2023版高考数学一轮复习课后限时集训68离散型随机变量的均值与方差正态分布含解析202303181135
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课后限时集训(六十八)离散型随机变量的均值与方差、正态分布建议用时:40分钟一、选择题1.同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次,设2枚硬币均正面向上的次数为X,则X的数学期望是( )A.1B.2C.D.A [∵一次同时抛掷2枚质地均匀的硬币,恰好出现2枚正面向上的概率为×=,∴X~B,∴E(X)=4×=1.故选A.]2.在某项测试中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),若P(0<ξ<1)=0.4,则P(0<ξ<2)=( )A.0.4B.0.8C.0.6D.0.2B [由正态分布的图象和性质得P(0<ξ<2)=2P(0<ξ<1)=2×0.4=0.8.故选B.]3.(多选)设离散型随机变量X的分布列为X01234Pq0.40.10.20.2若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则下列结果正确的有( )A.q=0.1B.E(X)=2,D(X)=1.4C.E(X)=2,D(X)=1.8D.E(Y)=5,D(Y)=7.2ACD [由离散型随机变量X的分布列的性质得:q=1-0.4-0.1-0.2-0.2=0.1,E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2,D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.1+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.2=1.8,∵离散型随机变量Y满足Y=2X+1,∴E(Y)=2E(X)+1=5,D(Y)=4D(X)=7.2.故选ACD.]4.(多选)设随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),且X落在区间(-3,-1)内的概率和落在区间(1,3)内的概率相等.若P(X>2)=p,则下列结论正确的有\n( )A.μ=0B.σ=2C.P(0<X<2)=-pD.P(X<-2)=1-pAC [∵正态分布N(μ,σ2)关于x=μ对称,又X落在区间(-3,-1)内的概率和落在区间(1,3)内的概率相等,∴μ=0,故A正确;∵正态分布N(μ,σ2)关于x=μ对称,∴P(X>0)=,则P(0<X<2)=P(X>0)-P(X≥2)=-p,故C正确;P(X<-2)=P(X>2)=p,σ不确定,故B,D错误.故选AC.]5.(2020·全国卷Ⅲ)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4,且pi=1,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是( )A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.2B [对于A,当p1=p4=0.1,p2=p3=0.4时,随机变量X1的分布列为X11234P0.10.40.40.1E(X1)=1×0.1+2×0.4+3×0.4+4×0.1=2.5,D(X1)=(1-2.5)2×0.1+(2-2.5)2×0.4+(3-2.5)2×0.4+(4-2.5)2×0.1=1.52×0.1+0.52×0.4+0.52×0.4+1.52×0.1=0.65,所以=.对于B,当p1=p4=0.4,p2=p3=0.1时,随机变量X2的分布列为X21234P0.40.10.10.4E(X2)=1×0.4+2×0.1+3×0.1+4×0.4=2.5,D(X2)=(1-2.5)2×0.4+(2-2.5)2×0.1+(3-2.5)2×0.1+(4-2.5)2×0.4=1.52×0.4+0.52×0.1+0.52×0.1+1.52×0.4=1.85,所以=.对于C,当p1=p4=0.2,p2=p3=0.3时,随机变量X3的分布列为X31234P0.20.30.30.2\nE(X3)=1×0.2+2×0.3+3×0.3+4×0.2=2.5,D(X3)=(1-2.5)2×0.2+(2-2.5)2×0.3+(3-2.5)2×0.3+(4-2.5)2×0.2=1.52×0.2+0.52×0.3+0.52×0.3+1.52×0.2=1.05,所以=.对于D,当p1=p4=0.3,p2=p3=0.2时,随机变量X4的分布列为X41234P0.30.20.20.3E(X4)=1×0.3+2×0.2+3×0.2+4×0.3=2.5,D(X4)=(1-2.5)2×0.3+(2-2.5)2×0.2+(3-2.5)2×0.2+(4-2.5)2×0.3=1.52×0.3+0.52×0.2+0.52×0.2+1.52×0.3=1.45,所以=.所以B中的标准差最大.]二、填空题6.设X为随机变量,X~B,若随机变量X的均值E(X)=2,则P(X=2)等于________. [由X~B,E(X)=2,得np=n=2,∴n=6,则P(X=2)=C24=.]7.某超市经营的某种包装优质东北大米的质量X(单位:kg)服从正态分布N(25,0.22),任意选取一袋这种大米,质量在24.8~25.4kg的概率为________.