大纲版数学高考名师一轮复习教案55复数microsoftword文档doc高中数学
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5.5复数一、明确复习目标1.了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义.2.掌握复数代数形式的运算法那么,能进展复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算3.了解从自然数系到复数系的关系及扩大的根本思想二.建构知识网络1.虚数单位i:i2=–1,实数可以与它进展四那么运算,原有的加、乘运算律仍成立;就是-1的一个平方根,即方程x2=-1的一个根,方程x2=-1的另一个根是-;i具有周期性:4n+1=i,4n+2=-1,4n+3=-i,4n=1(nN).2.形如:z=a+bi(a,bR)的数叫复数(代数形式),a叫实部,b叫虚部.复数(集C)的分类:NZQRC3.复数相等:设a,b,c,dR,那么a+bi=c+dia=c,b=d;a+bi=0a=b=0;利用复数相等的条件转化为实数问题是解决复数问题的常用方法;11/11\n4.复数的模:.两个复数不能比较大小,但它们的模可以比较大小;5.共轭复数:实部相等,虚部互为相反数:a+bi和a–bi(a,bR);Z的共轭复数用表示,特别地:6.复平面、实轴、虚轴:——复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a,b)表示,,虚轴上的点,除原点外,都表示纯虚数.和向量一样,复数也可用有向线段表示,复数的加减法运算也可按平行四边形法那么或三角形法那么进展.7.掌握复数的和、差、积、商运算法那么:z1±z2=(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i;(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;(a+bi)÷(c+di)=i(即分子分母同乘以分母的共轭复数,再化简).复数运算满足加、乘的交换律、结合律、分配律.8.由复数相等的定义知:实系数一元二次方程ax2+bx+c=0在当Δ<0时,有一对共轭虚根.三、双基题目练练手11/11\n1.(2022全国Ⅰ)如果复数是实数,那么实数()A.B.C.D.2.(2022浙江)已知=1-ni,其中m,n是实数,i是虚数单位,那么m+ni=()(A)(B)(C)(D)3.在复平面内,假设所对应的点在第二象限,那么实数m的取值范围是()A.B.C.D.4.(2022山东)已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为,其中,那么展开式中常数项是()A.B.C.D.5.(2022安徽)复数等于_________6.(2022上海5)假设复数同时满足-=2,=(为虚数单位),那么=;7.(2022湖北)设x、y为实数,且,那么x+y=________.8.已知z1=x2+,z2=(x2+a)i对于任意xR均有|z1|>|z2|成立,试求实数a的取值范围.11/11\n简答:1-4.BCDD;5.i;6.已知;7.4;8.|z1|>|z2|即(2a-1)x2<1-a2恒成立,得四、经典例题做一做【例1】设复数z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i,试求实数m取何值时,(1)z是纯虚数;(2)z是实数;(3)z对应的点位于复平面的第二象限解:(1)由lg(m2-2m-2)=0,m2+3m+2≠0,得m=3(2)由m2+3m+2=0,得m=-1或m=-2(3)由lg(m2-2m-2)<0,m2+3m+2>0,得-1<m<1-或1+<m<3点评:对复数的分类条件要注意其充要性,对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样【例2】(2022上海)在复数范围内解方程(i为虚数单位)解.原方程化简为,设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得x2+y2+2xi=1-i,∴x2+y2=1且2x=-1,解得x=-且y=±,∴原方程的解是z=-±i.提炼方法:设z=x+yi(x、y∈R),利用复数相等的定义.11/11\n【例3】设a∈R,z=x=yi,(x,y∈R),满足是纯虚数,求x,y应满足的条件解:设=ki(k∈R,k≠0)那么z2─a2=ki(z2+a2)Þz2(1─ki)=a2(1+ki),∴(x2─y2+2xyi)(1─ki)=a2+a2kiÞ,消去参数k即得:x2+y2=a2,◆提炼方法:(1)纯虚数的概念;(2)虚部的概念;(3)化复数问题为实数问题的化归思想(设z=a+bi(a,b∈R));(4)假设两个复数能比较大小,那么它们都是实数(5)实轴,虚轴的概念【例4】(2022春上海)已知复数满足为虚数单位),,求一个以为根的实系数一元二次方程.