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2023版高考数学一轮复习课后限时集训66离散型随机变量及其分布列含解析202303181133

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课后限时集训(六十六) 离散型随机变量及其分布列建议用时:40分钟一、选择题1.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X去描述1次试验的成功次数,则P(X=0)等于(  )A.0B.C.D.C [由已知得X的所有可能取值为0,1,且P(X=1)=2P(X=0),由P(X=1)+P(X=0)=1,得P(X=0)=.]2.若离散型随机变量X的分布列为X01P9c2-c3-8c则常数c的值为(  )A.或B.C.D.1C [根据离散型随机变量分布列的性质知解得c=.]3.(多选)设随机变量ξ的分布列为P=ak(k=1,2,3,4,5),则(  )A.15a=1B.P(0.5<ξ<0.8)=0.2C.P(0.1<ξ<0.5)=0.2D.P(ξ=1)=0.3ABC [由题意可得a+2a+3a+4a+5a=1,即15a=1,故A正确;P(0.5<ξ<0.8)=P(ξ=0.6)=3a==0.2,故B正确;P(0.1<ξ<0.5)=P(ξ=0.2)+P(ξ=0.4)=×1+×2==0.2,故C正确;\nP(ξ=1)=×5=,故D不正确.故选ABC.]4.(多选)设0<p<1,随机变量ξ的分布列如下,则下列结论正确的有(  )ξ012Pp-p2p21-pA.E(ξ)随着p的增大而增大B.E(ξ)随着p的增大而减小C.P(ξ=0)<P(ξ=2)D.P(ξ=2)的值最大BC [∵E(ξ)=p2+2-2p,0<p<1,∴E(ξ)随着p的增大而减小,故A错误,B正确;∵0<p<1,∴P(ξ=0)-P(ξ=2)=p-p2-1+p=-p2+2p-1<0,∴P(ξ=0)<P(ξ=2),故C正确;∵0<p<1,∴当≤p<1时,P(ξ=1)-P(ξ=2)=p2+p-1≥0,故当≤p<1时,P(ξ=1)≥P(ξ=2),故D错误.故选BC.]5.从装有3个白球、4个红球的箱子中,随机取出了3个球,恰好是2个白球、1个红球的概率是(  )A.B.C.D.C [如果将白球视为合格品,红球视为不合格品,则这是一个超几何分布问题,故所求概率为P==.]二、填空题6.设随机变量X的概率分布列为X1234Pm则P(|X-3|=1)=________.\n [由+m++=1,解得m=,P(|X-3|=1)=P(X=2)+P(X=4)=+=.]7.袋中有4只红球,3只黑球,从袋中任取4只球,取到1只红球得1分,取到1只黑球得3分,设得分为随机变量ξ,则P(ξ≤6)=________. [P(ξ≤6)=P(取到3只红球1只黑球)+P(取到4只红球)=+=.]8.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题,比赛规定:对于每一个题,没有抢到题的队伍得0分,抢到题并回答正确的得1分,抢到题但回答错误的扣1分(即得-1分).若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜),则X的所有可能取值是________.-1,0,1,2,3 [X=-1,甲抢到一题但答错了,而乙抢到两个题都答错了.X=0,甲没抢到题,或甲抢到2题,但答时一对一错.X=1时,甲抢到1题且答对或甲抢到3题,且1错2对.X=2时,甲抢到2题均答对.X=3时,甲抢到3题均答对.]三、解答题9.一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别\n为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).(1)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率;(2)在取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列.[解] (1)由题意知,在7张卡片中,编号为3的卡片有2张,故所求概率为P=1-=1-=.(2)由题意知,X的可能取值为1,2,3,4,且P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,P(X=4)==.所以随机变量X的分布列是X1234P10.PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物.根据现行国家标准GB3095-2012,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.从某自然保护区2019年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本,监测值频数如下表所示:PM2.5日均值(微克/立方米)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)[75,85]频数311113(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中,随机抽出3天,求恰有一天空气质量达到一级的概率;(2)从这10天的数据中任取3天数据,记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数,求ξ的分布列.