(附:若Z~N(μ,σ2),则P(|Z-μ|<σ)=0.6827,P(|Z-μ|<2σ)=0.9545,P(|Z-μ|<3σ)=0.9973)0.8186 [∵X~N(25,0.22),∴μ=25,σ=0.2.∴P(24.8≤X≤25.4)=P(μ-σ≤X≤μ+2σ)=×(0.6827+0.9545)=0.8186.]8.(2021·全国统一考试模拟演练)对一个物理量做n次测量,并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果,已知最后结果的误差εn~N,为使误差εn在(-0.5,0.5)的概率不小于0.9545,至少要测量________次(若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|<2σ)=0.9545).32 [P(|X-μ|<2σ)=0.9545,又μ=0,σ2=,即P(μ-2σ<X<μ+2σ)=P=0.9545,由题意2σ≤0.5,即2≤,所以n≥32.]三、解答题\n9.大豆是我国主要的农作物之一,因此,大豆在农业发展中占有重要的地位,随着农业技术的不断发展,为了使大豆得到更好的种植,就要进行超级种培育研究.某种植基地培育的“超级豆”种子进行种植测试:选择一块营养均衡的可种植4株的实验田地,每株放入三粒“超级豆”种子,且至少要有一粒种子发芽这株豆苗就能有效成活,每株豆成活苗可以收成大豆2.205kg.已知每粒豆苗种子成活的概率为(假设种子之间及外部条件一致,发芽相互没有影响).(1)求恰好有3株成活的概率;(2)记成活的豆苗株数为ξ,收成为η(kg),求随机变量ξ分布列及η的数学期望E(η).[解] (1)设每株豆子成活的概率为P0,则P0=1-3=.所以4株中恰好有3株成活的概率P=C31=.(2)记成活的豆苗株数为ξ,收成为η=2.205ξ,则ξ的可能取值为0,1,2,3,4,且ξ~B,所以ξ的分布列如下表:ξ01234PC4C1·3C2·2C3·1C4∴E(ξ)=4×=3.5,E(η)=E(2.205ξ)=2.205·E(ξ)=7.7175(kg).10.(2020·合肥第一次教学检测)“大湖名城,创新高地”的合肥,历史文化积淀深厚,民俗和人文景观丰富,科教资源众多,自然风光秀美,成为中小学生“研学游”的理想之地.为了将来更好地推进“研学游”项目,某旅游学校一位实习生,在某旅行社实习期间,把“研学游”分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型,并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中,随机抽取了100所学校,统计如下:研学游类型科技体验游民俗人文游自然风光游学校数404020该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”的学校中,随机抽取了3所学校,并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类,且不受其他学校选择结果的影响).(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”,求这两种类型都有学校选择的概率;\n(2)设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X,求X的分布列与数学期望.[解] (1)依题意,学校选择“科技体验游”的概率为,选择“自然风光游”的概率为,若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”,则这两种类型都有学校选择的概率为P=C2+C2=.(2)X的可能取值为0,1,2,3.则P(X=0)=C3=,P(X=1)=C2=,P(X=2)=C2=,P(X=3)=C3=,∴X的分布列为X0123P∴E(X)=0×+1×+2×+3×=.1.已知随机变量ξ的分布列如下:ξ012Pabc其中a,b,c成等差数列,则函数f(x)=x2+2x+ξ有且只有一个零点的概率为( )A.B.C.D.B [由题意知a,b,c∈[0,1],且解得b=,又函数f(x)=x2+2x+ξ有且只有一个零点,故对于方程x2+2x+ξ=0,Δ=4-4ξ=0,解得ξ=1,所以P(ξ=1)=.]2.体育课的排球发球项目考试的规则是:每名学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设某学生每次发球成功的概率为p(0<p<1),发球次数为\nX,若X的数学期望E(X)>1.75,则p的取值范围是( )A.B.C.D.C [由已知条件可得P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2p+(1-p)3=(1-p)2,则E(X)=p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+3>1.75,解得p>或p<.由p∈(0,1),可得p∈.]3.在一次随机试验中,事件A发生的概率为p,事件A发生的次数为ξ,则数学期望E(ξ)=________,方差D(ξ)的最大值为________.p [记事件A发生的次数ξ可能的值为0,1.ξ01P1-pp数学期望E(ξ)=0×(1-p)+1×p=p,方差D(ξ)=(0-p)2×(1-p)+(1-p)2×p=p(1-p)≤.故数学期望E(ξ)=p,方差D(ξ)的最大值为.]4.