高考复习方案新课标2022届高考数学一轮复习第7单元立体几何课时作业文

【高考复习方案】（新课标）2022届高考数学一轮复习第7单元立体几何课时作业文课时作业(三十八)　[第38讲　空间几何体的结构特征及三视图和直观图](时间：45分钟　分值：100分)基础热身1．用任意一个平面截一个几何体，各截面都是圆面，则这个几何体一定是(　　)A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体2．给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；③圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中真命题的序号是(　　)A．①②B．②③C．①③D．③3．[2022·北京石景山测试]正三棱柱的侧视图如图K381所示，则该正三棱柱的侧面积为(　　)A．4B．12C.D．24图K3814．某几何体的三视图如图K382所示，则该几何体的体积为(　　)A.B.C.D．5π　　图K3825．[2022·南京、盐城一模]在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝2，E为AB的中点，则四面体PBCE的体积为________．22\n图K3836．某四棱锥的三视图如图K384所示，该四棱锥的体积为________．图K384能力提升7．一个几何体的正视图和侧视图如图K385所示，则这个几何体的俯视图不可能是(　　)图K385图K3868．[2022·保定二模]已知四棱锥PABCD的三视图如图K387所示，则围成四棱锥PABCD的五个面中的最大面积是(　　)A．3B．6C．8D．10图K3879．一个空间几何体的三视图及其相关数据如图K388所示，则这个空间几何体的表面积是(　　)A.B.＋6C．11πD.＋322\n图K38810．[2022·中山七校联考]如图K389所示，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是等腰梯形、等腰直角三角形和长方形，则该几何体的体积为(　　)A.B.C.D.图K38911．[2022·江西九校联考]某几何体的三视图如图K3810所示，当xy最大时，该几何体的体积为(　　)A．2B．4C．8D．16图K381012．已知边长是2的正三角形ABC内接于体积为4π的球O，则球面上的点到平面ABC的最大距离为________．13．一个几何体的三视图如图K3811所示，则该几何体的体积为________．图K381114．(10分)一个正方体内接于高为40cm，底面半径为30cm的圆锥中，求正方体的棱长．22\n15．(13分)某几何体的三视图如图K3812所示，已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是长为，宽为1的矩形，俯视图是两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积S.图K3812难点突破16．(12分)如图K3813所示，已知平行四边形ABCD中，BC＝2，BD⊥CD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF⊥平面ABCD.记CD＝x，V(x)表示四棱锥FABCD的体积．(1)求V(x)的表达式；(2)求V(x)的最大值．图K381322\n课时作业(三十九)　[第39讲　空间点、直线、平面之间的位置关系](时间：45分钟　分值：100分)基础热身1．下列命题中，不是公理的是(　　)A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线2．[2022·衡水调研]如图K391所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BD1，BC1的中点，则下列结论中不成立的是(　　)图K391A．EF与AB平行B．EF与AD垂直C．EF与DD1异面D．EF与AC平行3．[2022·皖南八校联考]若异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝l，则直线l(　　)A．与直线a，b都相交B．至少与a，b中的一条相交C．至多与a，b中的一条相交D．与a，b中的一条相交，另一条平行4．下列说法中，正确的个数是(　　)①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线的夹角相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行；⑤过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行．A．1B．2C．3D．45．已知平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，则这四点能确定________个平面．6．在空间四边形ABCD中，各边的长均为1，则AC的取值范围是________．