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浙江专用2022高考数学二轮复习专题5.3圆锥曲线的热点问题精练理

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第3讲 圆锥曲线的热点问题(建议用时:70分钟)一、选择题1.(2022·丽水调研)若双曲线-=1(a>0,b>0)与直线y=x无交点,则离心率e的取值范围是(  ).A.(1,2)B.(1,2]C.(1,)D.(1,]解析 因为双曲线的渐近线为y=±x,要使直线y=x与双曲线无交点,则直线y=x应在两渐近线之间,所以有≤,即b≤a,所以b2≤3a2,c2-a2≤3a2,即c2≤4a2,e2≤4,所以1<e≤2.答案 B2.直线4kx-4y-k=0与抛物线y2=x交于A,B两点,若|AB|=4,则弦AB的中点到直线x+=0的距离等于(  ).A.B.2C.D.4解析 直线4kx-4y-k=0,即y=k,即直线4kx-4y-k=0过抛物线y2=x的焦点.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+=4,故x1+x2=,则弦AB的中点横坐标是,弦AB的中点到直线x+=0的距离是+=.答案 C3.(2022·四川卷)过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=(  ).A.B.2C.6D.49\n解析 焦点F(2,0),过F与x轴垂直的直线为x=2,渐近线方程为x2-=0,将x=2代入渐近线方程得y2=12,y=±2,∴|AB|=2-(-2)=4.选D.答案 D4.(2022·新课标全国Ⅰ卷)已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点,若·<0,则y0的取值范围是(  ).A.B.C.D.解析 由题意知M在双曲线C:-y2=1上,又在x2+y2=3内部,由得y=±,所以-<y0<.答案 A5.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为F1、F2,且两条曲线在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形,若|PF1|=10,椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2,则e1·e2的取值范围是(  ).A.(0,+∞)B.C.D.解析 设椭圆与双曲线的半焦距为c,|PF1|=r1,|PF2|=r2.由题意知r1=10,r2=2c,且r1>r2,2r2>r1,∴2c<10,2c+2c>10,∴<c<5⇒1<<4,∴e2====;9\ne1====.∴e1·e2==>.答案 B6.(2022·重庆卷)设双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D,若D到直线BC的距离小于a+,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是(  ).A.(-1,0)∪(0,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-,0)∪(0,)D.(-∞,-)∪(,+∞)解析 由题意A(a,0),B,C,由双曲线的对称性知D在x轴上,设D(x,0),由BD⊥AC得·=-1,解得c-x=,所以c-x=<a+=a+c,所以<c2-a2=b2⇒<1⇒0<<1,因此渐近线的斜率取值范围是(-1,0)∪(0,1),选A.答案 A7.(2022·湖北卷)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(  ).A.B.C.3D.2解析 设|PF1|=r1,|PF2|=r2(r1>r2),|F1F2|=2c,椭圆长半轴长为a1,双曲线实半轴长为a2,椭圆,双曲线的离心率分别为e1,e2,由(2c)2=r+r-2r1r2cos,得4c2=r+r-r1r2.由得∴+==.9\n令m====,当=时,mmax=,∴max=,即+的最大值为.答案 A二、填空题8.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=________.解析 由题意知B,代入方程-=1得p=6.答案 69.(2022·杭州调研)已知抛物线方程为y2=4x,直线l的方程为x-y+4=0,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,P到直线l的距离为d2,则d1+d2的最小值为________.解析 过点P作抛物线的准线的垂线,垂足为A,交y轴于B,由抛物线方程为y2=4x得焦点F的坐标为(1,0),准线为x=-1,则由抛物线的定义可得d1+d2=|PA|-|AB|+d2=|PF|-1+d2,|PF|+d2大于或等于焦点F到直线l的距离,即|PF|+d2的最小值为=,所以d1+d2的最小值为-1.答案 -110.(2022·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为________.解析 双曲线x2-y2=1的渐近线为x±y=0,直线x-y+1=0与渐近线x-y=0平行,故两平行线的距离d==.由点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,得c≤,故c的最大值为.9\n答案 11.(2022·金华模拟)已知点F是双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是________.解析 由题意知,△ABE为等腰三角形.若△ABE是锐角三角形,则只需要∠AEB为锐角.根据对称性,只要∠AEF<即可.