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大纲版数学高考名师一轮复习教案85直线圆锥曲线的综合应用microsoftword文档doc高中数学

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8.5圆锥曲线综合应用一、明确复习目标1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,理解椭圆的参数方程2.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质3.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质4.了解圆锥曲线的初步应用,掌握处理圆锥曲线综合问题的常用方法.二.建构知识网络解析几何是以数来研究形的学科,就是数形结合的学科;解析法就是通过坐标、方程所反映的数量间的关系和特征,来研究图形的几何性质。圆锥曲线的综合问题包括:解析法的应用,数形结合的思想,与圆锥曲线有关的定值、最值等问题;有圆锥曲线科内综合,还有与代数、三角、几何、向量等学科间的综合。复习中应注意掌握解析几何的常用方法,如求曲线方程的方法、研究位置关系的方法、求范围与最值的方法等,通过问题的解决,进一步培养函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想。三、双基题目练练手1.(2022北京)设,“”是“曲线为椭圆”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件2.已知双曲线的两个焦点是椭圆的两个顶点,双曲线的两条准线经过椭圆的两个焦点,那么此双曲线的方程是( )21/21\nA.  B.   C.   D.3.(2022江苏)已知两点M(-2,0)、N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足 =0,那么动点P(x,y)的轨迹方程为( )(A)   (B)   (C)   (D)4.(2022江西)为双曲线的右支上一点,、分别是圆上的点,那么的最大值为(  )A.6B.7C.8D.95.(2022山东)设直线关于原点对称的直线为,假设与椭圆的交点为A、B,点为椭圆上的动点,那么使的面积为的点的个数为______.6.直线l过点M(1,1),与椭圆+=1相交于A、B两点,假设AB的中点为M,那么直线l的方程是________.简答:1-4.BCBD; 21/21\n4.设左焦点为F1,右焦点为F2,由双曲线定义和三角形边的关系得:,选D5.2;  6.+=1,+=1.相减得∴=-·.又∵M为AB中点,x1+x2=2,y1+y2=2.∴直线l的斜率为-.得直线l的方程为3x+4y-7=0.四、经典例题做一做【例1】(2022福建)已知椭圆的左焦点为F,O为坐标原点。(I)求过点O、F,并且与椭圆的左准线相切的圆的方程;(II)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,线段AB的垂直平分线与轴交于点G,求点G横坐标的取值范围。解:(I)圆过点O、F,圆心M在直线上。设那么圆半径xylGABFO由得21/21\n解得所求圆的方程为(II)设直线AB的方程为代入整理得直线AB过椭圆的左焦点F,方程有两个不等实根。记中点那么的垂直平分线NG的方程为令得点G横坐标的取值范围为【例2】(2022天津)如图,以椭圆的中心为圆心,分别以和为半径作大圆和小圆。过椭圆右焦点作垂直于轴的直线交大圆于第一象限内的点.连结交小圆于点.设直线是小圆的切线.21/21\n(1)证明,并求直线与轴的交点的坐标;(2)设直线交椭圆于、两点,证明.(Ⅰ)证明:由题设条件知,∽故,即因此,          ①解:在中.于是,直线OA的斜率.设直线BF的斜率为,那么.这时,直线BF与轴的交点为(Ⅱ)证明:由(Ⅰ),得直线BF得方程为且②由已知,设、,那么它们的坐标满足方程组③21/21\n由方程组③消去,并整理得④由式①、②和④,由方程组③消去,并整理得⑤由式②和⑤,综上,得到注意到,得【例3】A、B、C是我方三个炮兵阵地,A在B正东6km,C在B正北偏西30°,相距4km,P为敌炮阵地,某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号,由于B、C两地比A21/21\n距P地远,因此4s后,B、C才同时发现这一信号,此信号的传播速度为1km/s,A假设炮击P地,求炮击的方位角.解:如以以下图,以直线BA为x轴,线段BA的中垂线为y轴建立坐标系,那么PCyxABDOB(-3,0)、A(3,0)、C(-5,2).因为|PB|=|PC|,所以点P在线段BC的垂直平分线上.因为kBC=-,BC中点D(-4,),所以直线PD的方程为y-=(x+4)①又|PB|-|PA|=4,故P在以A、B为焦点的双曲线右支上.设P(x,y),那么双曲线方程为-=1(x≥0)②联立①②,得x=8,y=5,所以P(8,5).因此kPA==.故炮击的方位角为北偏东30°.【例4】(2022春上海)学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图:航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线局部,降落点为.观测点同时跟踪航天器.21/21\n(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程;(2)试问:当航天器在轴上方时,观测点测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令?