2023高考数学统考一轮复习课后限时集训69离散型随机变量的均值与方差正态分布理含解析新人教版202302272179
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课后限时集训(六十九)离散型随机变量的均值与方差、正态分布建议用时:40分钟一、选择题1.同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次,设2枚硬币均正面向上的次数为X,则X的数学期望是()35A.1B.2C.D.22111A[∵一次同时抛掷2枚质地均匀的硬币,恰好出现2枚正面向上的概率为×=,22414,1∴X~B4,∴E(X)=4×=1.故选A.]42.在某项测试中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),若P(0<ξ<1)=0.4,则P(0<ξ<2)=()A.0.4B.0.8C.0.6D.0.2B[由正态分布的图象和性质得P(0<ξ<2)=2P(0<ξ<1)=2×0.4=0.8.故选B.]3.已知随机变量ξ的分布列为ξ-101211Pxy361若E(ξ)=,则D(ξ)=()3112A.1B.C.D.293115x+++y=1,x=,36181B[∵E(ξ)=,∴由随机变量ξ的分布列知,11∴2则3-x++2y=,y=,63912111D(ξ)=-1-×5+0-2×1+1-2×1+2-2×2=11.]33331836994.已知5件产品中有2件次品,现逐一检测,直至能确定所有次品为止,记检测的次数为ξ,则E(ξ)=()718A.3B.C.D.425A21A3112323+C2C3A2B[ξ的可能取值为2,3,4,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,P(ξ=4)=A210A31055\nA311321313373C2C3+A3C3C2=,则E(ξ)=2×+3×+4×=,故选B.]A45510105245.(2020·全国卷Ⅲ)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4,且∑pii=1=1,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是()A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.2B[对于A,当p1=p4=0.1,p2=p3=0.4时,随机变量X1的分布列为X11234P0.10.40.40.1E(X1)=1×0.1+2×0.4+3×0.4+4×0.1=2.5,D(X1)=(1-2.5)2×0.1+(2-2.5)2×0.4+(3-2.5)2×0.4+(4-2.5)2×0.1=1.52×0.1+0.52×0.4+0.52×0.4+1.52×0.1=0.65,所以DX1=0.65.对于B,当p1=p4=0.4,p2=p3=0.1时,随机变量X2的分布列为X21234P0.40.10.10.4E(X222)=1×0.4+2×0.1+3×0.1+4×0.4=2.5,D(X2)=(1-2.5)×0.4+(2-2.5)×0.1+(3-2.5)2×0.1+(4-2.5)2×0.4=1.52×0.4+0.52×0.1+0.52×0.1+1.52×0.4=1.85,所以DX2=1.85.对于C,当p1=p4=0.2,p2=p3=0.3时,随机变量X3的分布列为X31234P0.20.30.30.2E(X223)=1×0.2+2×0.3+3×0.3+4×0.2=2.5,D(X3)=(1-2.5)×0.2+(2-2.5)×0.3+(3-2.5)2×0.3+(4-2.5)2×0.2=1.52×0.2+0.52×0.3+0.52×0.3+1.52×0.2=1.05,所以DX3=1.05.对于D,当p1=p4=0.3,p2=p3=0.2时,随机变量X4的分布列为X41234P0.30.20.20.3E(X224)=1×0.3+2×0.2+3×0.2+4×0.3=2.5,D(X4)=(1-2.5)×0.3+(2-2.5)×0.2+(3-2.5)2×0.2+(4-2.5)2×0.3=1.52×0.3+0.52×0.2+0.52×0.2+1.52×0.3=1.45,所以DX4=1.45.所以B中的标准差最大.]二、填空题\n1n,6.设X为随机变量,X~B3,若随机变量X的均值E(X)=2,则P(X=2)等于.180n,[由X~B3,E(X)=2,得2431np=n=2,∴n=6,3121421-80则P(X=2)=C633=.]2437.某超市经营的某种包装优质东北大米的质量X(单位:kg)服从正态分布N(25,0.22),任意选取一袋这种大米,质量在24.8~25.4kg的概率为.(附:若Z~N(μ,σ2),则P(|Z-μ|<σ)=0.6827,P(|Z-μ|<2σ)=0.9545,P(|Z-μ|<3σ)=0.9973)0.8186[∵X~N(25,0.22),∴μ=25,σ=0.2.1∴P(24.8≤X≤25.4)=P(μ-σ≤X≤μ+2σ)=×(0.6827+0.9545)=0.8186.]28.2020年高考前第二次适应性训练结束后,某校对全市的英语成绩进行统计,发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布N(95,82)的密度曲线非常拟合.