高考数学总复习 6-3等比数列 新人教B版

6-3等比数列基础巩固强化1.(文)(2011·北京朝阳一模)已知{an}是由正数组成的等比数列，Sn表示{an}的前n项的和，若a1＝3，a2a4＝144，则S5的值是(　　)A.　　　B．69　　　C．93　　　D．189[答案]　C[解析]　由a2a4＝a＝144得a3＝12(a3＝－12舍去)，又a1＝3，各项均为正数，则q＝2.所以S5＝＝＝93.(理)(2012·哈尔滨质检)已知等比数列{an}中，a5、a95为方程x2＋10x＋16＝0的两根，则a20·a50·a80的值为(　　)A．256　　　B．±256　　C．64　　　D．±64[答案]　D[解析]　由韦达定理可得a5a95＝16，由等比中项可得a5a95＝(a50)2＝16，故a50＝±4，则a20a50a80＝(a50)3＝(±4)3＝±64.2．(2012·沈阳质检)已知等比数列{an}的前三项依次为a－1、a＋1、a＋4，则该数列的通项an＝(　　)A．4×()n－1B．4×()nC．4×()nD．4×()n－1[答案]　D[解析]　据前三项可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5，故等比数列的首项为4，q＝＝，故an＝4×()n－1.3．(2012·北京文，6)已知数列{an}为等比数列，下面结论中正确的是(　　)A．a1＋a3≥2a2B．a＋a≥2aC．若a1＝a3，则a1＝a2D．若a3＞a1，则a4＞a2[答案]　B[解析]　本题考查了等比数列、均值不等式等知识，可用排除法求解．当a1<0，q<0时，a1<0，a2>0，a3<0，所以A错误；而当q＝－1时，C错误；当q13\n<0时，由a3>a1得a3q<a1q，即a4<a2，与D项矛盾，所以B项正确．[点评]　B选项可证明如下：设{an}的公差为q，则a＋a＝a(1＋q4)≥a·2q2＝2a.4．(2011·四川文，9)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝(　　)A．3×44B．3×44＋1C．45D．44＋1[答案]　A[解析]　∵an＋1＝3Sn，①∴an＝3Sn－1(n≥2)，②①－②得an＋1－an＝3Sn－3Sn－1＝3an，即an＋1＝4an，∴＝4(n≥2)．当n＝2时，a2＝3a1＝3，∴＝3≠4，∴an为从第2项起的等比数列，且公比q＝4，∴a6＝a2·q4＝3·44.5．(文)已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝(　　)A．35B．33C．31D．29[答案]　C[解析]　运用等比数列的性质a1a4＝a2a3＝2a1⇒a4＝2，①a4＋2a7＝2×，②由①②得∴S5＝＝31.(理)已知数列{an}的前n项的和Sn满足Sn＝2n－1(n∈N*)，则数列{a}的前n项的和为(　　)13\nA．4n－1B.(4n－1)C.(4n－1)D．(2n－1)2[答案]　B[解析]　n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1，又a1＝S1＝21－1＝1也满足，∴an＝2n－1(n∈N*)．设bn＝a，则bn＝(2n－1)2＝4n－1，∴数列{bn}是首项b1＝1，公比为4的等比数列，故{bn}的前n项和Tn＝＝(4n－1)．6．(2012·深圳二调)已知等比数列{an}满足an>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝(　　)A．n(2n－1)B．(n＋1)2C．n2D．(n－1)2[答案]　C[解析]　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，∵a5·a2n－5＝a1q4·a1q2n－6＝22n，即a·q2n－2＝22n⇒(a1·qn－1)2＝22n⇒a＝(2n)2，∵an>0，∴an＝2n，∴a2n－1＝22n－1，∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log22＋log223＋…＋log222n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝·n＝n2，故选C.7．(文)(2012·泉州五中模拟)在等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝2.若an＝64，则n的值为________．[答案]　7[解析]　an＝a1qn－1＝2n－1＝64，∴n＝7.(理)等比数列{an}的公比q>0.