（福建专用）高考数学总复习 第八章第4课时 空间中的平行关系课时闯关（含解析）

（福建专用）2013年高考数学总复习第八章第4课时空间中的平行关系课时闯关（含解析）一、选择题1．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是(　　)A．异面　　　　　　　　B．相交C．平行D．不确定解析：选C.以四棱柱为模型，一条侧棱与和它平行的两个侧面的交线平行，可得出结论．2．设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线．则α∥β的一个充分而不必要条件是(　　)A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2解析：选B.∵m∥l1，且n∥l2，又l1与l2是平面β内的两条相交直线，∴α∥β，而当α∥β时不一定推出m∥l1且n∥l2，可能异面．故选B.3．(2012·宁德调研)已知甲命题：“如果直线a∥b，那么a∥α”；乙命题：“如果a∥平面α，那么a∥b”．要使上面两个命题成立，需分别添加的条件是(　　)A．甲：b⊂α；乙：b⊂αB．甲：b⊂α；乙：a⊂β且α∩β＝bC．甲：a⊄α，b⊂α；乙：a⊂β且α∩β＝bD．甲：a⊄α，b⊂α；乙：b∥α解析：选C.根据直线与平面平行的判定定理和性质定理，知C正确．4．下列命题中正确的个数是(　　)①若直线a不在α内，则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；⑤若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；⑥平行于同一平面的两直线可以相交．A．1B．2C．3D．4解析：选B.a∩α＝A时，a⊄α，故①错；直线l与α相交时，l上有无数个点不在α内，故②错；l∥α时，α内的直线与l平行或异面，故③错；a∥b，b∥α时，a∥α或a⊂α，故④错；l∥α，l与α无公共点，∴l与α内任一直线都无公共点，⑤正确；长方体中A1C1与B1D1都与面ABCD平行，∴⑥正确．故选B.5．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是(　　)7\nA．①③B．①④C．②③D．②④解析：选B.对图①，可通过面面平行得到线面平行．对图④，通过证明AB∥PN得到AB∥平面MNP，故选B.二、填空题6.如图，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若＝，则直线MN与平面BDC的位置关系是__________．解析：在平面ABD中，＝，∴MN∥BD.又MN⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴MN∥平面BCD.答案：平行7．(2012·漳州调研)已知α、β是不同的两个平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b没有公共点；命题q：α∥β，则p是q的________条件．解析：∵a与b没有公共点，不能推出α∥β，而α∥β时，a与b一定没有公共点，即p⇒/q，q⇒p，∴p是q的必要不充分条件．答案：必要不充分8.空间四边形ABCD的两条对棱AC、BD的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，周长的取值范围是________．解析：设＝＝k，∴＝＝1－k，∴GH＝5k，EH＝4(1－k)，∴周长＝8＋2k.又∵0＜k＜1，∴周长的范围为(8,10)．答案：(8,10)三、解答题9.7\n如图是一个三棱柱(以A1B1C1为底面)被一平面截得的几何体，截面为ABC，已知AA1＝4，BB1＝2，CC1＝3，O为AB中点，证明：OC∥平面A1B1C1.证明：取A1B1中点D1，连接OD1、C1D1.则OD1为梯形AA1B1B的中位线．∴OD1＝3且OD1∥AA1.又在棱柱中，AA1∥CC1，CC1＝3，∴OD1綊CC1，∴四边形OD1C1C为平行四边形．∴OC∥D1C1.又OC⊄平面A1B1C1，D1C1⊂平面A1B1C1，∴OC∥平面A1B1C1.10.已知如图：E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点．求证：(1)EG∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.证明：(1)取B1D1的中点O，连接GO，OB，易证四边形BEGO为平行四边形，故OB∥GE，由线面平行的判定定理即可证EG∥平面BB1D1D.(2)由正方体得BD∥B1D1.如图，连接HB、D1F，易证四边形HBFD1是平行四边形，故HD1∥BF.又B1D1∩HD1＝D1，BD∩BF＝B，所以平面BDF∥平面B1D1H.一、选择题1.7\n(2012·三明调研)如图所示，在三棱柱ABCA′B′C′中，点E、F、H、K分别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点，G为△ABC的重心，从K、H、G、B′中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为(　　)A．KB．HC．GD．B′解析：选C.若K点为P，∵P(K)F∥C′C，∴P(K)F∥C′C∥A′A∥B′B，则棱柱至少有三条棱与平面PEF平行，故A不正确；若H点为P，∵平面P(H)EF∥平面BC，∴AC∥平面P(H)EF，AB∥平面P(H)EF，BC∥平面P(H)EF，则棱柱至少有三条棱与平面PEF平行，故B不正确；若G点为P，则棱柱中仅有AB、A′B′与平面PEF平行，故C正确；若B′点为P，则棱柱中任一棱都不与平面PEF平行，故D不正确．