2023高考数学 双曲线针对训练2 文
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双曲线练习题1.如图,和分别是双曲线的两个焦点,和是以为圆心,以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△是等边三角形,则双曲线的离心率为()2.已知双曲线方程为与点P(1,2),(1)求过点P(1,2)的直线的斜率的取值范围,使直线与双曲线有一个交点,两个交点,没有交点。(2)过点P(1,2)的直线交双曲线于A、B两点,若P为弦AB的中点,求直线AB的方程;(3)是否存在直线,使Q(1,1)为被双曲线所截弦的中点?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由。3.(1)椭圆C:(a>b>0)上的点A(1,)到两焦点的距离之和为4,求椭圆的方程;(2)设K是(1)中椭圆上的动点,F1是左焦点,求线段F1K的中点的轨迹方程;(3)已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点,P是椭圆上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在并记为kPM、kPN时,那么是与点P位置无关的定值。试对双曲线写出具有类似特性的性质,并加以证明。4.如图,在以点为圆心,为直径的半圆中,-6-\n,是半圆弧上一点,,曲线是满足为定值的动点的轨迹,且曲线过点.(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线的方程;(Ⅱ)设过点的直线l与曲线相交于不同的两点、.若△的面积不小于,求直线斜率的取值范围.5.双曲线的中心为原点,焦点在轴上,两条渐近线分别为,经过右焦点垂直于的直线分别交于两点.已知成等差数列,且与同向.(Ⅰ)求双曲线的离心率;(Ⅱ)设被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.答案1.2.解:(1)当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x-1),代入C的方程,并整理得(2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0(*)-6-\n(ⅰ)当2-k2=0,即k=±时,方程(*)有一个根,l与C有一个交点(ⅱ)当2-k2≠0,即k≠±时Δ=[2(k2-2k)]2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=16(3-2k)①当Δ=0,即3-2k=0,k=时,方程(*)有一个实根,l与C有一个交点.②当Δ>0,即k<,又k≠±,故当k<-或-<k<或<k<时,方程(*)有两不等实根,l与C有两个交点.③当Δ<0,即k>时,方程(*)无解,l与C无交点.综上知:当k=±,或k=,或k不存在时,l与C只有一个交点;当<k<,或-<k<,或k<-时,l与C有两个交点;当k>时,l与C没有交点.(2)假设以P为中点的弦为AB,且A(x1,y1),B(x2,y2),则2x12-y12=2,2x22-y22=2两式相减得:2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)又∵x1+x2=2,y1+y2=4∴2(x1-x2)=y1-y1即kAB==1但渐近线斜率为±,结合图形知直线AB与有交点,所以以P为中点的弦为:.(3)假设以Q为中点的弦存在,设为AB,且A(x1,y1),B(x2,y2),则2x12-y12=2,2x22-y22=2两式相减得:2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)又∵x1+x2=2,y1+y2=2∴2(x1-x2)=y1-y1即kAB==2但渐近线斜率为±,结合图形知直线AB与C无交点,所以假设不正确,即以Q为中点的弦不存在.3.解:(1)(2)设中点为(x,y),F1(-1,0)K(-2-x,-y)在上Þ(3)设M(x1,y1),N(-x1,-y1),P(xo,yo),xo≠x1则为定值.-6-\n4.解:(Ⅰ)以O为原点,AB、OD所在直线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,则A(-2,0),B(2,0),D(0,2),P(),依题意得|MA|-|MB|=|PA|-|PB|=<|AB|=4.∴曲线C是以原点为中心,A、B为焦点的双曲线.设实半轴长为a,虚半轴长为b,半焦距为c,则c=2,2a=2,∴a2=2,b2=c2-a2=2.∴曲线C的方程为.解法2:同解法1建立平面直角坐标系,则依题意可得|MA|-|MB|=|PA|-|PB|<|AB|=4.∴曲线C是以原点为中心,A、B为焦点的双曲线.设双曲线的方程为>0,b>0).则由 解得a2=b2=2,∴曲线C的方程为(Ⅱ)解法1:依题意,可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理得(1-k2)x2-4kx-6=0.∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F,-6-\n∴ ∴k∈(-,-1)∪(-1,1)∪(1,).设E(x,y),F(x2,y2),则由①式得x1+x2=,于是|EF|==而原点O到直线l的距离d=,∴S△DEF=若△OEF面积不小于2,即S△OEF,则有③综合②、③知,直线l的斜率的取值范围为[-,-1]∪(1-,1)∪(1,).解法2:依题意,可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理,得(1-k2)x2-4kx-6=0.∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F,∴ .∴k∈(-,-1)∪(-1,1)∪(1,).设E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得|x1-x2|=③当E、F在同一去上时(如图1所示),S△OEF=当E、F在不同支上时(如图2所示).-6-\nS△ODE=综上得S△OEF=于是由|OD|=2及③式,得S△OEF=若△OEF面积不小于2 ④综合②、④知,直线l的斜率的取值范围为[-,-1]∪(-1,1)∪(1,).5.(Ⅰ)设,,由勾股定理可得:得:,,由倍角公式,解得,则离心率.(Ⅱ)过直线方程为,与双曲线方程联立将,代入,化简有将数值代入,有,解得故所求的双曲线方程为。-6-
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