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（新课标）2022年高考数学 题型全归纳 等差数列中“和问题”的一种处理方法

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等差数列中“和问题”的一种处理方法　　公差为d的等差数列{an}的通项公式为an=a1＋(n－1)d(n∈N)，若函数f(x)=dx＋(a1－d)(x∈R)，则有an=f(n)．本文称函数f(x)为等差数列{an}的伴随函数，这样便有下面的定理．　　定理若f(x)为等差数列{an}的伴随函数，且mi(i=1，2，3，…，k)为自然数，则　　证：∵f(x)为等差数列{an}的伴随函数，　　∴f(x)=dx＋(a1－d)(x∈R)，　　　　故定理得证．　　　　证由定理得：　　　　利用定理及推论可巧妙解答等差数列中有关的和问题．　　例1在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7=450，则a2＋a8=[]　　A．45．　　B．75．　　C．180．　　D．300．　　例2设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10=100，S100=10，求S110．　　解设f(x)为数列{an}的伴随函数，由推论得　　　　∴f(5.5)＝10；　　-3-\n　　　　　　由于f(x)为一次函数，故　　　　解得f(55.5)＝－1，　　从而S110＝110×(－1)＝－110．　　　　解设等差数列{an}与{bn}的伴随函数分别为f(x)与g(x)，由推论知　　　　　　例4设等差数列{an}前n项中奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶．　　求证：1)n为偶数2m时，S偶－S奇＝md(d为公差)，S奇∶S偶＝am∶am+1；　　2)n为奇数2m－1时，S奇－S偶＝am，S奇∶S偶＝m∶(m－1)．　　解：设f(x)为数列{an}的伴随函数，由定理知，　　1)n为偶数2m时有：　　　　　　所以，S偶－S奇＝m(am+1－am)＝md，S奇∶S偶＝am∶am+1．　　2)当n为奇数2m－1时有：-3-\n　　　　　　所以，S奇－S偶＝mam－(m－1)am＝am，S奇∶S偶＝m∶(m－1)．　　以上数例表明，本文给出的定理是对等差数列众多性质的浓缩，因而有一定的实用价值．-3-

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所属： 高考 - 二轮专题
发布时间：2022-08-25 22:37:20 页数：3
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文章作者：U-336598

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