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河南省洛阳市第二外国语学校2022届高考数学 闯关密练特训《3-3导数的实际应用》试题 新人教A版
河南省洛阳市第二外国语学校2022届高考数学 闯关密练特训《3-3导数的实际应用》试题 新人教A版
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河南省洛阳市第二外国语学校2022届高考数学闯关密练特训《3-3导数的实际应用》试题新人教A版1.(文)正三棱柱体积为V,则其表面积最小时,底面边长为( )A. B. C. D.2[答案] C[解析] 设正三棱柱底面边长为a,高为h,则体积V=a2h,∴h=,表面积S=a2+3ah=a2+,由S′=a-=0,得a=,故选C.(理)在内接于半径为R的半圆的矩形中,周长最大的矩形的边长为( )A.和R B.R和RC.R和RD.以上都不对[答案] B[解析] 设矩形垂直于半圆直径的边长为x,则另一边长为2,则l=2x+4 (0<x<R),l′=2-,令l′=0,解得x=R.当0<x<R时,l′>0;当R<x<R时,l′<0.所以当x=R时,l取最大值,即周长最大的矩形的边长为R,R.2.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A.13万件B.11万件C.9万件D.7万件[答案] C[解析] ∵y=-x3+81x-234,∴y′=-x2+81(x>0).令y′=0得x=9,令y′<0得x>9,令y′>0得0<x<9,-18-\n∴函数在(0,9)上单调递增,在(9,+∞)上单调递减,∴当x=9时,函数取得最大值.故选C.[点评] 利用导数求函数最值时,令y′=0得到x的值,此x的值不一定是极大(小)值时,还要判定x值左右两边的导数的符号才能确定.3.(文)做一个圆柱形锅炉,容积为V,两个底面的材料每单位面积的价格为a元,侧面的材料每单位面积的价格为b元,当造价最低时,锅炉的底面直径与高的比为( )A. B. C. D.[答案] C[解析] 如图,设圆柱的底面半径为R,高为h,则V=πR2h.设造价为y,则y=2πR2a+2πRhb=2πaR2+2πRb·=2πaR2+,∴y′=4πaR-.令y′=0并将V=πR2h代入解得,=.(理)圆柱的表面积为S,当圆柱体积最大时,圆柱的底面半径为( )A.B.C.D.3π·[答案] C[解析] 设圆柱底面半径为r,高为h,∴S=2πr2+2πrh,∴h=,-18-\n又V=πr2h=,则V′=,令V′=0,得S=6πr2,∴h=2r,r=.4.某公司生产某种产品,固定成本为20000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总收益R与产量x的关系是R=则总利润最大时,每年生产的产品是( )A.100B.150C.200D.300[答案] D[解析] 由题意,总成本为C=20000+100x.所以总利润为P=R-C=P′=令P′=0,得x=300,易知当x=300时,总利润最大.5.(文)内接于半径为R的球并且体积最大的圆锥的高为( )A.RB.2RC.RD.R[答案] C[解析] 设圆锥的高为h,底面半径为r,则R2=(h-R)2+r2,∴r2=2Rh-h2,∴V=πr2h=h(2Rh-h2)=πRh2-h3,V′=πRh-πh2,令V′=0得h=R.(理)要制做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则高为( )A.cmB.cmC.cmD.cm[答案] D[解析] 设圆锥的高为x,则底面半径为,其体积为V=πx(400-x2) (0<x<20),V′=π(400-3x2),令V′=0,解得x=.当0<x<时,V′>0;当<x<20时,V′<0,-18-\n所以当x=时,V取最大值.6.(2022·保定模拟)定义域为R的函数f(x)满足f(1)=1,且f(x)的导函数f′(x)>,则满足2f(x)<x+1的x的集合为( )A.{x|-1<x<1}B.{x|x<1}C.{x|x<-1或x>1}D.{x|x>1}[答案] B[解析] 令g(x)=2f(x)-x-1,∵f′(x)>,∴g′(x)=2f′(x)-1>0,∴g(x)为单调增函数,∵f(1)=1,∴g(1)=2f(1)-1-1=0,∴当x<1时,g(x)<0,即2f(x)<x+1,故选B.7.(文)用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为21,该长方体的最大体积是________.[答案] 3m3[解析] 设长方体的宽为x,则长为2x,高为-3x (0<x<2),故体积为V=2x2=-6x3+9x2,V′=-18x2+18x,令V′=0得,x=0或1,∵0<x<2,∴x=1.