河南省洛阳市第二外国语学校2022届高考数学 闯关密练特训《9-6空间向量及其运算》试题 理 新人教A版
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河南省洛阳市第二外国语学校2022届高考数学闯关密练特训《9-6空间向量及其运算》试题理新人教A版1.(2022·芜湖模拟)已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x、y、z分别为( )A.,-,4 B.,-,4C.,-2,4D.4,,-15[答案] B[解析] ∵⊥,∴·=0,即3+5-2z=0,得z=4,又BP⊥平面ABC,∴BP⊥AB,BP⊥BC,=(3,1,4),则解得2.(2022·日照模拟)若a=(2,-2,-2),b=(2,0,4),则a与b的夹角的余弦值为( )A.B.C.-D.0[答案] C[解析] cos〈a,b〉===-.3.空间直角坐标系中,A(1,2,3),B(-2,-1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则直线AB与CD的位置关系是( )A.垂直B.平行C.异面D.相交但不垂直[答案] B[解析] =(-3,-3,3),=(1,1,-1),=-3,又=(5,3,-5),∥\',∴AB∥CD.4.(2022·天津模拟)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a、b、-11-\nc三向量共面,则实数λ等于( )A.B.C.D.[答案] D[解析] 由于a、b、c三向量共面,所以存在实数m,n,使得c=ma+nb,即有解得m=,n=,λ=.5.(2022·济宁月考)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,=,点N为B1B的中点,则|MN|=( )A.aB.aC.aD.a[答案] A[解析] =-=-=+-=+-.∴||==a.6.(2022·丽水调研)如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos〈,〉=,若以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为( )-11-\nA.(1,1,1)B.(1,1,)C.(1,1,)D.(1,1,2)[答案] A[解析] 由题意知A(2,0,0),B(2,2,0),设P(0,0,2m)(m>0),则E(1,1,m),∴=(-1,1,m),=(0,0,2m),∴||=,||=,·=2m2,∵cos〈,〉=,∴=,解之得m=1,故选A.7.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),满足条件(c-a)·(2b)=-2,则x=______.[答案] 2[解析] ∵a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),∴(c-a)·(2b)=(0,0,1-x)·(2,4,2)=2(1-x)=-2,解得x=2.8.若a=(3x,-5,4)与b=(x,2x,-2)之间夹角为钝角,则x的取值范围为________.[答案] [解析] ∵a与b的夹角为钝角,∴a·b<0,∴3x2-10x-8<0,∴-<x<4,又当a与b方向相反时,a·b<0,∴存在λ<0,使a=λb,-11-\n∴(3x,-5,4)=(λx,2λx,-2λ),∴此方程组无解,∴这样的λ不存在,综上知-<x<4.9.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,M、N分别在直线AA1和BD1上运动.当M、N在何位置时,|MN|最小,且|MN|的最小值是________.[答案] [解析] 建立如图所示空间直角坐标系,则A(1,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),D1(0,0,1),设M(1,0,t),=λ,则0≤t≤1,0≤λ≤1,设N(x0,y0,z0),则(x0-1,y0-1,z0)=λ(-1,-1,1),∴∴N(1-λ,1-λ,λ),∴=(-λ,1-λ,λ-t),||2=λ2+(1-λ)2+(λ-t)2=2λ2-2λ+1+(λ-t)2=2(λ-)2+(λ-t)2+,当且仅当λ==t时,||2取到最小值,∴||的最小值为.10.(2022·福州模拟)已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)求以、为边的平行四边形的面积;-11-\n(2)若|a|=且a分别与、垂直,求向量a的坐标.[解析] =(-2,-1,3),=(1,-3,2).(1)因为cos〈,〉===.所以sin〈,〉=.所以S=||·||sin〈,〉=7.即以、为边的平行四边形面积为7.(2)设a=(x,y,z),由|a|=,a⊥,a⊥,可得⇒或所以a=(1,1,1)或(-1,-1,-1).能力拓展提升11.三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面,已知CA=CB=CC1,AC⊥BC,E、F分别是A1C1、B1C1的中点.则AE与CF所成角的余弦值等于( )A.B.-11-\nC.D.[答案] A[解析] 以C为原点,、、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,设AC=1,则A(1,0,0),B1(0,1,1),C(0,0,0),C1(0,0,1),A1(1,0,1),∵E、F分别为A1C1、B1C1的中点,∴E(,0,1),F(0,,1),∴=(-,0,1),=(0,,1),∴cos〈,〉===,故选A.12.