已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝______.[答案]　[解析]　∵an＋2＋an＋1＝6an，∴a3＋a2＝6a1.∵a2＝1，a2·q＋a2＝，∴q＋1＝，∴q2＋q－6＝0，13\n∵q>0，∴q＝2，∴a1＝，a3＝2，a4＝4，∴S4＝＋1＋2＋4＝.8．在公差不为零的等差数列{an}中，a1、a3、a7依次成等比数列，前7项和为35，则数列{an}的通项an＝________.[答案]　n＋1[解析]　设等差数列首项a1，公差d，则∵a1、a3、a7成等比，∴a＝a1a7，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，∴a1＝2d，又S7＝7a1＋d＝35d＝35，∴d＝1，∴a1＝2，∴an＝n＋1.9．(2012·江苏，6)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．[答案]　[解析]　本题考查等比数列及古典概型的知识．等比数列的通项公式为an＝(－3)n－1.所以此数列中偶数项都为负值，奇数项全为正值．若an≥8，则n为奇数且(－3)n－1＝3n－1≥8，则n－1≥2，∴n≥3，∴n＝3,5,7,9，共四项满足要求．∴p＝1－＝.[点评]　直接考虑情况较多时，可以从其对立面来考虑问题．10．(2012·河南豫北六校精英联考)已知等比数列{an}是递增数列，a2a5＝32，a3＋a4＝12.数列{bn}满足bn＝.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)求数列{nbn}的前n项和Sn.[解析]　(1)因为数列{an}为等比数列且a2a5＝32，所以a3a4＝32，又a3＋a4＝12，解得：或(由{an}是递增数列知不合题意，舍去)所以q＝2，a1＝1，所以an＝2n－1，即bn＝.(2)由(1)知，∴nbn＝.13\n设Sn＝1＋＋＋…＋，①则Sn＝＋＋＋…＋，②由①－②得，Sn＝1＋＋＋＋…＋－＝－＝2－－＝2－，所以，Sn＝4－.能力拓展提升11.(文)(2011·山东济南模拟)已知各项不为0的等差数列{an}，满足2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8等于(　　)A．2B．4C．8D．16[答案]　D[解析]　由题意可知，a＝2(a3＋a11)＝4a7.∵a7≠0，∴a7＝4，∴b6b8＝b＝a＝16.(理)(2011·辽宁六校模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2＋a5＝0，则下列式子中数值不能确定的是(　　)A.B.C.D.[答案]　D[解析]　数列{an}为等比数列，由8a2＋a5＝0，知8a2＋a2q3＝0，因为a2≠0，所以q＝－2，＝q2＝4；＝＝；＝q＝－2；＝，其值与n有关，故选D.12．(文)已知等比数列{an}的公比q>0，其前n项的和为Sn，则S4a5与S5a4的大小关系是(　　)A．S4a5<S5a4B．S4a5>S5a4C．S4a5＝S5a4D．不确定[答案]　A[解析]　(1)当q＝1时，S4a5－S5a4＝4a－5a＝－a<0.(2)当q≠1且q>0时，13\nS4a5－S5a4＝(q4－q8－q3＋q8)＝(q－1)＝－aq3<0.[点评]　作差，依据前n项和与通项公式化简后判断符号是解决这类问题的基本方法，应注意对公比分类讨论，请再做下题：已知等比数列{an}中，a1>0，q>0，前n项和为Sn，试比较与的大小．[解析]　当q＝1时，＝3，＝5，所以<；当q>0且q≠1时，－＝－＝＝<0，所以有<.综上可知有<.(理)(2012·云南省二检)已知等比数列{an}的公比q＝2，它的前9项的平均值等于，若从中去掉一项am，剩下的8项的平均值等于，则m等于(　　)A．5B．6C．7D．8[答案]　B[解析]　数列{an}前9项的和为S9＝×9＝1533，即＝1533，解得a1＝3.又知am＝S9－×8＝96，而am＝3·2m－1，即3·2m－1＝96，解得m＝6.13．已知a、b、c成等比数列，如果a、x、b和b、y、c都成等差数列，则＋＝________.[答案]　2[解析]　由条件知x＝，y＝，c＝bq，a＝，13\n∴＋＝＋＝＋＝＋＝2.14．(2012·北京东城练习)已知等差数列{an}首项为a，公差为b，等比数列{bn}首项为b，公比为a，其中a、b都是大于1的正整数，且a1<b1，b2<a3，那么a＝________；若对于任意的n∈N*，总存在m∈N*，使得bn＝am＋3成立，则an＝________.[答案]　2　5n－3[解析]　由已知条件可得即若a＝2，显然符合条件；若a>2，则a<b<，解得a<3，即2<a<3，即不存在a满足条件，由此可得a＝2.