直线AB的方程为x=-c,代入双曲线方程得y2=,取点A,则|AF|=,|EF|=a+c,只要|AF|<|EF|就能使∠AEF<,即<a+c,即b2<a2+ac,即c2-ac-2a2<0,即e2-e-2<0,即-1<e<2.又e>1,故1<e<2.答案 (1,2)12.设F1是椭圆+y2=1的左焦点,O为坐标原点,点P在椭圆上,则·的最大值为________.解析 设P(x0,y0),依题意可得F1(-,0),则·P=x+y+x0=x+1-+x0=+x0+1=2.又-2≤x0≤2,所以当x0=2时,·P取得最大值4+2.答案 4+2三、解答题13.(2022·北京卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点P(0,1)和点A(m,n)(m≠0)都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示);(2)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N.问:y轴上是否存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.解 (1)由题意得解得a2=2,故椭圆C的方程为+y2=1.设M(xM,0).因为m≠0,所以-1<n<1.9\n直线PA的方程为y-1=x.所以xM=,即M.(2)因为点B与点A关于x轴对称,所以B(m,-n).设N(xN,0),则xN=.“存在点Q(0,yQ)使得∠OQM=∠ONQ”,等价于“存在点Q(0,yQ)使得=”,即yQ满足y=|xM||xN|.因为xM=,xN=,+n2=1.所以y=|xM||xN|==2.所以yQ=或yQ=-.故在y轴上存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ,点Q的坐标为(0,)或(0,-).14.(2022·山东卷)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,左、右焦点分别是F1,F2.以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆E:+=1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.(ⅰ)求的值;(ⅱ)求△ABQ面积的最大值.解 (1)由题意知2a=4,则a=2,又=,a2-c2=b2,可得b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)由(1)知椭圆E的方程为+=1.9\n(ⅰ)设P(x0,y0),=λ,由题意知Q(-λx0,-λy0).因为+y=1,又+=1,即=1,所以λ=2,即=2.(ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2).将y=kx+m代入椭圆E的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,由Δ>0,可得m2<4+16k2,①则有x1+x2=-,x1x2=.所以|x1-x2|=.因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0,m),所以△OAB的面积S=|m||x1-x2|===2.设=t,将y=kx+m代入椭圆C的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,由Δ≥0,可得m2≤1+4k2.②由①②可知0<t≤1,因此S=2=2,故S≤2,当且仅当t=1,即m2=1+4k2时取得最大值2.由(ⅰ)知,△ABQ面积为3S,所在△ABQ面积的最大值为6.15.(2022·天津卷)已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),离心率为,点9\nM在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c,|FM|=.(1)求直线FM的斜率;(2)求椭圆的方程;(3)设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于,求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.解 (1)由已知有=,又由a2=b2+c2,可得a2=3c2,b2=2c2.设直线FM的斜率为k(k>0),F(-c,0),则直线FM的方程为y=k(x+c).由已知,有2+2=2,解得k=.(2)由(1)得椭圆方程为+=1,直线FM的方程为y=(x+c),两个方程联立,消去y,整理得3x2+2cx-5c2=0,解得x=-c,或x=c.因为点M在第一象限,可得M的坐标为.由|FM|==.解得c=1,所以椭圆的方程为+=1.(3)设点P的坐标为(x,y),直线FP的斜率为t,得t=,即y=t(x+1)(x≠-1),与椭圆方程联立.消去y,整理得2x2+3t2(x+1)2=6,又由已知,得t=>,解得-<x<-1,或-1<x<0.设直线OP的斜率为m,得m=,即y=mx(x≠0),与椭圆方程联立,整理得m2=-.9\n①当x∈时,有y=t(x+1)<0,因此m>0,于是m=,得m∈.②当x∈(-1,0)时,有y=t(x+1)>0.因此m<0,于是m=-,得m∈.综上,直线OP的斜率的取值范围是∪.9

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发布时间:2022-08-25 23:15:09 页数:9
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文章作者:U-336598

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