[解] (1)记“从这10天的PM2.5日均值监测数据中,随机抽出3天,恰有一天空气质量达到一级”为事件A,则P(A)==.(2)由条件知,ξ服从超几何分布,其中N=10,M=3,n=3,且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.\nP(ξ=k)=(k=0,1,2,3).∴P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==.故ξ的分布列为ξ0123P1.设随机变量X的概率分布列如下表所示:X012Pa若F(x)=P(X≤x),则当x的取值范围是[1,2)时,F(x)等于(  )A.B.C.D.D [由分布列的性质,得a++=1,所以a=.而x∈[1,2),所以F(x)=P(X≤x)=+=.]2.一只袋内装有m个白球,n-m个黑球,连续不放回地从袋中取球,直到取出黑球为止,设此时取出了X个白球,下列概率等于的是(  )A.P(X=3)B.P(X≥2)C.P(X≤3)D.P(X=2)D [由超几何分布知P(X=2)=.]\n3.如图所示,A,B两点5条连线并联,它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X,则P(X≥8)=________. [法一:(直接法)由已知得,X的取值为7,8,9,10,∵P(X=7)==,P(X=8)==,P(X=9)==,P(X=10)==,∴X的概率分布列为X78910P∴P(X≥8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)=++=.法二:(间接法)由已知得,X的取值为7,8,9,10,故P(X≥8)与P(X=7)是对立事件,所以P(X≥8)=1-P(X=7)=1-=.]4.随着高考制度的改革,某省即将实施“语数外+3”的新高考改革方案,2019年秋季入学的高一新生将面临从物理(物)、化学(化)、生物(生)、政治(政)、历史(历)、地理(地)六科中任选三科(共20种选法)作为自己将来高考要考的“语数外+3”中的“3”.某市为了顺利迎接新高考改革,在某高中200名学生中进行“学生模拟选科数据”调查,每个学生只能从表格中的20种课程组合中选择一种,得到学生模拟选课数据统计如下表:序号12345组合学科物化生物化政物化历物化地物生政人数20人5人10人10人5人序号678910组合学科物生历物生地物政历物政地物历地人数15人10人5人0人5人序号1112131415\n组合学科化生政化生历化生地化政历化政地人数5人…………序号1617181920组合学科化历地生政历生政地生历地政历地人数…10人5人…25人合计200人为了解学生学习成绩与学生模拟选课情况之间的关系,用分层抽样的方法从这200名学生中抽取40人的样本进行分析.(1)从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人,求这3人中至少有2人要学习生物的概率;(2)从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人,记这3人中要学习地理的人数为X,求随机变量X的分布列.[解] (1)由题意可知,样本中选择学习物理且学习化学的学生共有9人,其中还学习生物的有4人,则从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人,这3人中至少有2人要学习生物的概率P==.(2)由题意可知,样本中选择学习物理且学习化学的学生共有9人,其中还学习地理的有2人,则X的所有可能取值为0,1,2.所以P(X=0)==;P(X=1)==;P(X=2)==.X的分布列为X012P1.有编号为1,2,3,…,n的n个学生,入座编号为1,2,3,…,n的n个座位,每个学生规定坐一个座位,设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X,已知X=2时,共有6种坐法.(1)n的值为________;(2)P(X=3)=________.(1)4 (2) [(1)因为当X=2时,有C种坐法,\n所以C=6,即=6,n2-n-12=0,解得n=4或n=-3(舍去),所以n=4.(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X,则P(X=3)===.]2.设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,ξ=0;当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,ξ=1,则随机变量ξ的分布列为________.ξ01P[ξ的可能取值为0,1,.P(ξ=0)==,P(ξ=)==.P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=)=1--=.所以随机变量ξ的分布列为ξ01P ]

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发布时间:2022-08-25 17:22:20 页数:8
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文章作者:U-336598

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