河南省洛阳市第二外国语学校2022届高考数学 闯关密练特训《2-4指数与指数函数》试题 新人教A版

河南省洛阳市第二外国语学校2022届高考数学闯关密练特训《2-4指数与指数函数》试题新人教A版1.函数f(x)＝(a2－1)x在R上是减函数，则a的取值范围是(　　)A．|a|>1　　　　　　　B．|a|<2C．|a|<D．1<|a|<[答案]　D[解析]　由题意知，0<a2－1<1，∴1<a2<2，∴1<|a|<.2．(文)若指数函数y＝ax的反函数的图象经过点(2，－1)，则a等于(　　)A.　　　B．2　　　C．3　　　D．10[答案]　A[解析]　运用原函数与反函数图象关于直线y＝x对称，则函数y＝ax过点(－1,2)，故选A.(理)(2022·山东文，3)若点(a,9)在函数y＝3x的图象上，则tan的值为(　　)A．0B.C．1D.[答案]　D[解析]　由点(a,9)在函数y＝3x图象上知3a＝9，即a＝2，所以tan＝tan＝.3．(2022·北京文，5)函数f(x)＝x－()x的零点个数为(　　)A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3[答案]　B[解析]　函数f(x)＝x－()x的零点个数即为方程x＝()x的实根个数，在平面直角坐标系中画出函数y＝x和y＝()x的图象，易得交点个数为1个．-13-\n[点评]　本题考查函数零点问题和指数函数与幂函数的图象．4．(文)在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝2x＋1与g(x)＝21－x的图象关于(　　)A．原点对称B．x轴对称C．y轴对称D．直线y＝x对称[答案]　C[解析]　y＝2x＋1的图象关于y轴对称的曲线对应函数为y＝21－x，故选C.(理)(2022·聊城模拟)若函数y＝2|1－x|＋m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是(　　)A．m≤－1B．－1≤m<0C．m≥1D．0<m≤1[答案]　A[解析]　∵|1－x|∈[0，＋∞)，∴2|1－x|∈[1，＋∞)，欲使函数y＝2|1－x|＋m的图象与x轴有公共点，应有m≤－1.5．(文)(2022·浙江省台州市模拟)若函数f(x)＝且f(a)>1，则实数a的取值范围是(　　)A．(0,1)B．(2，＋∞)C．(0,1)∪(2，＋∞)D．(1，＋∞)[答案]　C[解析]　由得0<a<1，由得a>2，所以实数a的取值范围是(0,1)∪(2，＋∞)．(理)函数y＝|2x－1|在区间(k－1，k＋1)内不单调，则k的取值范围是(　　)A．(－1，＋∞)B．(－∞，1)C．(－1,1)D．(0,2)[答案]　C[解析]　由于函数y＝|2x－1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k－1，k＋1)内不单调，所以有k－1<0<k＋1，解得－1<k<1.-13-\n6．f(x)＝则f(2＋log23)的值为(　　)A.B.C.D.[答案]　D[解析]　∵1<log23<2，∴3<2＋log23<4，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)7．(文)(2022·青岛模拟)若定义运算a*b＝则函数f(x)＝3x*3－x的值域是________．[答案]　(0,1][解析]　由a*b的定义知，f(x)取y＝3x与y＝3－x的值中的较小的，∴0<f(x)≤1.(理)(2022·广东省汕头市四校联考)如图所示的算法流程图中，若f(x)＝2x，g(x)＝x2，则h(3)的值等于________．[答案]　9[解析]　由程序框图可知，h(x)的值取f(x)与g(x)的值中较大的，∵f(3)＝23＝8，g(3)＝32＝9,9>8，∴h(3)＝9.-13-\n8．若函数f(x)＝则不等式|f(x)|≥的解集为________．[答案]　[－3,1][解析]　f(x)的图象如图．|f(x)|≥⇒f(x)≥或f(x)≤－.∴x≥或≤－∴0≤x≤1或－3≤x<0，∴解集为{x|－3≤x≤1}．9．定义区间[x1，x2]的长度为x2－x1，已知函数f(x)＝3|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,9]，则区间[a，b]的长度的最大值为______，最小值为______．[答案]　4　2[解析]　由3|x|＝1得x＝0，由3|x|＝9得x＝±2，故f(x)＝3|x|的值域为[1,9]时，其定义域可以为[0,2]，[－2,0]，[－2,2]及[－2，m]，0≤m≤2或[n,2]，－2≤n≤0都可以，故区间[a，b]的最大长度为4，最小长度为2.10．(文)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0,1)时，f(x)＝.(1)求f(x)在(－1,1)上的解析式；(2)证明：f(x)在(0,1)上是减函数．[解析]　(1)∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，又当x∈(－1,0)时，－x∈(0,1)，∴f(－x)＝＝，-13-\n∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－，∴f(x)在(－1,1)上的解析式为f(x)＝(2)当x∈(0,1)时，f(x)＝.