[解法一],∴.假设实系数一元二次方程有虚根,那么必有共轭虚根.,所求的一个一元二次方程可以是.[解法二]设,11/11\n得,以下解法同[解法一].【研讨.欣赏】设z∈C,求满足z+∈R且|z-2|=2的复数z.分析:设z=a+bi(a、b∈R),代入条件,把复数问题转化为实数问题,易得a、b的两个方程解法一:设z=a+bi,那么z+=a+bi+=a+bi+=a++(b-)i∈R∴b=∴b=0或a2+b2=1当b=0时,z=a,∴|a-2|=2∴a=0或4a=0不合题意舍去,∴z=4当b≠0时,a2+b2=1又∵|z-2|=2,∴(a-2)2+b2=4解得a=,b=,∴z=±i综上,z=4或z=±i解法二:∵z+∈R,∴z+=+∴(z-)-=0,(z-)·=0∴z=或|z|=1,下同解法一11/11\n点评:解法一设出复数的代数形式,把复数问题转化为实数问题来研究;解法二利用复数是实数的条件复数问题实数化.这些都是解决复数问题的常用方法五.提炼总结以为师1.复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进展;2.求解计算时,要充分利用i的性质计算问题;3.在复数的求解过程中,要注意复数整体思想的把握和应用;4.复数问题实数化是解决复数问题的最根本也是最重要的思想方法.同步练习5.5复数【选择题】1.(2022山东)()A.B.C.D.2.(2022广东)假设,其中a、b∈R,i是虚数单位,那么=A.0B.2C.D.5()3.(2022福建1)设那么复数为实数的充要条件是()A. B. C. D.4.(2022浙江4).在复平面内,复数+(1+i)2对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【填空题】11/11\n5.(2022全国Ⅰ)复数的共轭复数是________6.(2022湖南)复数z=i+i2+i3+i4+……+i2022=__________7.(2022广东)假设复数满足方程,那么_______8.(2022全国Ⅲ).已知复数z0=3+2i,复数z满足zz0=3z+z0,那么z=9.假设,,且为纯虚数,那么实数a的值为___.10.假设复数(a∈R,i为虚数单位位)是纯虚数,那么实数a的值为_____◆练习简答:1-4.DDDB;5.-i;6.0;7.;8.;9.;10.-6.【解答题】11.已知z是复数,z+2i、均为实数(i为虚数单位),且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a的取值范围解:设z=x+yi(x、y∈R),∴z+2i=x+(y+2)i,由题意得y=-2==(x-2i)(2+i)=(2x+2)+(x-4)i由题意得x=4,∴z=4-2i∵(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,根据条件,已知解得2<a<6,∴实数a的取值范围是(2,6)11/11\n12.已知复数当求a的取值范围,解:因故a的取值范围是13.已知,且复数的虚部减去它的实部所得的差等于,求复数的模;解.即14.设复数z=+,问当x为何实数时,z是⑴实数,⑵虚数,⑶纯虚数,⑷z在复平面上对应的点在实轴上方,⑸|z|=111/11\n解:⑴当,即x=a或时z为实数;⑵当,即且时z为虚数;⑶当=0且,即x=1时z为纯虚数⑷.假设0<a<1,那么0<x<a或x>;假设a>1,那么x>a或0<x<时z对应的点在实轴上方;⑸当+=1即x=1时,|z|=1【探索题】设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;(2)设u=,求证:u为纯虚数;(3)求ω-u2的最小值解(1):设z=a+bi(a、b∈R,b≠0),那么ω=a+bi+=(a+)+(b-)i∵ω是实数,b≠0,∴a2+b2=1,即|z|=1∵ω=2a,-1<ω<2,∴z的实部的取值范围是(-,1)(2)证明:u====-i∵a∈(-,1),b≠0,∴u为纯虚数11/11\n(3)解:ω-u2=2a+=2a-1+=2[(a+1)+]-3∵a∈(-,1),∴a+1>0∴ω-u2≥2×2-3=1当a+1=,即a=0时,上式取等号∴ω-u2的最小值为111/11
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