故选C.2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点．点P在对角线BD1上，且＝，给出下列四个命题：①MN∥平面APC；②C1Q∥平面APC；③A，P，M三点共线；④平面MNQ∥平面APC.其中正确命题的序号为(　　)A．①②B．①④C．②③D．③④解析：选C.E，F分别为AC，MN的中点，G为EF与BD1的交点，显然△D1FG∽△BEG，故＝＝，即BG＝BD1，又＝，即BP＝BD1，故点G与点P重合，所以平面APC和平面ACMN重合，MN⊂平面APC，故命题①不正确，命题④也不正确，结合选项可知选C.二、填空题3．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.7\n解析：易知平面MHN∥平面B1BDD1.故当M在FH上时MN∥平面B1BDD1.答案：M∈FH4.(2011·高考福建卷)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．解析：由于在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，∴AC＝2.又E为AD中点，EF∥平面AB1C，EF⊂平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F为DC中点，∴EF＝AC＝.答案：三、解答题5.(2011·高考山东卷)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB＝90°，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF.(1)若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE；(2)若AC＝BC＝2AE，求二面角ABFC的大小．解：(1)证明：法一：因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB＝90°.所以∠EGF＝90°，△ABC∽△EFG.由于AB＝2EF，因此BC＝2FG.连接AF，由于FG∥BC，FG＝BC，在▱ABCD中，M是线段AD的中点，则AM∥BC，且AM＝BC，因此FG∥AM且FG＝AM，所以四边形AFGM为平行四边形，因此GM∥FA.又FA⊂平面ABFE，GM⊄平面ABFE，7\n所以GM∥平面ABFE.法二：因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB＝90°，所以∠EGF＝90°，△ABC∽△EFG.由于AB＝2EF，所以BC＝2FG.取BC的中点N，连接GN，因此四边形BNGF为平行四边形，所以GN∥FB.在▱ABCD中，M是线段AD的中点，连接MN，则MN∥AB.因为MN∩GN＝N，所以平面GMN∥平面ABFE.又GM⊂平面GMN，所以GM∥平面ABFE.(2)由题意知，平面ABFE⊥平面ABCD.取AB的中点H，连接CH.因为AC＝BC，所以CH⊥AB，则CH⊥平面ABFE.过H向BF引垂线交BF于R，连接CR，则CR⊥BF，所以∠HRC为二面角ABFC的平面角．由题意，不妨设AC＝BC＝2AE＝2，在直角梯形ABFE中，连接FH，则FH⊥AB.又AB＝2，所以HF＝AE＝1，BH＝，因此在Rt△BHF中，HR＝.由于CH＝AB＝，所以在Rt△CHR中，tan∠HRC＝＝.因此二面角ABFC的大小为60°.6.7\n(2010·高考福建卷)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点(点E与B1不重合)，且EH∥A1D1.过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G.(1)证明：AD∥平面EFGH；(2)设AB＝2AA1＝2a.在长方体ABCD－A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE－D1DCGH内的概率为p.当点E，F分别在棱A1B1，B1B上运动且满足EF＝a时，求p的最小值．解：(1)证明：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD∥A1D1.又∵EH∥A1D1，∴AD∥EH.∵AD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH.∴AD∥平面EFGH.(2)法一：设BC＝b，则长方体ABCD－A1B1C1D1的体积V＝AB·AD·AA1＝2a2b，几何体EB1F－HC1G的体积V1＝·B1C1＝EB1·B1F.∵EB＋B1F2＝a2，∴EB1·B1F≤＝，当且仅当EB1＝B1F＝a时等号成立．从而V1≤.故p＝1－≥1－＝，当且仅当EB1＝B1F＝a时等号成立．∴p的最小值等于.法二：设BC＝b，则长方体ABCD－A1B1C1D1的体积V＝AB·AD·AA1＝2a2b，几何体EB1F－HC1G的体积V1＝·B1C1＝EB1·B1F.设∠B1EF＝θ(0°≤θ＜90°)，则EB1＝acosθ，B1F＝asinθ.∴EB1·B1F＝a2sinθcosθ＝sin2θ≤，当且仅当sin2θ＝1，即θ＝45°时，等号成立．从而V1≤.∴p＝1－≥1－＝，当且仅当sin2θ＝1，即θ＝45°时，等号成立．∴p的最小值等于.7