能力提升7．如图K392所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有(　　)图K392A．3个B．4个C．5个D．6个8．直三棱柱ABCA1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC122\n所成的角等于(　　)A．30°B．45°C．60°D．90°9．[2022·十堰二模]一个正方体的展开图如图K393所示，B，C，D为原正方体的顶点，A为原正方体一条棱的中点．在原来的正方体中，CD与AB所成角的余弦值为(　　)A.B.C.D.图K39310．[2022·烟台检测]若一个三棱锥的三视图如图K394所示，且三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为(　　)　图K394A．1B．2C．3D．411．[2022·浙江十二校联考]已知a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面M，b⊂平面N，M∩N＝c.①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；③若a∥b，则必有a∥c；④若a⊥b，a⊥c，则必有M⊥N.其中正确说法的个数是(　　)A．0B．1C．2D．312．在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．13．设A，B，C，D是空间中四个不同的点，则下列说法中，不正确的是________(填序号)．①若AC与BD共面，则AD与BC共面；②若AC与BD是异面直线，则AD与BC也是异面直线；③若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC；④若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC.14．(10分)如图K395所示，在四面体ABCD中作截面PQR，已知PQ，CB的延长线交于点M，RQ，DB的延长线交于点N，RP，DC的延长线交于点K，求证：M，N，K三点共线．图K39515．(13分)已知直三棱柱ABCA1B1C1的底面为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝2，E，F分别是BC，AA1的中点．求：(1)异面直线EF和A1B所成的角；22\n(2)三棱锥AEFC的体积．图K396难点突破16．(12分)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE并延长交AD的延长线于点G，连接FG.求证：直线FG⊂平面ABCD且直线FG∥直线A1B1.图K39722\n课时作业(四十)　[第40讲　直线、平面平行的判定与性质](时间：45分钟　分值：100分)基础热身1．若直线a不平行于平面α，则下列结论一定成立的是(　　)A．α内所有的直线都与a异面B．α内不存在与a平行的直线C．α内所有的直线都与a相交D．直线a与平面α有公共点2．[2022·西安一模]下面命题中为真的是(　　)①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；④若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行．A．①③B．②④C．②③④D．③④3．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线(　　)A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，且在平面α内C．有无数条，不一定在平面α内D．有无数条，一定在平面α内4．如图K401，P为平行四边形ABCD所在平面外的一点，过BC的平面与平面PAD交于EF，则四边形EFBC是(　　)A．空间四边形B．平行四边形C．梯形D．以上都有可能图K4015．如图K402，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长等于________．图K4026．过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．能力提升7．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是(　　)A．平行B．平行或异面C．平行或相交D．异面或相交8．下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图是(　　)22\n图K403A．①②B．①④C．②③D．③④9．在三棱锥PABC中，点D在PA上，且PD＝DA，过点D作平行于底面ABC的平面，分别交PB，PC于点E，F，若△ABC的面积为9，则△DEF的面积是(　　)A．1B．2C．4D.10．已知α，β是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α.