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河南省洛阳市第二外国语学校2022届高考数学 闯关密练特训《4-3三角函数的图象与性质》试题 新人教A版
河南省洛阳市第二外国语学校2022届高考数学 闯关密练特训《4-3三角函数的图象与性质》试题 新人教A版
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河南省洛阳市第二外国语学校2022届高考数学闯关密练特训《4-3三角函数的图象与性质》试题新人教A版1.(文)(2022·大纲全国卷理)设函数f(x)=cosωx(ω>0),将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值等于( )A. B.3C.6D.9[答案] C[解析] 由题意知,=·k(k∈Z),∴ω=6k,令k=1,∴ω=6.(理)(2022·浙江诸暨质检)函数f(x)=sin2x+cos2x的图象可以由函数y=2sin2x的图象经哪种平移得到( )A.向左平移个单位 B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向右平移个单位[答案] B[解析] ∵f(x)=sin2x+cos2x=2sin(2x+)=2sin2(x+),∴f(x)的图象可以由函数y=2sin2x向左平移个单位得到,故应选B.2.(文)(2022·福建文,8)函数f(x)=sin(x-)的图象的一条对称轴是( )A.x=B.x=C.x=-D.x=-[答案] C[解析] 本题考查了正弦型函数图象的对称轴问题.函数f(x)=sin(x-)的图象的对称轴是x-=kπ+,k∈Z,即x=kπ+,k∈Z.-18-\n当k=-1时,x=-π+=-.[点评] 正弦(余弦)型函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点.(理)(2022·海淀模拟)函数f(x)=sin(2x+)图象的对称轴方程可以为( )A.x=B.x=C.x=D.x=[答案] A[解析] 令2x+=kπ+得x=+,k∈Z,令k=0得x=,故选A.[点评] f(x)=sin(2x+)的图象的对称轴过最高点将选项代入检验,∵2×+=,∴选A.3.(文)(2022·唐山模拟)函数y=sin(2x+)的一个递减区间为( )A.(,)B.(-,)C.(-,)D.(,)[答案] A[解析] 由2kπ+≤2x+≤2kπ+得,kπ+≤x≤kπ+ (k∈Z),令k=0得,≤x≤,故选A.(理)(2022·新课标全国理,9)已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx+)在(,π)上单调递减,则ω的取值范围是( )A.[,]B.[,]C.(0,]D.(0,2]-18-\n[答案] A[解析] 本题考查了三角函数y=Asin(ωx+φ)的性质及间接法解题.ω=2⇒ωx+∈[,]不合题意,排除D,ω=1⇒(ωx+)∈[,]合题意,排除B,C.4.(2022·大连模拟)已知函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[-,]上的最小值是-2,则ω的最小值为( )A.B.C.2D.3[答案] B[解析] ∵f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[-,]上的最小值为-2,∴≤,即≤,∴ω≥,即ω的最小值为.5.(文)(2022·吉林一中月考)函数y=sin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图,则( )A.ω=,φ=B.ω=,φ=C.ω=,φ=D.ω=,φ=[答案] C-18-\n[解析] ∵=3-1=2,∴T=8,∴ω==.令×1+φ=,得φ=,∴选C.(理)函数y=,x∈(-π,0)∪(0,π)的图象可能是下列图象中的( )[答案] C[解析] 依题意,函数y=,x∈(-π,0)∪(0,π)为偶函数,排除A,当x∈(0,π)时,直线y=x的图象在y=sinx上方,所以y=>1,故选C.6.(文)(2022·课标全国文)设函数f(x)=sin(2x+)+cos(2x+),则( )A.y=f(x)在(0,)单调递增,其图象关于直线x=对称B.y=f(x)在(0,)单调递增,其图象关于直线x=对称C.y=f(x)在(0,)单调递减,其图象关于直线x=对称D.y=f(x)在(0,)单调递减,其图象关于直线x=对称[答案] D-18-\n[解析] f(x)=sin+cos=sin=cos2x.则函数在单调递减,其图象关于直线x=对称.(理)(2022·河南五校联考)给出下列命题:①函数y=cos(x+)是奇函数;②存在实数α,使得sinα+cosα=;③若α、β是第一象限角且α<β,则tanα<tanβ;④x=是函数y=sin(2x+)的一条对称轴方程;⑤函数y=sin(2x+)的图象关于点(,0)成中心对称图形.