∴该长方体的长、宽、高各为2m、1m、1.5m时,体积最大,最大体积Vmax=3m3.(理)用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么容器的容积最大时,容器的高为________.[答案] 1.2m[解析] 设容器的短边长为xm,则另一边长为(x+0.5)m,高为=3.2-2x.由3.2-2x>0和x>0,得0<x<1.6,设容器的容积为ym3,则有y=x(x+0.5)(3.2-2x)(0<x<1.6),整理得y=-2x3+2.2x2+1.6x,∴y′=-6x2+4.4x+1.6,令y′=0,有-6x2+4.4x+1.6=0,即15x2-11x-4=0,-18-\n解得x1=1,x2=-(不合题意,舍去),∴高=3.2-2=1.2,容积V=1×1.5×1.2=1.8.8.(文)(2022·北京模拟)若函数f(x)=lnx-ax2-2x存在单调递减区间,则实数a的取值范围是________.[答案] (-1,+∞)[分析] 函数f(x)存在单调减区间,就是不等式f′(x)<0有实数解,考虑到函数的定义域为(0,+∞),所以本题就是求f′(x)<0在(0,+∞)上有实数解时a的取值范围.[解析] 解法1:f′(x)=-ax-2=,由题意知f′(x)<0有实数解,∵x>0,∴ax2+2x-1>0有实数解.当a≥0时,显然满足;当a<0时,只要Δ=4+4a>0,∴-1<a<0,综上知a>-1.解法2:f′(x)=-ax-2=,由题意可知f′(x)<0在(0,+∞)内有实数解.即1-ax2-2x<0在(0,+∞)内有实数解.即a>-在(0,+∞)内有实数解.∵x∈(0,+∞)时,-=(-1)2-1≥-1,∴a>-1.(理)(2022~2022·黄冈市期末)对于三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义:设f′(x)是函数y=f(x)的导数,f″(x)是f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.若f(x)=x3-x2+3x-,请你根据这一发现,求:(1)函数f(x)=x3-x2+3x-的对称中心为________;(2)计算f()+f()+f()+f()+…+f()=________.[答案] (1)(,1) (2)2022[解析] (1)f′(x)=x2-x+3,f″(x)=2x-1,由2x-1=0得x=,f()=×()3--18-\n×()2+3×-=1,由拐点的定义知f(x)的拐点即对称中心为(,1).(2)∴f()+f(1-)=f()+f()=2(k=1,2,…,1007),∴f()+f()+…+f()=[f()+f()]+[f()+f()]+…+[f()+f()]+f()=2×1006+1=2022.9.有一个容积V一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶,已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍,问如何设计使总造价最小?[分析] 桶的总造价要根据铁与铝合金的用量来定,由于二者单位面积的价格不同,在保持铁桶容积不变的前提下,使总造价最小.问题转化为V一定求总造价y的最小值,选取恰当变量(圆柱高h或底半径r)来表示y即变为函数极值问题.[解析] 设圆柱体高为h,底面半径为r,又设单位面积铁的造价为m,桶总造价为y,则y=3mπr2+m(πr2+2πrh).由于V=πr2h,得h=,所以y=4mπr2+ (r>0).所以,y′=8mπr-.令y′=0,得r=,此时,h==4.该函数在(0,+∞)内连续可导,且只有一个使函数的导数为零的点,问题中总造价的最小值显然存在,当r=时,y有最小值,即hr=4时,总造价最小.10.(文)已知球的直径为d,求当其内接正四棱柱体积最大时,正四棱柱的高为多少?[解析] 如右图所示,设正四棱柱的底面边长为x,高为h,由于x2+x2+h2=d2,-18-\n∴x2=(d2-h2).∴球内接正四棱柱的体积为V=x2·h=(d2h-h3),0<h<d.V′=(d2-3h2)=0,∴h=d.在(0,d)上,函数变化情况如下表:hdV′+0-V↗极大值↘由上表知体积最大时,球内接正四棱柱的高为d.(理)如右图所示,扇形AOB中,半径OA=1,∠AOB=,在OA的延长线上有一动点C,过点C作CD与相切于点E,且与过点B所作的OB的垂线交于点D,问当点C在什么位置时,直角梯形OCDB的面积最小.[分析] 要求直角梯形OCDB的面积的最小值,需先求出梯形面积,可设OC=x,进而用x表示BD,然后利用导数的方法求最小值.