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2022中考数学一轮复习第一部分教材同步复习第六章圆第24讲与圆有关的位置关系5年真题精选

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第一部分 第六章 第24讲命题点1 切线的判定及相关计算1.(2022·云南20题8分)如图,AB为⊙O的直径,C是⊙O上一点,过点C的直线交AB的延长线于点D,AE⊥DC,垂足为E,F是AE与⊙O的交点,AC平分∠BAE.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)若AE=6,∠D=30°,求图中阴影部分的面积.(1)证明:如答图,连接OC,答图∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.∵AC平分∠BAE,∴∠OAC=∠CAE,∴∠OCA=∠CAE,∴OC∥AE,∴∠OCD=∠E.∵AE⊥DE,∴∠E=90°,∴∠OCD=90°,∴OC⊥CD.∵点C在⊙O上,OC为⊙O的半径,∴DE是⊙O的切线.(2)解:在Rt△AED中,∵∠D=30°,AE=6,∴AD=2AE=12,在Rt△OCD中,∠D=30°,∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC,∴DB=OB=OC=AD=4,DO=8,∴CD===4,∴S△OCD=CD·OC==8.8\n∵∠D=30°,∠OCD=90°,∴∠DOC=60°,∴S扇形BOC=·π·OC2=π,∴S阴影=S△COD-S扇形OBC=8-,∴阴影部分面积为8-.2.(2022·昆明22题8分)如图,AH是⊙O的直径,AE平分∠FAH,交⊙O于点E,过点E的直线FG⊥AF,垂足为点F,B为半径OH上一点,点E,F分别在矩形ABCD的边BC和CD上.(1)求证:直线FG是⊙O的切线;(2)若CD=10,EB=5,求⊙O的直径.(1)证明:连接OE,∵OA=OE,∴∠EAO=∠AEO.∵AE平分∠FAH,∴∠EAO=∠FAE,∴∠FAE=∠AEO,∴AF∥OE,∴∠AFE+∠OEF=180°.∵AF⊥GF,∴∠AFE=∠OEF=90°,∴OE⊥GF.∵点E在圆上,OE是半径,∴直线FG是⊙O的切线.(2)解:∵四边形ABCD是矩形,CD=10,∴AB=CD=10,∠ABE=90°,设OA=OE=x,则OB=10-x,在Rt△OBE中,∠OBE=90°,BE=5,由勾股定理得OB2+BE2=OE2,∴(10-x)2+52=x2,∴x=,∴AH=2×=,∴⊙O的直径为.3.(2022·云南23题12分)已知AB是⊙O的直径,PB是⊙O的切线,C是⊙O上的点,8\nAC∥OP,M是直径AB上的动点,A与直线CM上的点连线距离的最小值为d,B与直线CM上的点连线距离的最小值为f.(1)求证:PC是⊙O的切线;(2)设OP=AC,求∠CPO的正弦值;(3)设AC=9,AB=15,求d+f的取值范围.(1)证明:连接OC,如答图1.答图1∵AC∥OP,∴∠CAO=∠POB,∠ACO=∠COP.∵OA=OC,∴∠CAO=∠ACO,∴∠POB=∠POC.在△POB和△POC中,∴△POB≌△POC(SAS),∴∠PBO=∠PCO.∵PB是⊙O的切线,∴∠PBO=90°,∴∠OCP=90°,即OC⊥PC,∴PC是⊙O的切线.(2)解:如答图1,作ON⊥AC于点N,∵OP=AC,∴=.设OP=3x,则AC=2x,∵ON⊥AC,∴AN=CN=x.∵∠NAO=∠POB,∠ONA=∠OBP,∴△NAO∽△BOP,∴=.∵OA=OB,∴OA=OB=x.在Rt△OBP中,∴sin∠BPO=sin∠CPO==.8\n∴∠CPO的正弦值等于.(3)解:如答图2,连接BC,作AF⊥CM,BE⊥CM,垂足分别为点F,E,作CQ⊥AB,垂足为点Q.答图2∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.∵AC=9,AB=15,∴BC=12.①当点M与点B重合时,d=AC=9,f=0,d+f=9;②当点M在线段BQ(不包括端点)上时,设∠AMF=∠BME=α.∵sinα=AF∶AM,∴AF=AMsinα.∵sinα=BE∶BM,∴BE=BMsinα.∴AF+BE=(AM+BM)sinα=ABsinα.∴d+f=15sinα.∵<sinα<1,∴9<d+f<15;③当点M与点Q重合时,d+f=AB=15;④当点M在线段QA(不包括端点)上时,设∠AMF=∠BME=α.∵d+f=15sinα,且<sinα<1,∴12<d+f<15;⑤当点M与点A重合时,d=0,f=BC=12,d+f=12.综上所述,9≤d+f≤15.命题点2 切线的性质及其相关计算4.(2022·昆明21题8分)如图,AB是⊙O的直径,ED切⊙O于点C,AD交⊙O于点F,AC平分∠BAD,连接BF.(1)求证:AD⊥ED;(2)若CD=4,AF=2,求⊙O的半径.8\n(1)证明:连接OC,如答图,答图∵AC平分∠BAD,∴∠1=∠2.