可以推出α∥β的是(　　)A．①③B．②④C．①④D．②③11．如图K404所示，棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为(　　)A．1∶2B．2∶1C．1∶3D．1∶1图K40412．在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．13．[2022·江苏模拟]已知a，b是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，给出下列命题：①若α∥β，a⊂α，则a∥β；②若a，b与α所成角相等，则a∥b；③若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；④若a⊥α，a⊥β，则α∥β.其中，真命题的序号是________．14．(10分)如图K405，在多面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，△CDE是等边三角形，棱EF∥BC且EF＝BC，求证：OF∥平面CDE.22\n图K40515．(13分)如图K406，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2，求三棱锥CA1DE的体积．图K406难点突破16．(12分)如图K407所示，四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，在侧面PBC内有BE⊥PC于点E，且BE＝a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD.图K40722\n课时作业(四十一)　[第41讲　直线、平面垂直的判定与性质](时间：45分钟　分值：100分)基础热身1．[2022·聊城测试]已知m是过平面α的一条斜线，点A∈α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是(　　)A．l∥m，l⊥αB．l⊥m，l⊂αC．l⊥m，l⊥αD．l∥m，l∥α2．a，b，c表示不同直线，M表示平面，给出四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b或a与b相交或a与b异面；②若b⊂M，a∥b，则a∥M；③a⊥c，b⊥c，则a∥b；④a⊥M，b⊥M，则a∥b.其中是真命题为(　　)A．③④B．②③C．①④D．①②3．如图K411所示，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，下列结论中不正确的是(　　)A．PB⊥BCB．PD⊥CDC．PD⊥BDD．PA⊥BD图K4114．已知直线m，n不重合，平面α，β不重合，下列命题中为真的是(　　)A．若m⊂β，n⊂β，m∥α，n∥α，则α∥βB．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥nC．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nD．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n5．如图K412所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一个动点，当DM⊥________时，平面MBD⊥平面PCD.图K4126．P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，则下列结论：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中，正确的个数是________．能力提升7．给出下列命题：①如果不同直线m，n都平行于平面α，则m，n一定不相交；22\n②如果不同直线m，n都垂直于平面α，则m，n一定平行；③如果平面α，β互相平行，且直线m⊂α，直线n⊂β，则m∥n；④如果平面α，β互相垂直，m，n也互相垂直，且m⊥α，则n⊥β.其中，真命题的个数是(　　)A．3B．2C．1D．08．设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β(　　)A．不存在B．有且只有一对C．有且只有两对D．有无数对9．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有(　　)A．0个B．1个C．2个D．3个10．[2022·北京海淀区二模]已知点E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E与C1F上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN有(　　)A．0条B．1条C．2条D．无数条11．如图K413，平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，则AD＝________．