[解析] 如上图所示,过D作DF⊥OA于F,可知△OEC≌△DFC,所以OC=CD,设OC=x(x>1),在Rt△CDF中,CD2=CF2+DF2,即x2=(x-BD)2+1,所以BD=x-,所以梯形的面积为-18-\nS=(BD+OC)·OB=(2x-),S′=(2-).令S′=0,解得x1=,x2=-(舍去).当x>时,S′>0;当1<x<时,S′<0.所以当x=时,S取最小值.即当OC=时,直角梯形OCDB的面积最小.能力拓展提升11.已知非零向量a、b满足:|a|=2|b|,若函数f(x)=x3+|a|x2+a·bx在R上有极值,设向量a、b的夹角为θ,则cosθ的取值范围为( )A.B.C.D.[答案] D[解析] ∵函数f(x)在R上有极值,∴f′(x)=x2+|a|x+a·b=0有两不等实根,∴Δ=|a|2-4|a|·|b|cosθ=4|b|2-8|b|2cosθ>0,∴cosθ<,∴选D.[点评] 若f(x)为三次函数,f(x)在R上有极值,则f′(x)=0应有二不等实根,当f(x)有两相等实根时,不能保证f(x)有极值,这一点要特别注意,如f(x)=x3,f′(x)=x2=0有实根x=0,但f(x)在R上单调增,无极值.即导数为0是函数有极值的必要不充分条件.12.如图,过函数y=xsinx+cosx图象上点(x,y)的切线的斜率为k,若k=g(x),则函数k=g(x)的图象大致为( )-18-\n[答案] A[解析] ∵y′=sinx+xcosx-sinx=xcosx,∴k=g(x)=xcosx,易知其图象为A.13.函数f(x)=2x3+x2-x+1的图象与x轴交点个数为________个.[答案] 1[解析] f′(x)=6x2+x-1=(3x-1)(2x+1),当x<-时,f′(x)>0,当-<x<时,f′(x)<0,当x>时,f′(x)>0,∴f(x)在(-∞,-)上单调递增,在(-,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,∴当x=-时,f(x)取到极大值,当x=时,f(x)取到极小值,故f(x)的图象与x轴只有一个交点.14.将边长为1m的正三角形薄铁皮,沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记s=,则s的最小值是________.[答案] -18-\n[解析] 设DE=x,则梯形的周长为:3-x,梯形的面积为:(x+1)·(1-x)=(1-x2),∴s==·,x∈(0,1),设h(x)=,h′(x)=.令h′(x)=0,得:x=或x=3(舍),∴h(x)最小值=h=8,∴s最小值=×8=.15.(文)甲乙两地相距400km,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过100km/h,已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(km/h)的函数关系是P=v4-v3+15v.(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式;(2)为使全程运输成本最少,汽车应以多大速度行驶?并求此时运输成本的最小值.[解析] (1)汽车从甲地到乙地需用h,故全程运输成本为Q==-+6000 (0<v≤100).(2)Q′=-5v,令Q′=0得,v=80,∴当v=80km/h时,全程运输成本取得最小值,最小值为元.(理)(2022·江苏)请你设计一个包装盒.如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x(cm).-18-\n(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?(2)某厂商要求包装盒容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.[解析] 设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm),由已知得a=x,h==(30-x),0<x<30.(1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1800,所以当x=15时,S取得最大值.(2)V=a2h=2(-x3+30x2),V′=6x(20-x).由V′=0得x=0(舍)或x=20.当x∈(0,20)时,V′>0;当x∈(20,30)时,V′<0.所以当x=20时,V取得极大值,也是最大值.此时=.即包装盒的高与底面边长的比值为.16.(文)用一块钢锭浇铸一个厚度均匀,且全面积为2m2的正四棱锥形有盖容器(如右图).设容器的高为hm,盖子边长为am.(1)求a关于h的函数解析式;(2)设容器的容积为Vm3,则当h为何值时,V最大?