当a＝2时，an＝2＋(n－1)b，bn＝b×2n－1，若存在m∈N*，使得bn＝am＋3成立，则b×2n－1＝2＋(m－1)b＋3，即得b×2n－1＝bm＋5－b，当b＝5时，方程2n－1＝m总有解，此时an＝5n－3.15．(2012·北京东城练习)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝4an－3(n∈N*)．(1)证明：数列{an}是等比数列；(2)若数列{bn}满足bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，且b1＝2，求数列{bn}的通项公式．[解析]　(1)证明：因为Sn＝4an－3，所以n＝1时，a1＝4a1－3，解得a1＝1.因为Sn＝4an－3，则Sn－1＝4an－1－3(n≥2)，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1，整理得an＝an－1.又a1＝1≠0，所以{an}是首项为1，公比为的等比数列．(2)因为an＝()n－1，bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，所以bn＋1－bn＝()n－1.可得bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝2＋13\n＝3·()n－1－1(n≥2)，当n＝1时也符合上式，∴bn＝3·()n－1－1.16．(文)(2012·吉林省实验中学模拟)在等差数列{an}中，a1＝3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1＝1，公比为q，且b2＋S2＝12，q＝.(1)求an与bn；(2)设数列{cn}满足cn＝，求{cn}的前n项和Tn.[解析]　(1)设数列{an}的公差为d，∵∴b2＋b2q＝12，∴b1q＋b1q2＝12，∵b1＝1，∴q＋q2＝12，∵bn>0，∴q>0，∴q＝3，∴b2＝3，S2＝9，又a1＝3，∴a2＝6，公差d＝3，∴an＝3n，bn＝3n－1.(2)Sn＝＝，∴Cn＝＝＝(－)，∴Tn＝C1＋C2＋…＋Cn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)＝.(理)(2012·浙江绍兴质量调研)已知数列{an}中，a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，且对任意n∈N*，有an＋1＝kSn＋1(k为常数)．(1)当k＝2时，求a2、a3的值；(2)试判断数列{an}是否为等比数列？请说明理由．[解析]　(1)当k＝2时，an＋1＝2Sn＋1，令n＝1得a2＝2S1＋1，又a1＝S1＝1，得a2＝3；令n＝2得a3＝2S2＋1＝2(a1＋a2)＋1＝9，∴a3＝9.∴a2＝3，a3＝9.(2)由an＋1＝kSn＋1，得an＝kSn－1＋1，两式相减，得an＋1－an＝kan(n≥2)，即an＋1＝(k＋1)an(n≥2)，13\n且＝＝k＋1，故an＋1＝(k＋1)an.故当k＝－1时，an＝此时，{an}不是等比数列；当k≠－1时，＝k＋1≠0，此时，{an}是首项为1，公比为k＋1的等比数列．综上，当k＝－1时，{an}不是等比数列；当k≠－1时，{an}是等比数列．1．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，令Tn＝a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1，则Tn等于(　　)A．16(1－4－n)B．16(1－2－n)C.(1－4－n)D.(1－2－n)[答案]　C[解析]　＝q2，即数列{anan＋1}是以q2为公比的等比数列．由a2＝2，a5＝得q＝，∴a1＝4，a1a2＝8，所以Tn＝＝[1－()n]．2．两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且a>b，则双曲线－＝1的离心率e等于(　　)A.B.C.D.[答案]　D[解析]　∵a＋b＝5，a·b＝6，a>b>0，∴a＝3，b＝2.∴e＝＝＝.3．已知公差不为0的等差数列{an}满足a1、a3、a4成等比数列，Sn为{an}的前n项和，13\n则的值为(　　)A．2B．3C.D．不存在[答案]　A[解析]　由条件a＝a1a4，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，∴a1d＋4d2＝0，∵d≠0，∴a1＝－4d，∴＝＝＝2.4．