解(1)设曲线方程为,由题意可知,..曲线方程为(2)设变轨点为,根据题意可知得,或(不合题意,舍去)..得或(不合题意,舍去).点的坐标为,.答:当观测点测得距离分别为时,应向航天器发出变轨指令.21/21\n【研讨.欣赏】(2022重庆)已知一列椭圆,。假设椭圆上有一点,使到右准线的距离是与的等差中项,其中、分别是的左、右焦点。(Ⅰ)试证:;(Ⅱ)取,并用表示的面积,试证:且证:(I)由题设及椭圆的几何性质有,故。设,那么右准线方程为.因此,由题意应满足即解之得:。即,从而对任意.(II)设点的坐标为,那么由及椭圆方程易知21/21\n。因,故的面积为,从而。令。由,得两根从而易知函数在内是增函数。而在内是减函数。现在由题设取那么是增数列。又易知。故由前已证,知,且。说明:如果建立Sn与n的函数,讨论单调性比较复杂.五.提炼总结以为师1.解决圆锥曲线的综合问题应根据曲线的几何特征,熟练运用圆锥曲线的知识将曲线的几何特征转化为数量关系,再结合代数等知识来解。2.21/21\n对于求曲线方程中参数范围或最值问题,应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式,通过解不等式求得参数的范围;或建立关于参数的目标函数,转化为函数的值域来解,还有Δ法,几何法,向量法等.3.解决圆锥曲线应用问题时,要善于抓住问题的实质,通过建立数学模型,实现应用性问题向数学问题的顺利转化;要注意认真分析数量间的关系,紧扣圆锥曲线概念,充分利用曲线的几何性质,确定正确的问题解决途径,灵活运用解析几何的常用数学方法,求得最终完整的解答.4.四点重视:①重视定义在解题中的作用;②重视平面几何知识在解题中的简化功能;③重视根与系数关系在解题中的作用;④重视曲线的几何特征与方程的代数特征的统一.5.注意用好以下数学思想、方法:①数形结合思想;②方程与函数思想;③化归转化思想;④分类讨论思想;⑤对称思想;⑥主元与参数思想.此外,整体思想、正难那么反思想、构造思想等也是解析几何解题中不可缺少的思想方法.在复习中必须给予足够的重视,真正发挥其联系知识、简化计算、提高能力中的作用.同步练习8.5圆锥曲线综合应用【选择题】1.(2022湖北)已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在椭圆上,假设P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点,那么点P到x轴的距离为  (  )A.B.3C.D.2.(2022湖北)双曲线离心率为2,有一个焦点与抛物线的焦点重合,那么mn的值为(  )21/21\nA.B.C.D.3.(2022辽宁)曲线与曲线的(  )A.焦距相等B.离心率相等C.焦点相同D.准线相同4.(2022湖北)设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点,假设,且=1,那么P点的轨迹方程是(  )A.3x2+y2=1(x>0,y>0)B.3x2-y2=1(x>0,y>0)C.x2-3y2=1(x>0,y>0)D.x2+3y2=1(x>0,y>0)【填空题】5.(2022江苏卷)点P(-3,1)在椭圆的左准线上,过点P且方向为的光线,经直线反射后通过椭圆的左焦点,那么这个椭圆的离心率为_______6.(2022江西)以下同个关于圆锥曲线的命题中①设A、B为两个定点,k为非零常数,,那么动点P的轨迹为双曲线;21/21\n②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB,O为坐标原点,假设那么动点P的轨迹为椭圆;③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;④双曲线有相同的焦点.其中真命题的序号为(写出所有真命题的序号)简答提示:1-4.DAAD; 5.; 6.③④.【解答题】7.已知椭圆的焦点是F1(-1,0),F2(1,0),P为椭圆上的一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项。(1)求椭圆方程;(2)假设点P在第三象限,且∠PF1F2=1200,求tan∠F1PF2。解:(1)由题设2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,c=1。∴2a=4,∴b=。∴椭圆方程为。(2)设∠F1PF2=θ,那么∠PF2F1=600-θ,由正弦定理并结合等比定理可得到,∴化简可得,∴,从而可求得tan∠F1PF2=。21/21\n思维点拨:解与△PF1F2有关的问题(P为椭圆上的点)常用正弦定理或余弦定理,并且结合|PF1|+|PF2|=2a来求解。8.(2022上海文)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4、且位于轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5.过A作AB垂直于轴,垂足为B,OB的中点为M.(1)求抛物线方程;(2)过M作MN⊥FA,垂足为N,求点N的坐标;(3)以M为圆心,MB为半径作圆M,当K(m.0)是x轴上一动点时,讨论直线AK与圆M的位置关系.解:(1)抛物线y2=2px的准线为∴抛物线方程为y2=4x.(2)∵点A的坐标是(4,4),由题意得B(0,4),M(0,2),又∵F(1,0),∴那么FA的方程为y=(x-1),MN的方程为解方程组21/21\n(3)由题意得,圆M的圆心是点(0,2),半径为2.当m=4时,直线AK的方程为x=4,此时,直线AK与圆M相离,当m≠4时,直线AK的方程为即为圆心M(0,2)到直线AK的距离,令时,直线AK与圆M相离;当m=1时,直线AK与圆M相切;当时,直线AK与圆M相交.9.