设0<x1<x2<1，则f(x1)－f(x2)＝－＝，∵0<x1<x2<1，∴2x2－2x1>0,2x1＋x2－1>0，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，故f(x)在(0,1)上是减函数．(理)已知f(x)＝(ax－a－x)(a>0且a≠1)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性；(3)当x∈[－1,1]时，f(x)≥b恒成立，求b的取值范围．[分析]　(1)判断奇偶性应先求定义域后计算f(－x)，看是否等于f(x)(或－f(x))；(2)可用单调性定义，也可用导数判断f(x)的单调性；(3)b≤f(x)恒成立，只要b≤f(x)min，由f(x)的单调性可求f(x)min.[解析]　(1)函数定义域为R，关于原点对称．又因为f(－x)＝(a－x－ax)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)当a>1时，a2－1>0，y＝ax为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝ax－a－x为增函数，所以f(x)为增函数．当0<a<1时，a2－1<0，y＝ax为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝ax－a－x为减函数，所以f(x)为增函数．故当a>0，且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．(3)由(2)知f(x)在R上是增函数，∴在区间[－1,1]上为增函数，∴f(－1)≤f(x)≤f(1)，∴f(x)min＝f(－1)＝(a－1－a)＝·＝－1.∴要使f(x)≥b在[－1,1]上恒成立，则只需b≤－1，故b的取值范围是(－∞，－1].-13-\n能力拓展提升11.(文)(2022·四川文)函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)[答案]　C[解析]　根据函数y＝ax－a过定点(1,0)，排除A、B、D选项，得C项正确．(理)函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝2－x＋1在同一直角坐标系内的图象大致是(　　)-13-\n[分析]　函数f(x)＝1＋log2x的图象可由函数y＝log2x的图象变换得到；函数y＝2－x＋1可由函数y＝()x的图象变换得到．[答案]　C[解析]　f(x)＝1＋log2x的图象是由y＝log2x的图象向上平移一个单位长度得到的；g(x)＝2－x＋1＝()x－1的图象可由y＝()x的图象向右平移一个单位长度得到．[点评]　幂、指、对函数的图象与性质是高考又一主要命题点，解决此类题的关键是熟记一次函数、二次函数，含绝对值的函数、基本初等函数的图象特征分布规律，相关性质，掌握平移伸缩变换和常见的对称特征，掌握识、画图的主要注意事项，学会识图、用图．12．(文)(2022·广州市综合测试)函数f(x)＝ex＋e－x(e为自然对数的底数)在(0，＋∞)上(　　)A．有极大值B．有极小值C．是增函数D．是减函数[答案]　C[解析]　设0<x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝ex2＋－ex1－＝(ex2－ex1)－-13-\n＝(ex2－ex1)(1－)>0，所以函数f(x)＝ex＋e－x(e为自然对数的底数)在(0，＋∞)上是增函数．(理)(2022·大连模拟)已知函数f(x)＝若数列{an}满足an＝f(n)(n∈N*)，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是(　　)A．[，3)B．(，3)C．(2,3)D．(1,3)[答案]　C[解析]　∵{an}是递增数列，∴f(n)为单调增函数，∴∴2<a<3.13．(2022·陕西师大附中一模)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________.[答案]　[解析]　∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，∴m＝.14．(文)(2022·南通六校联考)已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)>f(n)，则m、n的大小关系为________．[答案]　m<n[解析]　∵a＝∈(0,1)，∴y＝ax是减函数，故am>an⇒m<n.(理)已知9的展开式的第7项为，则x的值为________．[答案]　－[解析]　T7＝C(2x)3·6＝×8x＝，∴3x＝－1，∴x＝－.-13-\n15．(文)(2022·上海吴淞中学月考)已知函数f(x)＝是奇函数．(1)求a的值；(2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明；(3)求函数的值域．[解析]　(1)∵f(x)的定义域为R，且为奇函数．∴f(0)＝0，解得a＝1.(2)由(1)知，f(x)＝＝1－，∴f(x)为增函数．证明：任取x1，x2∈R，且x1<x2.f(x1)－f(x2)＝1－－1＋＝，∵x1<x2，∴2x1－2x2<0，且2x1＋1>0,2x2＋1>0.∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．∴f(x)为R上增函数．(3)令y＝，则2x＝，∵2x>0，∴>0，∴－1<y<1.