)如图,设,由题意得。又直线的倾斜角满足,故。∴直线的斜率存在,否那么,的倾斜角。从而设直线的方程为,显然,将与联立消去,得由韦达定理知①由,得20/20\n。将①式代入上式整理化简,得:此时直线的方程可表示为:,即。∴直线恒过定点五.提炼总结以为师1.求抛物线方程的方法:待定系数法,定义法,直接法;2.涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时,要注意运用“设而不求”的策略,防止求交点坐标的复杂运算.3.解决焦点弦问题时,应注意抛物线的定义和焦点弦的几何性质应用,注意抛物线上的点,焦点,,准线三者之间的联系.同步练习8.3抛物线方程及性质【选择题】1.(2022全国)抛物线上一点A的纵坐标为4,那么点A与抛物线焦点的距离为()A.2B.3C.4D.52已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时,M点坐标是()ABCD20/20\n3.一个酒杯的轴截面为抛物线的一局部,它的方程为,在杯内放一个玻璃球,要使球触及到杯的底部,那么玻璃球的半径的范围为()ABCD4.设抛物线的轴和它的准线交于E点,经过焦点F的直线交抛物线于P、Q两点(直线PQ与抛物线的轴不垂直),那么与的大小关系为()ABCD不确定【填空题】5.抛物线的动弦AB长为,那么AB中点M到轴的最短距离是________6.对于顶点在原点的抛物线,给出以下条件:①焦点在y轴上;②焦点在x轴上;③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;④抛物线的通径的长为5;⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1).能使这抛物线方程为y2=10x的条件是____________.(要求填写适宜条件的序号)简答提示:1-4:DCCC;2.把转化为M到准线的距离,然后求的最小值20/20\n3.设圆心A(0,t),抛物线上的点为P(x,y),列出转化为二次函数问题。4.向量解法:由A、F、B共线得(重要结论),进而得出5.可证弦AB通过焦点F时,所求距离最短,答案6.由抛物线方程y2=10x可知②⑤满足条件.答案:②⑤【解答题】7.(2022春北京文)如图,O为坐标原点,过点P(2,0)且斜率为k的直线l交抛物线y2=2x于M(x1,y1),N(x2,y2)两点.(1)求x1x2与y1y2的值;(2)求证:OM⊥ON.(Ⅰ)解:直线l的方程为①代入y2=2x消去y可得②点M,N的横坐标x1与x2是②的两个根,由韦达定理得20/20\n(Ⅱ)证明:设OM,ON的斜率分别为k1,k2,8.(本小题总分值14分)(2022年高考·广东卷17)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO(如图4所示).(Ⅰ)求△AOB的重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程;(Ⅱ)△AOB的面积是否存在最小值?假设存在,请求出最小值;假设不存在,请说明理由.解:(I)设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),那么…(1)∵OA⊥OB,即, ……(2)又点A,B在抛物线上,有,代入(2)化简得∴,20/20\n所以重心为G的轨迹方程为.(II)由(I)得当且仅当即时,.所以△AOB的面积存在最小值,且最小值为1.9.(本小题总分值14分)(2022年春考·北京卷·理18)如图,O为坐标原点,直线在轴和轴上的截距分别是和,且交抛物线于、两点.(1)写出直线的截距式方程;(2)证明:;(3)当时,求的大小.(Ⅰ)解:直线l的截距式方程为①(Ⅱ)证明:由①及y2=2px消去x可得②点M,N的纵坐标y1,y2为②的两个根,故20/20\n(Ⅲ)解:设OM,ON的斜率分别为k1,k2,10.(2000春全国)已知抛物线y2=4px(p>0),O为顶点,A、B为抛物线上的两动点,且满足OA⊥OB,如果OM⊥AB于M点,求点M的轨迹方程.分析:点M随着A、B两点的变化而变化,点M是OM与AB的交点,而A、B为抛物线上的动点,点M与A、B的直接关系不明显,因此需引入参数.解法一:设M(x0,y0),那么kOM=,kAB=-,直线AB方程是y=-(x-x0)+y0.由y2=4px可得x=,代入上式整理得x0y2-(4py0)y-4py02-4px02=0.①此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标,20/20\n∴A(,y1)、B(,y2).∵OA⊥OB,∴kOA·kOB=-1.∴·=-1.∴y1y2=-16p2.根据根与系数的关系,由①可得y1·y2=,∴=16p2.化简,得x02+y02-4px0=0,即x2+y2-4px=0(除去原点)为所求.∴点M的轨迹是以(2p,0)为圆心,以2p为半径的圆,去掉坐标原点.解法二:设M(x,y),直线AB方程为y=kx+b,由OM⊥AB得k=-.由y2=4px及y=kx+b消去y,得k2x2+x(2kb-4p)+b2=0.所以x1x2=.消去x,得ky2-4py+4pb=0.所以y1y2=.由OA⊥OB,得y1y2=-x1x2,所以=-,b=-4kp.故y=kx+b=k(x-4p).20/20\n用k=-代入,得x2+y2-4px=0(x≠0).解法三:设点M的坐标为(x,y),直线OA的方程为y=kx,解得A点的坐标为(,),显然k≠0,那么直线OB的方程为y=-x.由y=kx,y2=4px,类似地可得B点的坐标为(4pk2,-4pk),从而知当k≠±1时,kAB==.故得直线AB的方程为y+4pk=(x-4pk2),即(-k)y+4p=x,①直线OM的方程为y=-(-k)x.②可知M点的坐标同时满足①②,由①及②消去k便得4px=x2+y2,即(x-2p)2+y2=4p2,但x≠0,当k=±1时,容易验证M点的坐标仍适合上述方程.故点M的轨迹方程为(x-2p)2+y2=4p2(x≠0),它表示以点(2p,0)为圆心,以2p为半径的圆.【探索题】(2022辽宁)20/20\n已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为(I)证明线段是圆的直径;(II)当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为时,求P的值。(I)证法一:∵,∴,即,整理得.∴设点是以线段为直径得圆上得任意一点,那么即展开上式并将带入得故线段是圆的直径.证法二:同法一得:以AB为直径的圆的方程是,展开,并将①代入得20/20\n所以线段AB是圆C的直径(II)解法一:设圆的圆心为那么∵∴又∵=0∴∴∵,∴,∴∴,所以圆心的轨迹方程为:=设圆心到直线的距离为,那么当时,有最小值,由题设得,∴解法二:同法一得:圆心的轨迹方程为:20/20\n设直线与的距离为,那么当与仅有一个公共点时,该点到的距离最小,最小值为,由②③消x得,由得(∵)解法三:设圆的圆心为,那么假设圆心到直线的距离为,那∵∴又∵,,∵,∴20/20\n∴当时,有最小值,由题设得,∴20/20
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