其中正确命题的序号为( )A.①③B.②④C.①④D.④⑤[答案] C[解析] ①y=cos(x+)⇒y=-sinx是奇函数;②由sinα+cosα=sin(α+)的最大值为<,所以不存在实数α,使得sinα+cosα=;③α,β是第一象限角且α<β.例如:45°<30°+360°,但tan45°>tan(30°+360°),即tanα<tanβ不成立;④把x=代入y=sin(2x+)得y=sin=-1,所以x=是函数y=sin(2x+)的一条对称轴;⑤把x=代入y=sin(2x+)得y=sin=1,所以点(,0)不是函数y=sin(2x+)的对称中心.综上所述,只有①④正确.[点评] 作为选择题,判断①成立后排除B、D,再判断③(或④)即可下结论.7.(文)函数y=cosx的定义域为[a,b],值域为[-,1],则b-a-18-\n的最小值为________.[答案] [解析] cosx=-时,x=2kπ+或x=2kπ+,k∈Z,cosx=1时,x=2kπ,k∈Z.由图象观察知,b-a的最小值为.(理)(2022·江苏南通一模)函数f(x)=sinωx+cosωx(x∈R),又f(α)=-2,f(β)=0,且|α-β|的最小值等于,则正数ω的值为________.[答案] 1[解析] f(x)=sinωx+cosωx=2sin(ωx+),由f(α)=-2,f(β)=0,且|α-β|的最小值等于可知,=,T=2π,所以ω=1.8.已知关于x的方程2sin2x-sin2x+m-1=0在x∈(,π)上有两个不同的实数根,则m的取值范围是________.[答案] -2<m<-1[解析] m=1-2sin2x+sin2x=cos2x+sin2x=2sin(2x+),∵x∈(,π)时,原方程有两个不同的实数根,∴直线y=m与曲线y=2sin(2x+),x∈(,π)有两个不同的交点,∴-2<m<-1.9.(2022·济南调研)设函数y=2sin(2x+)的图象关于点P(x0,0)成中心对称,若x0∈[-,0],则x0=________.[答案] -[解析] ∵函数y=2sin(2x+)的对称中心是函数图象与x轴的交点,∴2sin(2x0+)=0,-18-\n∵x0∈[-,0]∴x0=-.10.(文)(2022·北京文)已知函数f(x)=4cosxsin(x+)-1.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[-,]上的最大值和最小值.[解析] (1)因为f(x)=4cosxsin(x+)-1=4cosx(sinx+cosx)-1=sin2x+2cos2x-1=sin2x+cos2x=2sin(2x+).所以f(x)的最小正周期为π.(2)因为-≤x≤,所以-≤2x+≤.于是,当2x+=,即x=时,f(x)取得最大值2;当2x+=-,即x=-时,f(x)取得最小值-1.(理)(2022·天津南开中学月考)已知a=(sinx,-cosx),b=(cosx,cosx),函数f(x)=a·b+.(1)求f(x)的最小正周期,并求其图象对称中心的坐标;(2)当0≤x≤时,求函数f(x)的值域.[解析] (1)f(x)=sinxcosx-cos2x+=sin2x-(cos2x+1)+=sin2x-cos2x=sin(2x-),所以f(x)的最小正周期为π.令sin(2x-)=0,得2x-=kπ,∴x=+,k∈Z.-18-\n故所求对称中心的坐标为(+,0)(k∈Z).(2)∵0≤x≤,∴-≤2x-≤.∴-≤sin(2x-)≤1,即f(x)的值域为[-,1].能力拓展提升11.(文)(2022·苏州模拟)函数y=sinx·||(0<x<π)的图象大致是( )[答案] B[解析] y=sinx·||=.(理)(2022·辽宁文)已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|<),y=f(x)的部分图象如图,则f()=( )A.2+B.-18-\nC.D.2-[答案] B[解析] 由图可知:T=2×(π-)=,∴ω==2,又∵图象过点(π,0),∴A·tan(2×π+φ)=A·tan(π+φ)=0,∴φ=.又∵图象还过点(0,1),∴Atan(2×0+)=A=1,∴f(x)=tan(2x+),∴f()=tan(2×+)=tan(+)=tan=.12.(文)为了使函数y=cosωx(ω>0)在区间[0,1]上至多出现50次最小值,则ω的最大值是( )A.98πB.πC.99πD.100π[答案] C[解析] 由题意至多出现50次最小值即至多需用49个周期,∴·≥1,∴ω≤99π,故选C.(理)有一种波,其波形为函数y=sin的图象,若在区间[0,t](t>0)上至少有2个波谷(图象的最低点),则正整数t的最小值是( )A.5 B.6 C.7 D.8[答案] C[解析] ∵y=sin的图象在[0,t]上至少有2个波谷,函数y=sin-18-\n的周期T=4,∴t≥T=7,故选C.13.