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(福建专用)高考数学总复习 第六章第4课时 基本不等式 课时闯关(含解析)

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(福建专用)2013年高考数学总复习第六章第4课时基本不等式课时闯关(含解析)一、选择题1.已知a>0,b>0,则++2的最小值是(  )A.2B.2C.4D.5解析:选C.∵++2≥+2≥2=4.当且仅当时,等号成立,即a=b=1时,不等式取最小值4.2.下列函数中,最小值为4的函数是(  )A.y=x+B.y=sinx+(0<x<π)C.y=ex+4e-xD.y=log3x+logx81解析:选C.对于A,x+≥4或者x+≤-4;对于B,等号成立的条件不满足;对于D,也是log3x+logx81≥4或者log3x+logx81≤-4,所以答案为C.3.(2012·广州检测)已知x>1,y>1,且lnx,,lny成等比数列,则xy(  )A.有最大值eB.有最大值C.有最小值eD.有最小值解析:选C.∵x>1,y>1,且lnx,,lny成等比数列,∴lnx·lny=≤2,∴lnx+lny≥1⇒xy≥e.4.(2011·高考陕西卷)设0<a<b,则下列不等式中正确的是(  )A.a<b<<B.a<<<bC.a<<b<D.<a<<b解析:选B.∵0<a<b,∴a<<b,A、C错误;-a=(-)>0,即>a,故选B.5.(2012·北京海淀区质检)设x,y∈R,则“x2+y2≤1”是“|x|+|y|≤”成立的(  )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A.∵2|x||y|≤|x|2+|y|2=x2+y2≤1,∴(|x|+|y|)2=x2+2|x||y|+y2≤2.∴|x|+|y|≤.取x=0,y=,不满足x2+y2≤1,故是充分不必要条件.4\n二、填空题6.若x>0,y>0且xy=4,则x2+y2的最小值为________,x+y的最小值为________.解析:x2+y2≥2xy=8;x+y≥2=4.答案:8 47.已知a、b∈(0,+∞),且a+b=1,则+≥m,恒成立的实数m的最大值是________.解析:+=(a+b)=2++≥4.所以+的最小值为4,m≤+恒成立,m的最大值是4.答案:48.(2011·高考浙江卷)若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是________.解析:由x2+y2+xy=1,得1=(x+y)2-xy,∴(x+y)2=1+xy≤1+,解得-≤x+y≤,∴x+y的最大值为.答案:三、解答题9.(1)当x<1,求函数f(x)=的最大值;(2)当点(x,y)在直线x+3y-4=0上移动时,求表达式3x+27y+2的最小值;(3)已知x,y都是正实数,且x+y-3xy+5=0,求xy的最小值.解:(1)∵x<1,∴设t=1-x>0.∴f(t)====-+3.∵t+≥2,∴f(t)≤-2+3.当且仅当t=时取等号,即t=,x=1-,∴函数f(x)=的最大值为-2+3.(2)由x+3y-4=0得x+3y=4,∴3x+27y+2=3x+33y+2≥2·+2=2·+2=2·+2=20,当且仅当3x=33y且x+3y-4=0,即x=2,y=时取“=”.(3)由x+y-3xy+5=0得x+y+5=3xy.∴2+5≤x+y+5=3xy.∴3xy-2-5≥0,∴(+1)(3-5)≥0,4\n∴≥,即xy≥,等号成立的条件是x=y.此时x=y=,故xy的最小值是.10.已知:a,b是正常数,x,y∈(0,+∞),且a+b=10,+=1,x+y的最小值为18,求a、b的值.解:∵x+y=(x+y)=a+b++≥a+b+2,当且仅当bx2=ay2时等号成立.∴x+y的最小值为a+b+2=18.又a+b=10.① ∴2=8,∴ab=16.②由①②可得a=2,b=8或a=8,b=2.一、选择题1.(2010·高考四川卷)设a>b>0,则a2++的最小值是(  )A.1          B.2C.3D.4解析:选D.a2++=a2-ab+ab++=a(a-b)++ab+≥2+2=4,当且仅当a(a-b)=1且ab=1,即a=,b=时取等号.2.(2012·三明市三校联考)已知M是△ABC内的一点,且·=2,∠BAC=60°,若△MBC,△MCA,△MAB的面积分别为,x,y,则+的最小值为(  )A.20B.18C.16D.9解析:选B.由·=2,∠BAC=60°,则△ABC的面积为1.则+x+y=1,即x+y=,+=(2x+2y)=10++≥18.当且仅当=,即y=2x时,即x=,y=时取等号.二、填空题3.当a>0,a≠1时,函数f(x)=loga(x-1)+1的图象恒过定点A,若点A在直线mx-y+n=0上,则4m+2n的最小值是________.解析:A(2,1),故2m+n=1.∴4m+2n≥2=2=2.当且仅当4m=2n,即2m=n,即n=,m=时取等号.∴4m+2n的最小值为2.4\n答案:24.若a,b是正常数,a≠b,x,y∈(0,+∞),则+≥,当且仅当=时取等号.利用以上结论,可以得到函数f(x)=+的最小值为________,取最小值时x的值为________.解析:f(x)=+≥=25.当且仅当=,即x=时上式取最小值,即f(x)min=25.答案:25 三、解答题5.是否存在常数c,使得不等式+≤c≤+对任意正实数x,y恒成立?证明你的结论.解:存在常数c=.证明:令⇒故有+=+=-≤-=,同理可证+≥.故存在常数c=.6.学校食堂定期从某粮店以每吨1500元的价格购买大米,每次购进大米需支付运输劳务费100元,已知食堂每天需要大米1吨,贮存大米的费用为每吨每天2元,假定食堂每次均在用完大米的当天购买.(1)该食堂每多少天购买一次大米,能使平均每天所支付的费用最少?(2)粮店提出价格优惠条件:一次购买量不少于20吨时,大米价格可享受九五折优惠(即是原价的95%),问食堂可否接受此优惠条件?请说明理由.解:(1)设该食堂每x天购买一次大米,则每次购买x吨,设平均每天所支付的费用为y元,则y=[1500x+100+2(1+2+…+x)]=x++1501≥1521,当且仅当x=,即x=10时取等号,故该食堂每10天购买一次大米,能使平均每天所支付的费用最少.(2)y=[1500x·0.95+100+2(1+2+…+x)]=x++1426(x≥20).函数y在[20,+∞)上为增函数,所以y≥20++1426=1451.而1451<1521,故食堂可接受粮店的优惠条件.4

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发布时间:2022-08-25 21:33:18 页数:4
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文章作者:U-336598

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