据此估计:在全市随机抽取的4名高三同学中,恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率是.32[由题意可知每名学生的英语成绩ξ~N(95,8),81∴P(ξ>95)=,21423故所求概率P=C42=.]8三、解答题9.大豆是我国主要的农作物之一,因此,大豆在农业发展中占有重要的地位,随着农业技术的不断发展,为了使大豆得到更好的种植,就要进行超级种培育研究.某种植基地培育的“超级豆”种子进行种植测试:选择一块营养均衡的可种植4株的实验田地,每株放入三粒“超级豆”种子,且至少要有一粒种子发芽这株豆苗就能有效成活,每株豆成活苗可以收1成大豆2.205kg.已知每粒豆苗种子成活的概率为(假设种子之间及外部条件一致,发芽相互没2有影响).(1)求恰好有3株成活的概率;(2)记成活的豆苗株数为ξ,收成为η(kg),求随机变量ξ分布列及η的数学期望E(η).131-7[解](1)设每株豆子成活的概率为P0,则P0=1-2=.所以4株中恰好有3株成活8\n737131-343的概率P=C488=.1024(2)记成活的豆苗株数为ξ,收成为η=2.205ξ,74,则ξ的可能取值为0,1,2,3,4,且ξ~B8,所以ξ的分布列如下表:7∴E(ξ)=4×=3.5,8E(η)=E(2.205ξ)=2.205·E(ξ)=7.7175(kg).10.(2020·合肥第一次教学检测)“大湖名城,创新高地”的合肥,历史文化积淀深厚,民俗和人文景观丰富,科教资源众多,自然风光秀美,成为中小学生“研学游”的理想之地.为了将来更好地推进“研学游”项目,某旅游学校一位实习生,在某旅行社实习期间,把“研学游”分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型,并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中,随机抽取了100所学校,统计如下:研学游类型科技体验游民俗人文游自然风光游学校数404020该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”的学校中,随机抽取了3所学校,并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类,且不受其他学校选择结果的影响).(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”,求这两种类型都有学校选择的概率;(2)设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X,求X的分布列与数学期望.21[解](1)依题意,学校选择“科技体验游”的概率为,选择“自然风光游”的概率为,55若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”,则这两种类型都有2211222218学校选择的概率为P=C355+C355=.125(2)X的可能取值为0,1,2,3.33027则P(X=0)=C35=,125\n232154P(X=1)=C355=,125223236P(X=2)=C355=,1252338P(X=3)=C35=,125∴X的分布列为X01232754368P12512512512527543686∴E(X)=0×+1×+2×+3×=.12512512512551.已知随机变量ξ的分布列如下:ξ012Pabc其中a,b,c成等差数列,则函数f(x)=x2+2x+ξ有且只有一个零点的概率为()1115A.B.C.D.63262b=a+c,1B[由题意知a,b,c∈[0,1],且解得b=,又函数f(x)=x2+2x+ξa+b+c=1,321有且只有一个零点,故对于方程x+2x+ξ=0,Δ=4-4ξ=0,解得ξ=1,所以P(ξ=1)=.]32.体育课的排球发球项目考试的规则是:每名学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设某学生每次发球成功的概率为p(0<p<1),发球次数为X,若X的数学期望E(X)>1.75,则p的取值范围是()770,,1A.12B.12110,,1C.2D.2C[由已知条件可得P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2p+(1-p)3=(1-p)2,则E(X)=p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+3>1510,1.75,解得p>或p<.由p∈(0,1),可得p∈2.]223.在一次随机试验中,事件A发生的概率为p,事件A发生的次数为ξ,则数学期望E(ξ)=,方差D(ξ)的最大值为.\n1p[记事件A发生的次数ξ可能的值为0,1.4ξ01P1-pp数学期望E(ξ)=0×(1-p)+1×p=p,221方差D(ξ)=(0-p)×(1-p)+(1-p)×p=p(1-p)≤.41故数学期望E(ξ)=p,方差D(ξ)的最大值为.]44.(2020·广州市调研检测)某城市A公司外卖配送员底薪是每月1800元/人,设每月每人配送的单数为X,若X∈[1,300],配送员每单提成3元;若X∈(300,600],配送员每单提成4元;若X∈(600,+∞),配送员每单提成4.5元.B公司外卖配送员底薪是每月2100元/人,设每月每人配送的单数为Y,若Y∈[1,400],配送员每单提成3元;若Y∈(400,+∞),配送员每单提成4元.