(2022·天津模拟)正四面体ABCD的棱长为2,E、F分别为BC、AD的中点,则EF的长为( )A.1B.C.D.2[答案] C[解析] =+=-(+)+,由条件知||=||=||=2,·=·=·=2,∴||2=[||2+||2+||2+2·-2·-2·]=2,∴||=.13.(2022·中山市模拟)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是( )-11-\nA.-a+b+cB.a+b+cC.-a-b+cD.a-b+c[答案] A[解析] =+=+(+)=+(-+)=c-a+b,故选A.14.(2022·泰安模拟)如图,空间四边形OABC中,=a,=b,=c,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC中点,则等于________.[答案] -a+b+c[解析] =-=(+)-=(b+c)-a=-a+b+c.[点评] 空间向量的线性表示及运算与平面向量类似,要结合图形灵活运用三角形法则和平行四边形法则.15.(2022·东营期末)若a=(1,5,-1),b=(-2,3,5).(1)若(ka+b)∥(a-3b),求k;(2)若(ka+b)⊥(a-3b),求k.(3)以坐标原点O为起点作向量=a,=b,求O到直线AB的距离.[解析] ka+b=(k-2,5k+3,-k+5),-11-\na-3b=(1+3×2,5-3×3,-1-3×5)=(7,-4,-16).(1)∵(ka+b)∥(a-3b),∴==,解得k=-.(2)∵(ka+b)⊥(a-3b),∴(k-2)×7+(5k+3)×(-4)+(-k+5)×(-16)=0.解得k=.(3)由条件知A(1,5,-1),B(-2,3,5),∴=(-1,-5,1),=(-3,-2,6),·=19,||=7,∴O到直线AB的距离d==.16.如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC綊AD,BE綊FA,G、H分别为FA、FD的中点.(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;(2)C、D、F、E四点是否共面?为什么?(3)设AB=BE,证明:平面ADE⊥平面CDE.[解析] -11-\n由题设知,FA、AB、AD两两互相垂直.如图,以A为坐标原点,射线AB为x轴正半轴,建立如图所示的直角坐标系A-xyz.(1)设AB=a,BC=b,BE=c,则由题设得A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,b,0),D(0,2b,0),E(a,0,c),G(0,0,c),H(0,b,c),F(0,0,2c).所以,=(0,b,0),=(0,b,0),于是=.又点G不在直线BC上,则GH綊BC,所以四边形BCHG是平行四边形.(2)C、D、F、E四点共面.理由如下:由题设知,F(0,0,2c),所以=(-a,0,c),=(-a,0,c),=,又C∉EF,H∈FD,故C、D、F、E四点共面.(3)由AB=BE,得c=a,所以=(-a,0,a),=(a,0,a),又=(0,2b,0),因此·=0,·=0,即CH⊥AE,CH⊥AD,又AD∩AE=A,所以CH⊥平面ADE.故由CH⊂平面CDFE,得平面ADE⊥平面CDE.[点评] 如果所给问题中存在两两垂直的直线交于一点,容易将各点的坐标表示出来时,可用向量法求解.如果其所讨论关系不涉及求角,求距离或所求角、距离比较容易找(作)出时,可不用向量法求解,本题解答如下:-11-\n(1)由题设知,FG=GA,FH=HD,所以GH綊AD.又BC綊AD,故GH綊BC,所以四边形BCHG是平行四边形.(2)C、D、F、E四点共面.理由如下:由BE綊AF,G是FA的中点知,BE綊GF,所以EF∥BG,由(1)知BG∥CH,所以EF∥CH,故EC、FH共面.又点D直线FH上,所以C、D、F、E四点共面.(3)连结EG,由AB=BE,BE綊AG,及∠BAG=90°知四边形ABEG是正方形,故BG⊥EA.由题设知,FA、AD、AB两两垂直,故AD⊥平面FABE,因此EA是ED在平面FABE内的射影,∴BG⊥ED.又EC∩EA=E,所以BG⊥平面ADE.由(1)知,CH∥BG,所以CH⊥平面ADE.由(2)知F∈平面CDE,故CH⊂平面CDE,得平面ADE⊥平面CDE.1.(2022·郑州一中月考)已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=,若(a+b)·c=7,则a与c的夹角为( )A.30°B.60°C.120°D.150°[答案] C[解析] a+b=(-1,-2,-3)=-a,-11-\n故(a+b)·c=-a·c=7,得a·c=-7,而|a|==,所以cos〈a,c〉==-,〈a,c〉=120°.2.在空间四边形ABCD中,·+·+·的值为( )A.0B.C.1D.无法确定[答案] A[解析] ·+·+·=·(-)+(-)·+(-)·=·-·+·-·+·-·=0,故选A.3.已知斜三棱柱ABC-A′B′C′,设=a,=b,=c,在面对角线AC′和棱BC上分别取点M、N,使=k,=k(0≤k≤1),求证:三向量、a、c共面.[解析] =+=+k=+k(-)=a+k(b-a)=(1-k)a+kb,=k=k(+)=kb+kc,=-=(1-k)a-kc.∵向量a和c不共线,∴、a、c共面.-11-
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