图K41312．如图K414，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在直线________上．图K41413．如图K415，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.22\n图K41514．(10分)[2022·烟台模拟]如图K416所示，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，E为棱CD的中点．(1)求证：A1C∥平面AED1；(2)求证：平面AED1⊥平面C1CDD1.图K41615．(13分)在Rt△ABC中，AB＝BC＝2，D，E分别是AB，AC的中点，将△ADE沿线段DE折起，使平面ADE⊥平面DBCE，且P，Q分别是AB，EC的中点．(1)证明：PQ∥平面AED；(2)若M为DE的中点，求三棱锥EPMC的体积．难点突破16．(12分)[2022·石家庄模拟]如图K417所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC⊥BC，E在线段B1C1上，且B1E＝3EC1，AC＝BC＝CC1＝4.(1)求证：BC⊥AC1.(2)在AC上是否存在点F，满足EF∥平面A1ABB1？若存在，请指出点F的位置，并给出证明；若不存在，说明理由．图K417参考答案课时作业(三十八)1．C　[解析]由几何体的结构特征可知，该几何体一定是球体．2．D　[解析]根据圆柱、圆台的母线的定义和性质可知，只有③是正确的．3．B　[解析]由侧视图知，正三棱柱的高为2，底面边上的高为，所以底面边长为2，所以侧面积为3×2×2＝12.4．A　[解析]22\n由三视图可知，该几何体为球、圆锥的组合体，球的半径为1，圆锥底面的半径为2，圆锥的高为3，所以该几何体的体积为π×13＋π×22×3＝.5.　[解析]由题意知PA⊥底面BCE，底面BCE的面积为×1×2×sin120°＝，所以四面体PBCE的体积V＝×2×＝.6．3　[解析]正视图的长为3，侧视图的长为3，所以该四棱锥的底面是边长为3的正方形，且高为1，所以V＝×(3×3)×1＝3.7．D　[解析]因为该几何体的正视图和侧视图都是正方形，所以它其可能为正方体、底面直径与高相等的圆柱及底面是等腰直角三角形且其腰长等于棱柱高的直三棱柱，但不可能是一个底面长与宽不相等的长方体．故选D.8．C　[解析]由三视图可知，四棱锥PABCD的高h＝＝，在四棱锥的五个面中，面积较大的是底面和前侧面，底面面积为4×2＝8，前侧面是等腰三角形，面积为×4×＝6，所以四棱锥的五个面中，最大面积是8.9．D　[解析]这个空间几何体是一个圆台被轴截面所截得的一半．根据图中数据可知，这个圆台的上底面的半径是1，下底面的半径是2，高为，母线长是2，其表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和一个轴截面的面积之和，故S＝π×22＋π×12＋π(1＋2)×2＋×(2＋4)×＝＋3.10．A　[解析]该几何体是由一个三棱柱在两底面各去掉一个三棱锥这两个三棱锥的体积相等得到的．三棱柱的底面积为×1×1＝，高为4，所以其体积为×4＝2.三棱锥的体积为××1×1×1＝，所以该几何体的体积为2－2×＝.11．D　[解析]由直观图可知，PA2＝102－y2＝x2－(2)2，所以x2＋y2＝128.又因为128＝x2＋y2≥2xy，当且仅当x＝y时，xy取得最大值，所以解得所以h＝PA＝6，所以V＝×S△ABC×PA＝××2×8×6＝16.12.　[解析]边长为2的正三角形ABC的外接圆的半径r＝.又球O的半径R＝，所以球心O到平面ABC的距离d＝＝，所以球面上的点到平面ABC的最大距离为R＋d＝.22\n13.　[解析]由题意得，该几何体是由一个棱长为2的正方体切去一个三棱锥得到的，如图所示，所以该几何体的体积为23－××1×2×2＝.14．解：如图所示，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为xcm，则OC＝x.利用相似三角形，可得＝，解得x＝120(3－2)，所以正方体的棱长为120(3－2)cm.15．解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图所示)，其底面是边长为1的正方形，高为，所以V＝1×1×＝.(2)连接A1D，由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形，所以S＝2×(1×1＋1×＋1×2)＝6＋2.16．解：(1)因为平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD且FA⊥AD，所以FA⊥平面ABCD.因为BD⊥CD，BC＝2，CD＝x，所以FA＝2，BD＝(0<x<2)，所以S▱ABCD＝CD·BD＝x，所以V(x)＝·S▱ABCD·FA＝x(0<x<2)．(2)方法一：要使V(x)取得最大值，只需x＝(0<x<2)取得最大值，因为x2(4－x2)≤2＝4，当且仅当x2＝4－x2，即x＝∈(0，2)时等号成立，所以V(x)≤×2＝，故V(x)的最大值为.