小王计划在A公司和B公司之间选择一份外卖配送员工作,他随机调查了A公司外卖配送员甲和B公司外卖配送员乙在9月份(30天)的送餐量数据,如下表:表1:A公司外卖配送员甲送餐量统计日送餐量x/单131416171820天数2612622表2:B公司外卖配送员乙送餐量统计日送餐量y/单111314151618天数4512351(1)设A公司外卖配送员月工资为f(X)(单位:元/人),B公司外卖配送员月工资为g(Y)(单位:元/人),当X=Y且X,Y∈(300,600]时,比较f(X)与g(Y)的大小.(2)若将甲、乙9月份的日送餐量的频率视为对应公司日送餐量的概率.(ⅰ)分别计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的数学期望;(ⅱ)请利用你所学的知识为小王作出选择,并说明理由.[解](1)因为X=Y且X,Y∈(300,600],所以g(X)=g(Y),当X∈(300,400]时,f(X)-g(X)=(1800+4X)-(2100+3X)=X-300>0.当X∈(400,600]时,f(X)-g(X)=(1800+4X)-(2100+4X)=-300<0.故当X∈(300,400]时,f(X)>g(X),当X∈(400,600]时,f(X)<g(X).(2)(ⅰ)甲的日送餐量x的分布列为:x131416171820112111P155551515112111则E(x)=13×+14×+16×+17×+18×+20×=16.155551515\n乙的日送餐量y的分布列为:y111314151618212111P156510630212111则E(y)=11×+13×+14×+15×+16×+18×=14.156510630(ⅱ)E(X)=30E(x)=480∈(300,600],E(Y)=30E(y)=420∈(400,+∞).估计A公司外卖配送员月薪平均为1800+4E(X)=3720(元).估计B公司外卖配送员月薪平均为2100+4E(Y)=3780(元).因为3780>3720,所以小王应选择做B公司外卖配送员.武汉有“九省通衢”之称,也称为“江城”,是国家历史文化名城.其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等.(1)为了解“五一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况,从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人,制成了如下的频率分布直方图:现从年龄在[42,52]内的游客中,采用分层抽样的方法抽取10人,再从抽取的10人中随机抽取4人,记这4人中年龄在[47,52]内的人数为ξ,求P(ξ=3).(2)为了给游客提供更舒适的旅游体验,某旅游景点游船中心计划在2022年劳动节当日投入至少1艘至多3艘A型游船供游客乘坐观光.由2010年到2019年这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量X(单位:万人)都大于1.将每年劳动节当日客流量分成3个区间整理得下表:劳动节当日客流量X1<X<33≤X≤5X>5频数244以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率,且每年劳动节当日客流量相互独立.该游船中心希望投入的A型游船尽可能被充分利用,但每年劳动节当日A型游船最多使用量(单位:艘)要受当日客流量X(单位:万人)的影响,其关系如下表:劳动节当日客流量X1<X<33≤X≤5X>5\nA型游船最多使用量123若某艘A型游船在劳动节当日被投入且被使用,则游船中心当日可获得利润3万元;若某艘A型游船劳动节当日被投入却不被使用,则游船中心当日亏损0.5万元.记Y(单位:万元)表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润,Y的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大,问该游船中心在2022年劳动节当日应投入多少艘A型游船才能使其当日获得的总利润最大?[解](1)年龄在[42,47)内的游客人数为150,年龄在[47,52]内的游客人数为100.若采用分层抽样的方法抽取10人,则年龄在[42,47)内的游客人数为6,年龄在[47,52]内的游客人数为4.C3144C6所以P(ξ=3)==.C43510(2)①当投入1艘A型游船时,因客流量总大于1,则E(Y)=3(万元).②当投入2艘A型游船时,21若1<X<3,则Y=3-0.5=2.5,此时P(Y=2.5)=P(1<X<3)==;1054若X≥3,则Y=3×2=6,此时P(Y=6)=P(3≤X≤5)+P(X>5)=.5此时Y的分布列如表:Y2.5614P5514此时E(Y)=2.5×+6×=5.3(万元).55③当投入3艘A型游船时,21若1<X<3,则Y=3-1=2,此时P(Y=2)=P(1<X<3)==;1052若3≤X≤5,则Y=3×2-0.5=5.5,此时P(Y=5.5)=P(3≤X≤5)=;52若X>5,则Y=3×3=9,此时P(Y=9)=P(X>5)=.5此时Y的分布列如表:Y25.59122P555122此时E(Y)=2×+5.5×+9×=6.2(万元).555由于6.2>5.3>3,则该游船中心在2022年劳动节当日应投入3艘A型游船才能使其当日获得的总利润最大.\n
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