(文)(2022·南昌调研)设函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈(-,))的最小正周期为π,且其图象关于直线x=对称,则在下面四个结论中:①图象关于点(,0)对称;②图象关于点(,0)对称;③在[0,]上是增函数;④在[-,0]上是增函数中,所有正确结论的编号为________.[答案] ②④[解析] 由最小正周期为π得,=π,∴ω=2;再由图象关于直线x=对称,∴2×+φ=,∴φ=,∴f(x)=sin(2x+),当x=时,f()=≠0,故①错;当x=时,f()=0,故②正确;由2kπ-≤2x+≤2kπ+ (k∈Z)得,kπ-≤x≤kπ+,令k=0得,-≤x≤,故③错,④正确,∴正确结论为②④.(理)(2022·南京模拟)已知函数f(x)=xsinx,现有下列命题:①函数f(x)是偶函数;②函数f(x)的最小正周期是2π;③点(π,0)是函数f(x)的图象的一个对称中心;④函数f(x)在区间[0,]上单调递增,在区间[-,0]上单调递减.其中真命题是________(写出所有真命题的序号).[答案] ①④[解析] ∵y=x与y=sinx均为奇函数,∴f(x)为偶函数,故①真;∵f()=,f(+2π)=+2π≠,-18-\n∴②假;∵f()=,f()=-,+=2π,+(-)≠0,∴③假;设0≤x1<x2≤,则=·<1,∴f(x1)<f(x2)(f(x2)>0),∴f(x)在[0,]上为增函数,又∵f(x)为偶函数,∴f(x)在[-,0]上为减函数,∴④真.14.函数f(x)=2acos2x+bsinxcosx满足:f(0)=2,f()=+.(1)求函数f(x)的最大值和最小值;(2)若α、β∈(0,π),f(α)=f(β),且α≠β,求tan(α+β)的值.[解析] (1)由得解得a=1,b=2,∴f(x)=sin2x+cos2x+1=sin(2x+)+1,∵-1≤sin(2x+)≤1,∴f(x)max=+1,f(x)min=1-.(2)由f(α)=f(β)得,sin(2α+)=sin(2β+).∵2α+、2β+∈(,),且α≠β,∴2α+=π-(2β+)或2α+=3π-(2β+),∴α+β=或α+β=,故tan(α+β)=1.15.(文)(2022·长沙一中月考)已知f(x)=sinx+sin(-x).(1)若α∈[0,π],且sin2α=,求f(α)的值;(2)若x∈[0,π],求f(x)的单调递增区间.[解析] (1)由题设知f(α)=sinα+cosα.∵sin2α==2sinα·cosα>0,α∈[0,π],∴α∈(0,),sinα+cosα>0.由(sinα+cosα)2=1+2sinα·cosα=,-18-\n得sinα+cosα=,∴f(α)=.(2)由(1)知f(x)=sin(x+),又0≤x≤π,∴f(x)的单调递增区间为[0,].(理)在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,向量m=(b,2a-c),n=(cosB,cosC),且m∥n.(1)求角B的大小;(2)设f(x)=cos+sinωx(ω>0),且f(x)的最小正周期为π,求f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值.[解析] (1)由m∥n得,bcosC=(2a-c)cosB,∴bcosC+ccosB=2acosB.由正弦定理得,sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB,即sin(B+C)=2sinAcosB.又B+C=π-A,∴sinA=2sinAcosB.又sinA≠0,∴cosB=.又B∈(0,π),∴B=.(2)由题知f(x)=cos(ωx-)+sinωx=cosωx+sinωx=sin(ωx+),由已知得=π,∴ω=2,f(x)=sin(2x+),当x∈[0,]时,(2x+)∈[,],sin(2x+)∈[-,1].因此,当2x+=,即x=时,f(x)取得最大值.当2x+=,即x=时,f(x)取得最小值-.16.(文)(2022·福建四地六校联考)已知函数f(x)=-1+2sinxcosx+2cos2x.(1)求f(x)的单调递减区间;(2)求f(x)图象上与原点最近的对称中心的坐标;-18-\n(3)若角α,β的终边不共线,且f(α)=f(β),求tan(α+β)的值.[解析] f(x)=sin2x+cos2x=2sin(2x+),(1)由2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z)得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),∴f(x)的单调减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z).