(2022上海)如以以下图,某隧道设计为双向四车道,车道总宽22m,要求通行车辆限高4.5m,隧道全长2.5km,隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.(1)假设最大拱高h为6m,那么隧道设计的拱宽l是多少?(2)假设最大拱高h不小于6m,那么应如何设计拱高h和拱宽l,才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小?(半个椭圆的面积公式为S=lh,柱体体积为底面积乘以高.此题结果均准确到0.1m)22l4.5h(单位m):(1)解:如以以下图建立直角坐标系,那么点P(11,4.5),椭圆方程为+=1.将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程,得a=,此时l=2a=≈33.3.因此隧道的拱宽约为33.3m.21/21\n(2)解法一:由椭圆方程+=1,得+=1.因为+≥,即ab≥99,且l=2a,h=b,所以S=lh=≥.当S取最小值时,有==,得a=11,b=.此时l=2a=22≈31.1,h=b≈6.4.故当拱高约为6.4m、拱宽约为31.1m时,土方工程量最小.解法二:由椭圆方程+=1,得+=1.于是b2=·.a2b2=(a2-121++242)≥(2+242)=81×121,即ab≥99,当S取最小值时,有a2-121=.得a=11,b=,以下同解法一.10(2022四川)已知两定点满足条件的点P21/21\n的轨迹是曲线E,直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点如果且曲线E上存在点C,使求解:由双曲线的定义可知,曲线是以为焦点的双曲线的左支,且,易知yACBOx故曲线的方程为设,由题意建立方程组消去,得又已知直线与双曲线左支交于两点,有解得又∵依题意得整理后得21/21\n∴或但∴故直线的方程为设,由已知,得∴,又,∴点将点的坐标代入曲线的方程,得得,但当时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意∴,点的坐标为到的距离为∴的面积【探索题】(2022春全国)已知某椭圆的焦点是F1(-4,0)、F2(4,0),过点F2,并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B,且|F1B|+|F2B|=10.椭圆上不同的两点A(x1,y1)、C(x2,y2)满足条件:|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列.(1)求该椭圆的方程;21/21\n(2)求弦AC中点的横坐标;(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m,求m的取值范围.yxFF12ABBC'O(1)解:由椭圆定义及条件知2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5.又c=4,所以b==3.故椭圆方程为+=1.(2)解:由点B(4,yB)在椭圆上,得|F2B|=|yB|=.方法一:因为椭圆右准线方程为x=,离心率为.根据椭圆定义,有|F2A|=(-x1),|F2C|=(-x2).由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列,得(-x1)+(-x2)=2×.由此得出x1+x2=8.设弦AC的中点为P(x0,y0),那么x0===4.方法二:由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列,得+=2×,①由A(x1,y1)在椭圆+=1上,得y12=(25-x12),所以=21/21\n==(25-4x1)②同理可得=(25-4x2)③将②③代入①式,得(25-4x1)+(25-4x2)=.所以x1+x2=8.设弦AC的中点为P(x0,y0),那么x0===4.(3)解法一:由A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上,得9x12+25y12=9×25,④9x22+25y22=9×25.⑤由④-⑤得9(x12-x22)+25(y12-y22)=0,即9()+25()()=0(x1≠x2).将=x0=4,=y0,=-(k≠0)代入上式,得9×4+25y0(-)=0(k≠0).由上式得k=y0(当k=0时也成立).由点P(4,y0)在弦AC的垂直平分线上,得y0=4k+m,所以m=y0-4k=y0-y0=-y0.由P(4,y0)在线段BB′(B′与B关于x轴对称)的内部,得-<y0<.所以-<m<.21/21\n评述:在推导过程中,未写明“x1≠x2”“k≠0”“k=0时也成立”及把结论写为“-≤m≤”也可以.解法二:因为弦AC的中点为P(4,y0),所以直线AC的方程为y-y0=-(x-4)(k≠0).⑥将⑥代入椭圆方程+=1,得(9k2+25)x2-50(ky0+4)x+25(ky0+4)2-25×9k2=0.所以x1+x2==8.解得k=y0(当k=0时也成立).以下步骤同解法一.21/21

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发布时间:2022-08-25 16:09:13 页数:21
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文章作者:U-336598

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