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【红对勾】(新课标)2023高考数学大一轮复习 6.4基本不等式课时作业 理.DOC
【红对勾】(新课标)2023高考数学大一轮复习 6.4基本不等式课时作业 理.DOC
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课时作业40 基本不等式一、选择题1.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( )A.a+b≥2B.+>C.+≥2D.a2+b2>2ab解析:因为ab>0,即>0,>0,所以+≥2=2.答案:C2.设0<a<b,则下列不等式中正确的是( )A.a<b<<B.a<<<bC.a<<b<D.<a<<b解析:代入a=1,b=2,则有0<a=1<=<=1.5<b=2.我们知道算术平均数与几何平均数的大小关系,其余各式作差(作商)比较即可.选B.答案:B3.设a>0,b>0.若a+b=1,则+的最小值是( )A.2B.C.4D.8解析:由题意+=+=2++≥2+2=4,当且仅当=,即a=b=时,取等号,所以最小值为4.答案:C6\n4.已知a>0,b>0,a,b的等比中项是1,且m=b+,n=a+,则m+n的最小值是( )A.3B.4C.5D.6解析:由题意知:ab=1,∴m=b+=2b,n=a+=2a,∴m+n=2(a+b)≥4=4.答案:B5.已知函数y=x-4+(x>-1),当x=a时,y取得最小值b,则a+b=( )A.-3B.2C.3D.8解析:y=x-4+=x+1+-5,由x>-1,得x+1>0,>0,所以由基本不等式得y=x+1+-5≥2-5=1,当且仅当x+1=,即(x+1)2=9,所以x+1=3,即x=2时取等号,所以a=2,b=1,a+b=3.答案:C6.已知直线ax+by+c-1=0(bc>0)经过圆x2+y2-2y-5=0的圆心,则+的最小值是( )A.9B.8C.4D.2解析:由圆的一般方程x2+y2-2y-5=0知D=0,E=-2,所以,圆心的坐标为(0,1).又因为直线ax+by+c-1=0(bc>0)经过该圆心,所以a×0+b×1+c-1=0,即b+c=1,所以,+=+=4+++1=5++≥5+2=9.答案:A二、填空题7.若正实数a,b满足ab=2,则(1+2a)·(1+b)的最小值为________.解析:(1+2a)(1+b)=5+2a+b≥5+2=9.当且仅当2a=b,即a=1,b=2时取等号.答案:98.已知a,b,m,n均为正数,且a+b=1,mn=2,则(am+bn)(bm+an)的最小值为________.解析:(am+bn)(bm+an)=ab(m2+n2)+mn(a2+b2)≥2abmn+2(a2+b2)=2(a+b)2=2.当且仅当m=n=时取等号.6\n答案:29.已知不等式·ln≥0对任意正整数n恒成立,则实数m的取值范围是________.解析:当≥1,即m≥n时,ln>0,所以-m≥0,得m≤,即n≤m≤,所以n2≤20.又因为n∈N*,所以n≤4,故≥5.所以4≤m≤5;当0<<1,即0<m<n时,有-m≤0,所以m≥,即n>m≥,故n2>20.又因为n∈N*,所以n≥5,所以4≤m<5.综上,实数m的取值范围是[4,5].答案:[4,5]三、解答题10.已知a>0,b>0,a+b=1,求证:(1)++≥8;(2)(1+)(1+)≥9.证明:(1)∵a+b=1,a>0,b>0,∴++=++=2(+)=2(+)=2(+)+4≥4+4=8(当且仅当a=b=时,等号成立),∴++≥8.(2)∵(1+)(1+)=+++1,6\n由(1)知++≥8.∴(1+)(1+)≥9.11.运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米(50≤x≤100)(单位:千米/小时).假设汽油的价格是每升2元,而汽车每小时耗油(2+)升,司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y关于x的表达式;(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.解:(1)由题意得,行驶时间为小时.y=××2+14×=+.x∈[50,100](2)由题意得,>0,>0由基本不等式可得,y=+≥2=26当且仅当=即x=18∈[50,100]时等号成立.所以当x为18千米/小时,这次行车的总费用最低,最低费用为26元.1.若正数a,b满足+=1,则+的最小值为( )A.1B.6C.9D.16解析:方法1:因为+=1,所以a+b=ab⇒(a-1)(b-1)=1,所以+≥2=2×3=6.方法2:因为+=1,所以a+b=ab,+==b+9a-10=(b+9a)6\n-10≥16-10=6.方法3:因为+=1,所以a-1=,所以+=(b-1)+≥2=2×3=6.答案:B2.若实数a,b,c满足a2+b2+c2=8,则a+b+c的最大值为( )A.9B.2C.3D.2解析:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=8+2ab+2ac+2bc.∵a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,b2+c2≥2bc,∴8+2ab+2ac+2bc≤2(a2+b2+c2)+8=24,当且仅当a=b=c时取等号,∴a+b+c≤2.答案:D3.若实数a,b,c满足2a+2b=2a+b,2a+2b+2c=2a+b+c,则c的最大值是________.解析:由基本不等式得2a+2b≥2=2×2,即2a+b≥2×2,所以2a+b≥4.令t=2a+b,由2a+2b+2c=2a+b+c可得2a+b+2c=2a+b·2c,所以2c==1+,由t≥4,得1<≤,即1<2c≤,所以0<c≤log2=2-log23,故答案为2-log23.答案:2-log234.设关于x的不等式|x-2|<a(a∈R)的解集为A,且∈A,-∉A.(1)∀x∈R,|x-1|+|x-3|≥a2+a恒成立,且a∈N,求a的值;(2)若a+b=1,求+的最小值,并指出取得最小值时a的值.解:(1)∵∈A,-∉A,∴<a,≥a,即<a≤,∵|x-1|+|x-3|≥|(x-1)-(x-3)|=2,∴a2+a-2≤0,∴-2≤a≤1,∴<a≤1.又a∈N,∴a=1.6\n(2)∵<a≤,∴+=+=++≥-+2=.当且仅当即时上式取等号.又∵<=≤,∴+的最小值是,取最小值时a=.6
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 17:48:14
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