(2020·广州市调研检测)某城市A公司外卖配送员底薪是每月1800元/人,设每月每人配送的单数为X,若X∈[1,300],配送员每单提成3元;若X∈(300,600],配送员每单提成4元;若X∈(600,+∞),配送员每单提成4.5元.B公司外卖配送员底薪是每月2100元/人,设每月每人配送的单数为Y,若Y∈[1,400],配送员每单提成3元;若Y∈(400,+∞),配送员每单提成4元.小王计划在A公司和B公司之间选择一份外卖配送员工作,他随机调查了A公司外卖配送员甲和B公司外卖配送员乙在9月份(30天)的送餐量数据,如下表:表1:A公司外卖配送员甲送餐量统计日送餐量x/单131416171820天数2612622表2:B公司外卖配送员乙送餐量统计日送餐量y/单111314151618天数4512351(1)设A公司外卖配送员月工资为f(X)(单位:元/人),B公司外卖配送员月工资为g(Y)(单位:元/人),当X=Y且X,Y∈(300,600]时,比较f(X)与g(Y)的大小.\n(2)若将甲、乙9月份的日送餐量的频率视为对应公司日送餐量的概率.(ⅰ)分别计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的数学期望;(ⅱ)请利用你所学的知识为小王作出选择,并说明理由.[解] (1)因为X=Y且X,Y∈(300,600],所以g(X)=g(Y),当X∈(300,400]时,f(X)-g(X)=(1800+4X)-(2100+3X)=X-300>0.当X∈(400,600]时,f(X)-g(X)=(1800+4X)-(2100+4X)=-300<0.故当X∈(300,400]时,f(X)>g(X),当X∈(400,600]时,f(X)<g(X).(2)(ⅰ)甲的日送餐量x的分布列为:x131416171820P则E(x)=13×+14×+16×+17×+18×+20×=16.乙的日送餐量y的分布列为:y111314151618P则E(y)=11×+13×+14×+15×+16×+18×=14.(ⅱ)E(X)=30E(x)=480∈(300,600],E(Y)=30E(y)=420∈(400,+∞).估计A公司外卖配送员月薪平均为1800+4E(X)=3720(元).估计B公司外卖配送员月薪平均为2100+4E(Y)=3780(元).因为3780>3720,所以小王应选择做B公司外卖配送员.武汉有“九省通衢”之称,也称为“江城”,是国家历史文化名城.其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等.(1)为了解“五一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况,从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人,制成了如下的频率分布直方图:\n现从年龄在[42,52]内的游客中,采用分层抽样的方法抽取10人,再从抽取的10人中随机抽取4人,记这4人中年龄在[47,52]内的人数为ξ,求P(ξ=3).(2)为了给游客提供更舒适的旅游体验,某旅游景点游船中心计划在2022年劳动节当日投入至少1艘至多3艘A型游船供游客乘坐观光.由2010年到2019年这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量X(单位:万人)都大于1.将每年劳动节当日客流量分成3个区间整理得下表:劳动节当日客流量X1<X<33≤X≤5X>5频数244以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率,且每年劳动节当日客流量相互独立.该游船中心希望投入的A型游船尽可能被充分利用,但每年劳动节当日A型游船最多使用量(单位:艘)要受当日客流量X(单位:万人)的影响,其关系如下表:劳动节当日客流量X1<X<33≤X≤5X>5A型游船最多使用量123若某艘A型游船在劳动节当日被投入且被使用,则游船中心当日可获得利润3万元;若某艘A型游船劳动节当日被投入却不被使用,则游船中心当日亏损0.5万元.记Y(单位:万元)表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润,Y的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大,问该游船中心在2022年劳动节当日应投入多少艘A型游船才能使其当日获得的总利润最大?[解] (1)年龄在[42,47)内的游客人数为150,年龄在[47,52]内的游客人数为100.若采用分层抽样的方法抽取10人,则年龄在[42,47)内的游客人数为6,年龄在[47,52]内的游客人数为4.所以P(ξ=3)==.(2)①当投入1艘A型游船时,因客流量总大于1,则E(Y)=3(万元).②当投入2艘A型游船时,若1<X<3,则Y=3-0.5=2.5,此时P(Y=2.5)=P(1<X<3)==;若X≥3,则Y=3×2=6,此时P(Y=6)=P(3≤X≤5)+P(X>5)=.此时Y的分布列如表:Y2.56P\n此时E(Y)=2.5×+6×=5.3(万元).③当投入3艘A型游船时,若1<X<3,则Y=3-1=2,此时P(Y=2)=P(1<X<3)==;若3≤X≤5,则Y=3×2-0.5=5.5,此时P(Y=5.5)=P(3≤X≤5)=;若X>5,则Y=3×3=9,此时P(Y=9)=P(X>5)=.此时Y的分布列如表:Y25.59P此时E(Y)=2×+5.5×+9×=6.2(万元).由于6.2>5.3>3,则该游船中心在2022年劳动节当日应投入3艘A型游船才能使其当日获得的总利润最大.
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