∴函数f(x)的值域为(－1,1)．(理)定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M>0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界．已知函数f(x)＝1＋a·x＋x.(1)当a＝1时，求函数f(x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数f(x)在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；(2)若函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．[解析]　(1)当a＝1时，f(x)＝1＋x＋x.因为f(x)在(－∞，0)上递减，所以f(x)>f(0)＝3，即f(x)在(－∞，0)上的值域为(3，＋∞)．故不存在常数M>0，使|f(x)|≤M成立．所以函数f(x)在(－∞，0)上不是有界函数．(2)由题意知，|f(x)|≤3在[0，＋∞)上恒成立．-13-\n∴－3≤f(x)≤3，即－4－x≤a·x≤2－x，∴－4·2x－x≤a≤2·2x－x在[0，＋∞)上恒成立，设2x＝t，h(t)＝－4t－，p(t)＝2t－，由x∈[0，＋∞)得t≥1，设1≤t1<t2，h(t1)－h(t2)＝>0p(t1)－p(t2)＝<0所以h(t)在[1，＋∞)上递减，p(t)在[1，＋∞)上递增，h(t)在[1，＋∞)上的最大值为h(1)＝－5，p(t)在[1，＋∞)上的最小值为p(1)＝1，所以实数a的取值范围为[－5,1]．1．若关于x的方程|ax－1|＝2a(a>0，a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是(　　)A．(0,1)∪(1，＋∞)B．(0,1)C．(1，＋∞)D．(0，)[答案]　D[解析]　若a>1，如图(1)为y＝|ax－1|的图象，与y＝2a显然没有两个交点；当0<a<1时，如图(2)，要使y＝2a与y＝|ax－1|的图象有两个交点，应有2a<1，∴0<a<.2．设函数f(x)＝|2x－1|的定义域和值域都是[a，b](b>a)，则a＋b等于(　　)A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4-13-\n[答案]　A[解析]　因为f(x)＝|2x－1|的值域为[a，b]，所以b>a≥0，而函数f(x)＝|2x－1|在[0，＋∞)内是单调递增函数，因此应有解得所以有a＋b＝1，选A.[点评]　本题解题的关键在于首先由函数的值域推出b>a≥0，从而避免了对a、b的各种可能存在情况的讨论，然后根据函数的单调性，建立关于a、b的方程组求解．3．(2022·石家庄一中模拟)若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(，a)，则f(x)＝(　　)A．log2xB．logxC.D．x2[答案]　B[解析]　函数y＝ax的反函数是f(x)＝logax，∵其图象经过点(，a)，∴a＝loga，∴a＝，∴f(x)＝logx.4．已知所有的点An(n，an)(n∈N*)都在函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象上，则a3＋a7与2a5的大小关系是(　　)A．a3＋a7>2a5B．a3＋a7<2a5C．a3＋a7＝2a5D．a3＋a7与2a5的大小关系与a的值有关[答案]　A[解析]　因为所有的点An(n，an)(n∈N*)都在函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象上，所以有an＝an，故a3＋a7＝a3＋a7，由基本不等式得：a3＋a7>2＝2＝2a5，∴a3＋a7>2a5(因为a>0，a≠1，从而基本不等式的等号不成立)，故选A.5．(2022·山东济南一模)若实数x，y满足4x＋4y＝2x＋1＋2y＋1，则t＝2x＋2y的取值范围是(　　)A．0<t≤2B．0<t≤4C．2<t≤4D．t≥4[答案]　C-13-\n[解析]　由4x＋4y＝2x＋1＋2y＋1，得(2x＋2y)2－2×2x×2y＝2(2x＋2y)．即t2－2·2x＋y＝2t，t2－2t＝2·2x＋y.又由2x＋2y≥2，得2x＋y≤(2x＋2y)2，即2x＋y≤t2.所以0<t2－2t≤t2.解得2<t≤4.6．已知函数f(x)＝则f(x)≤的解集为________．[答案]　[1，＋1][解析]　由f(x)≤得，或∴x＝1或1<x≤＋1，∴1≤x≤＋1，故解集为[1，＋1]．7．(2022·潍坊模拟)设f(x)是定义在实数集R上的函数，满足条件y＝f(x＋1)是偶函数，且当x≥1时，f(x)＝2x－1，则f()、f()、f()的大小关系是________．[答案]　f()<f()<f()[解析]　由f(x＋1)＝f(－x＋1)知f(x)的图象关于直线x＝1对称，x≥1时，f(x)为单调增函数，则x≤1时，f(x)为单调减函数．又f()＝f(1＋)＝f(1－)＝f()，<<，∴f()<f()<f()．8．已知函数f(x)＝ax＋a－x(a>0，a≠1)，若f(－1)＝3，则f(0)＋f(2)的值为________．[答案]　9[解析]　由f(－1)＝3得a＋＝3，于是f(2)＝a2＋＝(a＋)2－2＝32－2＝7.又∵f(0)＝1＋1＝2，∴f(0)＋f(2)＝9.-13-\n-13-