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，设P＝(log0.5a5＋log0.5a7)，Q＝log0.5，P与Q的大小关系是(　　)A．P≥QB．P<QC．P≤QD．P>Q[答案]　D[解析]　P＝log0.5＝log0.5，Q＝log0.5，∵q≠1，∴a3≠a9，∴>，又∵y＝log0.5x在(0，＋∞)上递减，∴log0.5<log0.5，即Q<P.故选D.5．已知an＝n，把数列{an}的各项排列成如下的三角形状：a1a2　a3　a4a5　a6　a7　a8　a9……………………记A(m，n)表示第m行的第n个数，则A(11,12)＝(　　)A.67B.68C.111D.112[答案]　D[解析]　由图形知，各行数字的个数构成首项为1，公差为2的等差数列，∴13\n前10行数字个数的和为10×1＋×2＝100，故A(11,12)为{an}的第112项，∴A(11,12)＝a112＝112.6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是(　　)A．4B．5C．6D．7[答案]　D[解析]　由程序框图可知，S＝1＋2＋22＋…＋2k＝2k＋1－1，由S<100得，2k＋1<101，∵26＝64,27＝128，∴k＋1＝7，∴k＝6，结合语句k＝k＋1在S＝S＋2k后面知，当k＝6时，S＝127，k的值再增加1后输出k值为7.[点评]　这是最容易出错的地方，解这类题时，既要考虑等比数列求和，在k取何值时，恰满足S≥100，又要顾及S与k的赋值语句的先后顺序．7．(2011·山东临沂一模)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2(＋)，a3＋a4＝32(＋)．(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝a＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.[解析]　(1)设等比数列{an}的公比为q，则an＝a1qn－1，由已知得a1＋a1q＝2(＋)，a1q2＋a1q3＝32(＋)．化简得即又∵a1>0，q>0，解得∴an＝2n－1.13\n(2)由(1)知bn＝a＋log2an＝4n－1＋(n－1)，∴Tn＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n－1)＝＋＝＋.8．已知数列{an}的前n项和为Sn，点(an＋2，Sn＋1)在直线y＝4x－5上，其中n∈N*.令bn＝an＋1－2an，且a1＝1.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)若f(x)＝b1x＋b2x2＋b3x3＋…＋bnxn，求f′(1)的表达式．[解析]　(1)∵Sn＋1＝4(an＋2)－5，∴Sn＋1＝4an＋3.∴Sn＝4an－1＋3(n≥2)，∴an＋1＝4an－4an－1(n≥2)∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)．∴＝＝2(n≥2)．∴数列{bn}为等比数列，其公比为q＝2，首项b1＝a2－2a1，而a1＋a2＝4a1＋3，且a1＝1，∴a2＝6.∴b1＝6－2＝4，∴bn＝4×2n－1＝2n＋1.(2)∵f(x)＝b1x＋b2x2＋b3x3＋…＋bnxn，∴f′(1)＝b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn.∴f′(1)＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1①∴2f′(1)＝23＋2·24＋3·25＋…＋n·2n＋2②①－②得－f′(1)＝22＋23＋24＋…＋2n＋1－n·2n＋2＝－n·2n＋2＝－4(1－2n)－n·2n＋2，∴f′(1)＝4＋(n－1)·2n＋2.9．已知{an}是首项为a1、公比q(q≠1)为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且有5S2＝4S4，设bn＝q＋Sn.(1)求q的值；(2)数列{bn}能否是等比数列？若是，求出a1的值；若不是，请说明理由．[解析]　(1)由题意知5S2＝4S4，S2＝，S4＝，∴5(1－q2)＝4(1－q4)，又q>0，∴q＝.(2)∵Sn＝＝2a1－a1n－1，13\n于是bn＝q＋Sn＝＋2a1－a1n－1，若{bn}是等比数列，则＋2a1＝0，∴a1＝－.此时，bn＝n＋1.∵＝＝，∴数列{bn}是等比数列．所以存在实数a1＝－，使数列{bn}为等比数列．13