大纲版数学高考名师一轮复习教案47三角函数的综合应用microsoftword文档doc高中数学

4.7三角函数的综合应用一、明确复习目标1.掌握三角函数的图象、性质和恒等变形，会用反三角函数表示角；2．掌握正、余弦定理解斜三角形的方法；3．能解决三角函数与几何、向量综合的题目,能用三角知识解决简单的实际问题。二．建构知识网络1.三角函数的性质和图象变换;2.三角函数的化简,求值,证明——恒等变形的策略与技巧.3.正、余弦定理,斜三角形的可解类型;在应用题中要能抽象或构造出三角形;4．在应用与综合性题目中,当角不是特殊角,要“用反三角函数表示角”:(1)(2)arccosa表示[0，π]上余弦值等于a的角,a∈[－1,1];(3)(4)对于不是上述范围内的角,可借助诱导公式和三角函数线,找出与上述反三角的关系进而求出.例如:sinα=0.3,α是钝角,那么α=π－arcsin0.3.三、双基题目练练手1.已知，那么x等于（）13/13\n2.假设A、B是锐角△ABC的两个内角，那么点P（cosB－sinA，sinB－cosA）在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3．的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，那么(）ACDB阳光地面A．和都是锐角三角形B．和都是钝角三角形C．是钝角三角形，是锐角三角形D．是锐角三角形，是钝角三角形4.如图，△ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为A.75°B.60°C.50°D.45°5．（2022上海）假设x=是方程2cos（x+α）=1的解，其中α∈（0，2π），那么α=_________.6．（2022北京西城二模）函数y=sinx(sinx+cosx）（x∈R）的最大值是_______.◆答案:1-4.CBDC;2.A+B＞.∴A＞－B，B＞－A.∴sinA＞cosB，sinB＞cosA.,P在第二象限.3.sinA2=cosA1,……A1、B1、C1是锐角。如果A2、B2、C2也是锐角，那么，矛盾，应选D。13/13\n4.作CE⊥平面ABD于E，那么∠CDE=40°,延长DE交直线AB于F，那么∠CFD是遮阳棚与地面所成的角，在△CFD中，=.∴DF=.当α=50°时，DF最大.答案：C;5.;6.最大值为1+=.四、经典例题做一做【例1】求角(用反三角函数表示):(1)已知tanx=3,x∈[0.2π]求x的值;(2)已知cos2α=,α∈(0,),sinβ=-,β∈(π,)求α+β.解：(1)在上,时,tanx=3;在上,,∴x=arctan3或π+arctan3.(2)由;得sinα=,从而cosα=,且cosβ=-又α+β∈(π,2π)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-.∴α+βπ=即α+β=2π-arccos◆提炼方法：求角先求三角函数值,求什么三角函数值要先看角的范围,如此题(2)应求余弦而不能求正弦.角不在主值区间时,要借助图象、三角函数线或诱导公式写出符合条件的角。13/13\n【例2】（2022启东质检）已知A、B、C是三内角，向量，且，（1）求角A；（2）假设，求解:（1）∵∴，即,∵，∴，∴（2）由题知，整理得∴，∴，∴或而使，舍去，∴∴【例3】在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，13/13\n并以10km/h的速度不断增加，问几小时后该城市开场受到台风的侵袭。解法一:设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km)假设在时刻t城市O受到台风的侵袭,那么由余弦定理知由于PO=300,PQ=20t故因此解得解法二:如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向.在时刻：t（h）台风中心的坐标为此时台风侵袭的区域是，其中t+60，假设在t时，该城市O受到台风的侵袭，那么有13/13\n即即，解得.答：12小时后该城市开场受到台风气侵袭◆提炼方法：实际应用问题，要从中找出题中的三角形和已知的边角等条件，再设计出合理的解题方案。【例4】已知函数的图象向右平移个单位得到函数的图象.⑴求函数的表达式;⑵证明当时，经过函数图象上任意两点的直线的斜率恒大于零.解：（I）（II）证明一：依题意，只需证明函数g(x)当时是增函数在即的每一个区间上是增函数当时，在是增函数,那么当时，经过函数g(x)图像上任意两点的直线的斜率恒大于零【研讨.欣赏】某城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心O13/13\n点后转向东北方向OB，现要修建一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB局部为直线段，现要求市中心O与AB的距离为10km，问把A、B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB|最短?