方法二：V(x)＝x＝＝.因为0<x<2，所以0<x2<4，22\n所以当x2＝2，即x＝时，V(x)取得最大值.课时作业(三十九)1．A　[解析]选项B，C，D中的都是公理，故选A.2．D　[解析]由题可知EF为△BC1D1的中位线，则EF∥C1D1，由正方体的有关性质可知A，B，C正确，D错误．故选D.3．B　[解析]若a∥l，b∥l，则a∥b，矛盾，故a，b中至少有一条与直线l相交，故选B.4．C　[解析]①可能相等，也可能互补；③在空间中不成立．所以②④⑤正确，故选C.5．1或4　[解析]若四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面，否则确定四个平面．6．(0，)　[解析]如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO，则AO＝CO＝，故0<AC<.7．B　[解析]设棱长为1，∵BD1＝，∴BP＝，D1P＝.连接AD1，B1D1，CD1，得△ABD1≌△CBD1≌△B1BD1，∴∠ABD1＝∠CBD1＝∠B1BD1，且cos∠ABD1＝，连接AP，PC，PB1，则有△ABP≌△CBP≌△B1BP，∴AP＝CP＝B1P＝，同理DP＝A1P＝C1P＝1，∴P到各顶点的距离的不同取值有4个．8．C　[解析]如图所示，将直三棱柱补成一个正方体，所以AC1∥BD1，所以BA1与AC1所成角的大小为∠A1BD1.又易知△A1BD1为正三角形，所以∠A1BD1＝60°，即BA1与AC1所成的角为60°.9．D　[解析]还原正方体如图所示，连接BE，AE，易知BE∥CD，则∠EBA就是异面直线CD与AB所成的角或所成角的补角．设正方体的棱长为2，则BE＝2，BA＝，AE＝3，所以在△ABE中，由余弦定理得cos∠EBA＝＝.22\n10．D　[解析]观察三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，由图可知该三棱锥的底面BCD是直角三角形，CD⊥BC，侧面ABC和侧面ABD是直角三角形．由CD⊥BC，CD⊥AB，BC∩AB＝B，知CD⊥平面ABC，所以CD⊥AC，所以侧面ACD也是直角三角形，故选D.11．C　[解析]根据题意，若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交，所以①正确；若a不垂直于c，则a与b有可能垂直，所以②错误；若a∥b，则必有a∥c，这是线面平行的判定定理，所以③正确；若a⊥b，a⊥c，则当b∥c时，不一定有M⊥N，所以④错误．故选C.12．60°　[解析]如图所示，在平面ABC内，过A点作BD的平行线AE，过B点作BH⊥AE于点H，连接B1H，则在Rt△AHB1中，∠B1AH即为AB1与BD所成的角．设AB＝1，则A1A＝，所以B1A＝，AH＝BD＝，所以cos∠B1AH＝＝，所以∠B1AH＝60°.13．③　[解析]①正确．对于②，假设AD与BC共面，由①正确得AC与BD共面，这与题设矛盾，故假设不成立，从而得②正确．对于③，当AB＝AC，DB＝DC时，易知AD与BC不一定相等，故不正确．对于④，取BC的中点E，连接AE，DE，由题设得BC⊥AE，BC⊥DE，根据线面垂直的判定定理得BC⊥平面ADE，从而AD⊥BC，故④正确．14．证明：因为M∈PQ，直线PQ⊂平面PQR，M∈BC，直线BC⊂平面BCD，所以M是平面PQR与平面BCD的一个公共点，即M在平面PQR与平面BCD的交线l上．同理可证N，K也在直线l上，所以M，N，K三点共线．15．解：(1)取AB的中点D，连接DE，DF，则DF∥A1B，所以∠DFE(或其补角)即为所求．由题意易知，DF＝，DE＝1，AE＝.由DE⊥AB，DE⊥AA1，且AB∩AA1＝A，得DE⊥平面ABB1A1，所以DE⊥DF，即△EDF为直角三角形，所以tan∠DFE＝＝＝，所以∠DFE＝30°，即异面直线EF和A1B所成的角为30°.(2)V三棱锥AEFC＝V三棱锥FAEC＝·S△AEC·FA＝××××＝.16．证明：因为E是CD的中点，所以E∈平面ABCD.又A∈平面ABCD，所以AE⊂平面ABCD.又AE∩BC＝F，所以F∈AE，从而F∈平面ABCD.同理G∈平面ABCD，所以FG⊂平面ABCD.22\n由已知得EC∥AB且EC＝AB，故在Rt△FBA中，CF＝BC，同理DG＝AD.又在正方形ABCD中，BC∥AD且BC＝AD，所以CF∥DG且CF＝DG，所以四边形CFGD是平行四边形，所以FG∥CD.又CD∥AB，AB∥A1B1，所以直线FG∥直线A1B1.课时作业(四十)1．D　[解析]直线a不平行于平面α，则直线a与平面α相交或a⊂α，故选D.2．D　[解析]两平面平行的判定定理是“若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行”．这里要特别注意“相交”，①中没有说是相交直线，故不正确．②中“平面内的无数条直线与另一个平面平行”，若这无数条直线是平行的，则不能保证这两个平面平行，故不正确．