求出V的最大值.(容器的厚度忽略不计)-18-\n[解析] (1)如右图,作PO⊥平面ABCD,O为垂足,作OE⊥BC于E,连结PE,则PE⊥BC,正四棱锥的全面积为2=4××a×+a2.所以a= (h>0).(2)V=a2h=·(h>0),V′=·=.所以当0<h<1时,V′>0.所以V(h)在(0,1]上为增函数.当h>1时,V′<0,所以V(h)在[1,+∞)上为减函数.故h=1为函数V(h)的唯一极大值点也是最大值点,∴Vmax=.答:当高h=1m时,容积取最大值m3.(理)如图,有一矩形钢板ABCD缺损了一角(如图所示),边缘线OM上每一点到点D的距离都等于它到边AB的距离.工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形,若AB=1m,AD=0.5m,问如何画切割线EF可使剩余部分五边形ABCEF的面积最大?-18-\n[解析] 由题知,边缘线OM是以点D为焦点,直线AB为准线的抛物线的一部分.以O点为原点,AD所在直线为y轴建立直角坐标系,则D(0,),M(,).所以边缘线OM所在抛物线的方程为y=x2(0≤x≤).要使如图的五边形ABCEF面积最大,则必有EF所在直线与抛物线相切,设切点为P(t,t2).则直线EF的方程为y=2t(x-t)+t2,即y=2tx-t2,由此可求得点E,F的坐标分别为E(,),F(0,-t2).所以S△DEF=S(t)=··(+t2)=·,t∈(0,].所以S′(t)=·==,显然函数S(t)在(0,]上是减函数,在(,]上是增函数.所以当t=时,S△DEF取得最小值,相应地,五边形ABCEF的面积最大.此时点E、F的坐标分别为E(,),F(0,-).此时沿直线EF划线可使五边形ABCEF的面积最大.1.函数f(x)的定义域为R,导函数f′(x)的图象如图所示,则函数f(x)( )-18-\nA.无极大值点、有四个极小值点B.有三个极大值点、两个极小值点C.有两个极大值点、两个极小值点D.有四个极大值点、无极小值点[答案] C[解析] 设f′(x)与x轴的4个交点,从左至右依次为x1、x2、x3、x4,当x<x1时,f′(x)>0,f(x)为增函数,当x1<x<x2时,f′(x)<0,f(x)为减函数,则x=x1为极大值点,同理,x=x3为极大值点,x=x2,x=x4为极小值点.2.函数f(x)=excosx的图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角的余弦值为( )A.-B.C.D.1[答案] C[解析] f′(x)=excosx-exsinx,∴f′(0)=1.设f(x)在点(0,f(0))处切线的倾斜角为α,则tanα=1,∵α∈(0,π),∴α=,∴cosα=.3.设函数f(x)=x3+x2+tanθ,其中θ∈,则导数f′(1)的取值范围为( )A.[-2,2]B.[,]C.[,2]D.[,2][答案] D[解析] ∵f′(x)=sinθ·x2+cosθ·x,-18-\n∴f′(1)=sinθ+cosθ=2sin.∵θ∈,∴θ+∈.∴sin∈,∴f′(1)∈[,2],故选D.4.某工厂要围建一个面积为128m2的矩形堆料场,一边可以用原有的墙壁,其他三边要砌新的墙壁,要使砌墙所用的材料最省,堆料场的长、宽应分别为________.[答案] 16m 8m[解析] 设场地宽为xm,则长为m,因此新墙总长度为y=2x+(x>0),y′=2-,令y′=0,∵x>0,∴x=8.因为当0<x<8时,y′<0;当x>8时,y′>0,所以当x=8时,y取最小值,此时宽为8m,长为16m.即当堆料场的长为16m,宽为8m时,可使砌墙所用材料最省.5.(2022·陕西文)设f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x).(1)求g(x)的单调区间和最小值;(2)讨论g(x)与g()的大小关系;(3)求a的取值范围,使得g(a)-g(x)<对任意x>0成立.[解析] ∵f(x)=lnx,∴f′(x)=,g(x)=lnx+.∴g′(x)=,令g′(x)=0得x=1,当x∈(0,1)时,g′(x)<0,∴(0,1)是g(x)的单调减区间;当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0.∴(1,+∞)是g(x)的单调增区间,因此当x=1时g(x)取极小值,且x=1是唯一极值点,从而是最小值点.所以g(x)最小值为g(1)=1.(2)g()=-lnx+x令h(x)=g(x)-g()=2lnx-x+,-18-\n则h′(x)=-,当x=1时,h(1)=0,即g(x)=g(),当x∈(0,1)∪(1,+∞)时h′(x)<0,h′(1)=0,所以h(x)在(0,+∞)单调递减,当x∈(0,1)时,h(x)>h(1)=0,即g(x)>g(),当x∈(1,+∞)时,h(x)<h(1)=0,即g(x)<g(),综上知,当x∈(0,1)时,g(x)>g();当x=1时,g(x)=g();当x∈(1,+∞)时,g(x)<g().