并求其最短距离.（不要求作近似计算）解：在△AOB中，设OA=a，OB=b.因为AO为正西方向，OB为东北方向，所以∠AOB=135°.又O到AB的距离为10.∴设∠OAB=α，那么∠OBA=45°－α.所以a=，b=，ab=·===≥，当且仅当α=22°30′时，“=”成立.所以|AB|2≥=400（+1）2，当且仅当a=b，α=22°30′时，“=”成立.所以当a=b==10时，即当AB分别在OA、OB上离O点10km处，能使|AB|最短，最短距离为20（－1）.13/13\n法二;…法三:|AB|2=a2+b2－2abcos135°=a2+b2+ab≥2ab+ab=（2+）ab，…◆温馨提示:1.假设直接建立|AB|2与角α的函数关系,求最值值困难;2.先视|AB|2为a,b的函数放缩,再把ab看成α的函数求出最小值;3.要使|AB|2取到最小值,必须保证两处等号同时成立.五．提炼总结以为师1.三角函数的图象、性质和恒等变形，反三角函数表示角；2．正、余弦定理解斜三角形的方法；3．三角函数综合性题目中常用到换元思想、整体代换及数形结合等；实际应用问题主要是找出三角形及其边角关系。同步练习4.7三角函数的综合应用【选择题】1.（2022北京西城一模）设0＜|α|＜，那么以下不等式中一定成立的是A.sin2α＞sinαB.cos2α＜cosαC.tan2α＞tanαD.cot2α＜cotα2.己知0＜a＜1，＜α＜，那么实数,,的大小关系是()(A)M＞N＞P(B)M＞P＞N(C)M＜N＜P(D)M＜P＜N13/13\n3.对于函数y=cos(sinx)，正确的命题是(C)A.它的定义域是［-1，1］B.它是奇函数C.y∈［cos1,1］D.不是周期函数4.（2022启东市调研）在斜△ABC中，sinA=－cosBcosC且tanBtanC=1－，那么∠A的值为()A.B.C.D.【填空题】5.函数y=sinx－cosx的图象可由y=sinx+cosx的图象向右平移_______个单位得到.6.已知x∈（0，）,那么函数y=的值域是_________.◆练习简答：1-4.BBCA；4.由.sinA=sin（B+C）=－cosBcosC，得tanB+tanC=－1.又tan（B+C）==－，tanA=.…A=.5.;6.y=.令=m，m∈（，1），那么y=－2m2+3m－1.∈（0，］.【解答题】7．(1)已知，求角的集合;(2)已知cosx=-0.4,x∈[0,2π],求角x的集合.解：先找出一个周期上的角,再加上周期.(1)在上,;在上,,所求角x的集合为：13/13\n（常写成）(1)当;当综上得8．为进展科学实验，观测小球A、B在两条相交成角的直线型轨道上运动的情况，如以下图，运动开场前，A和B分别距O点3m和1m，后来它们同时以每分钟4m的速度各沿轨道按箭头的方向运动。问：（I）运动开场前，A、B的距离是多少米？（结果保存三位有效数字）。（Ⅱ）几分钟后，两个小球的距离最小？AA/Ol1l2B/B解：小球开场运动前的距离为：（2）设t分钟后，小球A、B分别运动到A’、B’处，那么当时，当时，13/13\n故当，故分钟后两个小球的距离最小。9．P是以F1、F2为焦点的椭圆上一点，且∠PF1F2=α，∠PF2F1=2α，求证：椭圆的离心率为e=2cosα－1.剖析：依据椭圆的定义2a=|PF1|+|PF2|，2c=|F1F2|，∴e=.在△PF1F2中解此三角即可得证.证明：在△PF1F2中，由正弦定理知==.由比例的性质得=e======2cosα－1.评述：恰当地利用比例的性质有事半功倍之效.10．中，内角..的对边分别为..，已知..成等比数列，且（1）求的值；13/13\n（2）假设，求的值解:（1）由得：由及正弦定理得：于是：（2）由得：，因，所以：，即：由余弦定理得：于是：故：a+c【探索题】(2022上海)对定义域是.的函数.，规定：函数（1）假设函数，，写出函数的解析式；（2）求问题（1）中函数的值域；（3）假设，其中是常数，且，请设计一个定义域为R的函数，及一个的值，使得，并予以证明13/13\n[解](1)(2)当x≠1时,h(x)==x－1++2,假设x>1时,那么h(x)≥4,其中等号当x=2时成立假设x<1时,那么h(x)≤0,其中等号当x=0时成立∴函数h(x)的值域是(－∞,0]∪{1}∪[4,+∞)(3)令f(x)=sin2x+cos2x,α=那么g(x)=f(x+α)=sin2(x+)+cos2(x+)=cos2x－sin2x,于是h(x)=f(x)·f(x+α)=(sin2x+co2sx)(cos2x－sin2x)=cos4x.另解令f(x)=1+sin2x,α=,g(x)=f(x+α)=1+sin2(x+π)=1－sin2x,于是h(x)=f(x)·f(x+α)=(1+sin2x)(1－sin2x)=cos4x.13/13