③“一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面”，则必有两条相交直线平行于另一个平面，所以这两个平面必平行，所以正确．④即两平面平行的判定定理，故正确．3．B　[解析]易知过点P且平行于直线l的直线只有一条，且在平面α内，故选B.4．C　[解析]因为BC∥AD，所以BC∥平面PAD.又过BC的平面与平面PAD交于EF，所以BC∥EF.又EF<BC，所以四边形BCEF为梯形．5.　[解析]由题知EF∥AC，因为E为AD的中点，所以F为CD的中点，所以EF＝AC＝.6．6　[解析]图中M，N，E，F，G，H均为所在棱的中点．由题知所取的点不在平面ABB1A1内，故可取的点有E，F，G，H，共4个，故与平面ABB1A1平行的直线共有C＝6(条)．7．B　[解析]因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，所以CD∥平面α，所以CD与平面α内的直线可能平行，也可能异面．8．A　[解析]由线面平行的判定定理易知，图①②可得出AB∥平面MNP.9．A　[解析]由于平面DEF∥底面ABC，因此DE∥AB，DF∥AC，EF∥BC，所以＝＝＝，所以△DEF∽△ABC，所以＝2.又S△ABC＝9，所以S△DEF＝1.10．C　[解析]对于②，平面α与β还可以相交；对于③，平面α，β也可以相交，所以②③是错误的，易知①④正确，故选C.11．D　[解析]设BC1∩B1C＝O，连接OD.因为A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD22\n＝OD，所以A1B∥OD.因为四边形BCC1B1是菱形，所以O为BC1的中点，所以D为A1C1的中点，所以A1D∶DC1＝1∶1.12．平面ABD与平面ABC　[解析]取CD的中点E，连接AE，BE，则EM∶MA＝1∶2，EN∶NB＝1∶2，所以MN∥AB，所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.13．①④　[解析]若两个平面平行，则一个平面内的任意直线都平行于另一个平面，①正确；两条直线与同一个平面成等角，这两条直线的位置关系不确定，②错误；垂直于同一个平面的两个平面可能平行也可能相交，③错误；垂直于同一条直线的两个平面平行，④正确．14．证明：取CD的中点M，连接OM，EM.因为O，M分别为BD，CD的中点，所以OM∥BC且OM＝BC，又EF∥BC且EF＝BC，所以EF∥OM且EF＝OM，所以四边形EFOM为平行四边形，所以OF∥EM.又因为OF⊄平面CDE，且EM⊂平面CDE，所以OF∥平面CDE.15．解：(1)证明：连接AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．又D是AB中点，连接DF，则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1.由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2得∠ACB＝90°，CD＝，A1D＝，DE＝，A1E＝3，故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D，所以VCA1DE＝××××＝1.16．解：在平面PCD内，过点E作EG∥CD交PD于点G，连接AG，在AB上取点F，使AF＝EG，则F即为所找的点．因为EG∥CD∥AF，EG＝AF，所以四边形FEGA为平行四边形，所以FE∥AG.又AG⊂平面PAD，FE⊄平面PAD，所以FE∥平面PAD.又在△BCE中，CE＝＝＝a，22\n在Rt△PBC中，BC2＝CE·CP，所以CP＝＝a.又因为＝＝＝，所以AF＝EG＝a，所以点F为AB上靠近点B的一个三等分点．课时作业(四十一)1．B　[解析]已知m是过平面α的一条斜线，点A∈α，l过点A，若l∥m，则l为平面α的一条斜线，所以选项A，D错误；若l⊥m，则可能有l⊂α，但不会有l⊥α.故选B.2．C　[解析]①显然正确；②中，有可能a⊂M，所以错误；在空间中，③不成立，所以错误；④显然正确．故选C.3．C　[解析]由CB⊥BA，CB⊥PA，PA∩BA＝A，知CB⊥平面PAB，故CB⊥PB，所以A正确；同理可证B正确；由条件易知D正确．故选C.4．D　[解析]对于选项A，在已知条件下可得，α∥β或α与β相交，所以选项A不正确；对于选项B，在已知条件下可得，m∥n或m与n异面，所以选项B不正确；对于选项C，在已知条件下可得，m与n的关系还可能是平行、相交或异面，所以选项C不正确；根据线面垂直的性质可知选项D正确．5．PC　[解析]易知BD⊥PC，则当DM⊥PC时，有PC⊥平面MBD.又PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.6．3　[解析]因为PA⊥PC，PA⊥PB，PC∩PB＝P，所以PA⊥平面PBC.又因为BC⊂平面PBC，所以PA⊥BC.同理PB⊥AC，PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC.7．