(3)由(1)可知g(x)最小值为1,所以g(a)-g(x)<对任意x>0成立等价于g(a)-1<,即lna<1,解得0<a<e.所以a的取值范围是(0,e).6.学习曲线是1936年美国康乃尔大学T.P.Wright博士在飞机制造过程中,通过对大量有关资料、案例的观察、分析、研究,首次发现并提出来的.已知某类学习任务的学习曲线为:f(t)=·100%(其中f(t)为该任务的程度,t为学习时间),且这类学习任务中的某项任务满足f(2)=60%.(1)求f(t)的表达式,计算f(0)并说明f(0)的含义;(2)已知2x>xln2对任意x>0恒成立,现定义为该类学习任务在t时刻的学习效率指数,研究表明,当学习时间t∈(1,2)时,学习效率最佳,当学习效率最佳时,求学习效率指数相应的取值范围.[解析] (1)∵f(t)=·100%(t为学习时间),且f(2)=60%,则·100%=60%,解得a=4.∴f(t)=·100%=·100%(t≥0),∴f(0)=·100%=37.5%,-18-\nf(0)表示某项学习任务在开始学习时已掌握的程度为37.5%.(2)令学习效率指数=y,则y===(t>0),现研究函数g(t)=t+的单调性,由于g′(t)=1+=(t>0),又已知2x>xln2对任意x>0恒成立,即2t-tln2>0,则g′(t)>0恒成立,∴g(t)在(0,+∞)上为增函数,且g(t)为正数.∴y==(t>0)在(0,+∞)上为减函数,而y|t=1==,y|t=2==,即y=∈(,),故所求学习效率指数的取值范围是(,).7.(2022·延边州质检)已知函数f(x)=x2+ax-lnx,a∈R.(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围;(3)令g(x)=f(x)-x2,是否存在实数a,当x∈(0,e](e是自然对数的底数)时,函数g(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.[解析] (1)当a=1时,由f′(x)=2x+1-==,∵函数f(x)=x2+x-lnx的定义域为(0,+∞),∴当x∈(0,]时,f′(x)≤0,当x∈[,+∞)时,f′(x)≥0,所以函数f(x)=x2+x-lnx的单调递减区间为(0,]单调递增区间为[,+∞).(2)f′(x)=2x+a-=≤0在[1,2]上恒成立,令h(x)=2x2+ax-1,有得,得a≤-.-18-\n(3)假设存在实数a,使g(x)=ax-lnx(x∈(0,e])有最小值3,g′(x)=a-=.①当a≤0时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae-1=3,a=(舍去),∴g(x)无最小值.②当0<<e时,g(x)在(0,)上单调递减,在(,e]上单调递增,∴g(x)min=g()=1+lna=3,a=e2,满足条件.③当≥e时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae-1=3,a=(舍去),∴f(x)无最小值.综上,存在实数a=e2,使得当x∈(0,e]时,f(x)有最小值3.8.(2022·山东苍山县模拟)某食品厂进行蘑菇的深加工,每公斤蘑菇的成本20元,并且每公斤蘑菇的加工费为t元(t为常数,且2≤t≤5),设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x元(25≤x≤40),根据市场调查,日销售量q与ex成反比,当每公斤蘑菇的出厂价为30元时,销售量为100kg.(每日利润=日销售量×(每公斤出厂价-成本价-加工费)).(1)求该工厂的每日利润y元与每公斤蘑菇的出厂价x元的函数关系式;(2)若t=5,当每公斤蘑菇的出厂价x为多少元时,该工厂的利润y最大,并求最大值.[解析] (1)设日销售量q=,则=100,∴k=100e30,∴日销售量q=,∴y=(25≤x≤40).(2)当t=5时,y=,y′=.由y′≥0得x≤26,由y′≤0得x≥26,∴y在[26,25]上单调递增,在[26,40]上单调递减,∴当x=26时,ymax=100e4.当每公斤蘑菇的出厂价为26元时,该工厂的利润最大,最大值为100e4元.-18-
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 23:16:15
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