∵OA=OC,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴OC∥AD.∵ED切⊙O于点C,∴OC⊥DE,∴AD⊥ED.(2)解:设OC交BF于点H,如答图,∵AB为⊙O的直径,∴∠AFB=90°,∴四边形CDFH为矩形,∴FH=CD=4,∠CHF=90°,∴OH⊥BF,∴BH=FH=4,∴BF=8.在Rt△ABF中,AB===2,∴⊙O的半径为.5.(2022·云南22题9分)如图,已知AB是⊙O的直径,C是⊙O上的点,点D在AB的延长线上,∠BCD=∠BAC.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)若∠D=30°,BD=2,求图中阴影部分的面积.(1)证明:连接OC,∵OA=OC,∴∠BAC=∠OCA.∵∠BCD=∠BAC,∴∠BCD=∠OCA.∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠OCA+∠OCB=∠BCD+∠OCB=90°,∴∠OCD=90°.∵OC是⊙O的半径,∴CD是⊙O的切线.8\n(2)解:设⊙O的半径为r,则AB=2r.∵∠D=30°,∠OCD=90°,∴OD=2r,∠COB=60°,∴△BOC为等边三角形.∴BC=r,r+2=2r,∴r=2,∠AOC=120°,∴BC=2,∴由勾股定理可知AC=2,∴S△AOC=×2×1=,S扇形OAC==.∴S阴影=S扇形OAC-S△OAC=π-.6.(2022·曲靖22题9分)如图,AB为⊙O的直径,点C为⊙O上一点,将弧BC沿直线BC翻折,使弧BC的中点D恰好与圆心O重合,连接OC,CD,BD,过点C的切线与线段BA的延长线交于点P,连接AD,在PB的另一侧作∠MPB=∠ADC.(1)判断PM与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若PC=,求四边形OCDB的面积.解:(1)PM与⊙O相切.理由如下:连接DO并延长交PM于点E,如答图,答图∵弧BC沿直线BC翻折,弧BC的中点D恰好与圆心O重合,∴OC=DC,BO=BD,∴OC=DC=BO=BD,∴四边形OBDC为菱形,∴OD⊥BC,∴△OCD和△OBD都是等边三角形,∴∠COD=∠BOD=60°,8\n∴∠COP=∠EOP=60°.∵∠MPB=∠ADC,而∠ADC=∠ABC,∴∠ABC=∠MPB,∴PM∥BC,∴OE⊥PM,∴OE=OP.∵PC为⊙O的切线,∴OC⊥PC,∴OC=OP,∴OE=OC,而OE⊥PC,∴PM是⊙O的切线.(2)在Rt△OPC中,OC=PC=×=1,∴S四边形OCDB=2S△OCD=2××12=.7.(2022·曲靖23题10分)如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B为切点,AC是⊙O的直径,AC,PB的延长线相交于点D.(1)若∠1=20°,求∠APB的度数;(2)当∠1为多少度时,OP=OD,并说明理由.解:(1)∵PA是⊙O的切线,∴∠BAP=90°-∠1=70°.又∵PA,PB是⊙O的切线,∴PA=PB.∴∠BAP=∠ABP=70°,∴∠APB=180°-70°×2=40°.(2)当∠1=30°时,OP=OD.理由如下:当∠1=30°时,由(1)知∠BAP=∠ABP=60°,∴∠APB=180°-60°×2=60°.∵PA,PB是⊙O的切线,∴∠OPB=∠APB=30°.又∵∠D=∠ABP-∠1=60°-30°=30°,∴∠OPB=∠D,∴OP=OD.8.(2022·曲靖22题9分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,O是AB8\n边上的一点,以OA为半径的⊙O与边BC相切于点E.(1)若AC=5,BC=13,求⊙O的半径;(2)过点E作弦EF⊥AB于M,连接AF.若∠F=2∠B,求证:四边形ACEF是菱形.解:(1)连接OE,设⊙O的半径为r,在Rt△ABC中,AB==12.∵BC与⊙O相切,∴OE⊥BC,∴∠OEB=∠BAC=90°.又∵∠EBO=∠ABC,∴△BOE∽△BCA,∴=,即=,解得r=,即⊙O的半径为.(2)证明:∵A=A,∠F=2∠B,∴∠AOE=2∠F=4∠B.∵∠AOE=∠OEB+∠B,∴∠B=30°,∠F=60°.∵EF⊥AD,∴∠EMB=∠CAB=90°,∴∠MEB=∠F=60°,∴CA∥EF,CB∥AF,∴四边形ACEF是平行四边形.∵∠CAB=90°,OA是⊙O的半径,∴CA是⊙O的切线.又∵BC是⊙O的切线,∴CA=CE,∴平行四边形ACEF是菱形.8

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发布时间:2022-08-25 21:32:03 页数:8
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文章作者:U-336598

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