C　[解析]对于①，m，n可能相交；对于②，m，n一定平行；对于③，m，n不一定平行；对于④，n与β不一定垂直．所以只有②正确．故选C.8．D　[解析]过直线a的平面α有无数个，在b上任取一点M，过M作α的垂线，b与垂线确定的平面β垂直于α.故选D.9．C　[解析]若α，β换为直线a，b，则命题化为“a∥b，a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥β，a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥α，b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题．故选C.10．B　[解析]如图，取A1B1的中点G，连接GE，D1G，DE，则D1E在平面D1DEG上，连接A1C1，AC，则C1F在平面A1C1CA上．设A1C1∩D1G＝P，DE∩AC＝Q.因为平面D1DEG⊥平面ABCD，平面A1C1CA⊥平面ABCD，平面D1DEG∩平面A1C1CA＝PQ，所以PQ⊥平面ABCD.若PQ与D1E交于点M，PQ与C1F交于点N，则此时直线MN⊥平面ABCD，所以与平面ABCD垂直的直线MN只有1条．11．a　[解析]取BC中点E，连接ED，AE.因为AB＝AC，所以AE⊥BC.因为平面ABC⊥平面BDC，所以AE⊥平面BDC，所以AE⊥ED.在Rt△ABC和Rt△BCD中，AE＝ED＝BC＝a，所以AD＝＝a.22\n12．AB　[解析]因为BC1⊥AC，BA⊥AC，BA∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1，因此平面ABC⊥平面ABC1，因此点C1在底面ABC上的射影H必在直线AB上．13．a或2a　[解析]由题意知，B1D⊥平面ACC1A1，所以B1D⊥CF.要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥DF即可．当CF⊥DF时，设AF＝x，则A1F＝3a－x，由Rt△CAF∽Rt△FA1D，得＝，即＝，整理得x2－3ax＋2a2＝0，解得x＝a或x＝2a.故当AF＝a或2a时，CF⊥平面B1DF.14．证明：(1)连接A1D，交AD1于点F，连接EF.由题知四边形ADD1A1是矩形，所以F为AD1的中点．又E为CD的中点，所以A1C∥EF.因为A1C⊄平面AED1，EF⊂平面AED1，所以A1C∥平面AED1.(2)由题知DD1⊥平面ABCD.因为AE⊂平面ABCD，所以AE⊥DD1.因为底面ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，E为棱CD的中点，所以AE⊥CD.又CD∩DD1＝D，CD⊂平面C1CDD1，DD1⊂平面C1CDD1，所以AE⊥平面C1CDD1.因为AE⊂平面AED1，所以平面AED1⊥平面C1CDD1.15．解：(1)证明：如图所示，取BD的中点N，连接PN，NQ，PQ，显然PN，NQ分别是△ABD，梯形BCED的中位线，于是PN∥AD，NQ∥DE.又PN⊄平面ADE，NQ⊄平面ADE，所以PN∥平面ADE，NQ∥平面ADE.又PN∩NQ＝N，所以平面PNQ∥平面ADE，故PQ∥平面AED.(2)易知DE∥BC，故∠ADE＝90°，即AD⊥DE.又因为平面ADE⊥平面DBCE，AD⊂平面ADE，平面ADE∩平面DBCE＝DE，所以AD⊥平面DBCE.又PN∥AD，所以PN为三棱锥PMEC的高．依题意，易求得PN＝AD＝，BD＝1，ME＝，所以V三棱锥EPMC＝V三棱锥PMEC＝×PN×S△MEC＝×PN××ME×BD＝.16．解：(1)证明：因为AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以BC⊥AA1.22\n又因为BC⊥AC，AA1，AC⊂平面AA1C1C，且AA1∩AC＝A，所以BC⊥平面AA1C1C.又AC1⊂平面AA1C1C，所以BC⊥AC1.(2)当AF＝3FC时，EF∥平面A1ABB1.证明如下：方法一：在AC上取点F，使AF＝3FC，连接EF.在平面A1B1C1内过点E作EG∥A1C1交A1B1于点G，连接AG.因为B1E＝3EC1，所以EG＝A1C1.又AF∥A1C1且AF＝A1C1，所以AF∥EG且AF＝EG，所以四边形AFEG为平行四边形，所以EF∥AG.又EF⊄平面A1ABB1，AG⊂平面A1ABB1，所以EF∥平面A1ABB1.方法二：在AC上取点F，使AF＝3FC，连接EF.在平面BCC1B1内过E作EG∥BB1交BC于点G，连接FG.因为EG∥BB1，EG⊄平面A1ABB1，BB1⊂平面A1ABB1，所以EG∥平面A1ABB1.因为B1E＝3EC1，所以BG＝3GC，所以FG∥AB.又AB⊂平面A1ABB1，FG⊄平面A1ABB1，所以FG∥平面A1ABB1.又EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，所以平面EFG∥平面A1ABB1.因为EF⊂平面EFG，所以EF∥平面A1ABB1.22