(2)由sin(2x+)=0得2x+=kπ(k∈Z),即x=-(k∈Z),∴f(x)图象上与原点最近的对称中心坐标是(-,0).(3)由f(α)=f(β)得:2sin(2α+)=2sin(2β+),又∵角α与β的终边不共线,∴(2α+)+(2β+)=2kπ+π(k∈Z),即α+β=kπ+(k∈Z),∴tan(α+β)=.(理)(2022·浙江文)已知函数f(x)=Asin(x+φ),x∈R,A>0,0<φ<.y=f(x)的部分图象如图所示,P、Q分别为该图象的最高点和最低点,点P的坐标为(1,A).(1)求f(x)的最小正周期及φ的值;(2)若点R的坐标为(1,0),∠PRQ=,求A的值.-18-\n[解析] (1)由题意得,T==6,因为P(1,A)在y=Asin(x+φ)的图象上,所以sin(+φ)=1.又因为0<φ<,所以φ=.(2)设点Q的坐标为(x0,-A),由题意可知x0+=,得x0=4,所以Q(4,-A).连接PQ,在△PRQ中,∠PRQ=π,由余弦定理得,cos∠PRQ===-,解得A2=3 又A>0,所以A=.1.(2022·河北郑口中学模拟)已知函数f(x)=Asin(x+φ)(A>0,-<φ<0)在x=处取得最大值,则f(x)在[-π,0]上的单调增区间是( )A.[-π,-]B.[-,-]C.[-,0]D.[-,0][答案] D[解析] ∵f(x)=Asin(x+φ)在x=处取得最大值,A>0,-<φ<0,∴φ=-,∴-18-\nf(x)=Asin(x-),由2kπ-≤x-≤2kπ+(k∈Z)得2kπ-≤x≤2kπ+,令k=0得-≤x≤0,故选D.2.(2022·长沙二模)若将函数y=sin(ω>0)的图象向右平移个单位长度后,与函数y=sin的图象重合,则ω的最小值为( )A.1B.2C.D.[答案] D[解析] y=siny=sin=sin,∴-ω+2kπ=,∴ω=8k-(k∈Z),又∵ω>0,∴ωmin=.3.(2022·北京大兴区模拟)已知函数f(x)=sin图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆x2+y2=R2上,则f(x)的最小正周期为( )A.1 B.2 C.3 D.4[答案] D[解析] f(x)的周期T==2R,f(x)的最大值是,结合图形分析知R>,则2R>2>3,只有2R=4这一种可能,故选D.4.(2022·河北保定模拟)已知向量a=(cosθ,sinθ)与b=(cosθ,-sinθ)互相垂直,且θ为锐角,则函数f(x)=sin(2x-θ)的图象的一条对称轴是直线( )A.x=πB.x=C.x=D.x=[答案] B-18-\n[解析] a·b=cos2θ-sin2θ=cos2θ=0,∵θ为锐角,∴θ=,∴f(x)=sin(2x-).由2x-=kπ+得,x=+,令k=1得x=,故选B.5.(2022·北京西城模拟)函数y=sin(πx+φ)(φ>0)的部分图象如图所示,设P是图象的最高点,A,B是图象与x轴的交点,则tan∠APB=( )A.10B.8C.D.[答案] B[分析] 利用正弦函数的周期、最值等性质求解.[解析] 如图,过P作PC⊥x轴,垂足为C,设∠APC=α,∠BPC=β,∴∠APB=α+β,y=sin(πx+φ),T==2,tanα=-18-\n==,tanβ===,则tan(α+β)===8,∴选B.6.对任意x1,x2∈,x2>x1,y1=,y2=,则( )A.y1=y2B.y1>y2C.y1<y2D.y1,y2的大小关系不能确定[答案] B[解析] 取函数y=1+sinx,则的几何意义为过原点及点(x1,1+sinx1)的直线斜率,的几何意义为过原点及点(x2,1+sinx2)的直线斜率,由x1<x2,观察函数y=1+sinx的图象可得y1>y2.选B.7.(2022·菏泽模拟)对于函数f(x)=,给出下列四个命题:①该函数是以π为最小正周期的周期函数;②当且仅当x=π+kπ(k∈Z)时,该函数取得最小值是-1;③该函数的图象关于直线x=+2kπ(k∈Z)对称;④当且仅当2kπ<x<+2kπ(k∈Z)时,0<f(x)≤.其中正确命题的序号是________(请将所有正确命题的序号都填上)[答案] ③④[解析] 画出函数f(x)的图象,易知③④正确.8.已知函数f(x)=sin(2x-)+2sin2(x-)(x∈R).(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.[解析] (1)f(x)=sin(2x-)+1-cos2(x-)=2+1=2sin(2x-)+1.-18-\n所以最小正周期为T=π.(2)当f(x)取最大值时,只要sin(2x-)=1,得出x=kπ+(k∈Z),∴x值的集合为{x|x=kπ+,k∈Z}.[点评] 差异分析是解答数学问题的有效方法.诸如:化复杂为简单,异角化同角,异名化同名,高次化低次,化为一个角的同名三角函数的形式等等.-18-
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