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2022中考数学压轴题 菱形问题精选解析(三)
2022中考数学压轴题 菱形问题精选解析(三)
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2022中考数学压轴题菱形问题精选解析(三)例5已知菱形ABCD中,BD为对角线,P、Q两点分别在AB、BD上,且满足∠PCQ=∠ABD.(1)如图1,当∠BAD=90°时,求证:DQ+BP=CD;(2)如图2,当∠BAD=120°时,试探究线段DQ、BP、CD之间的数量关系,并证明你的结论;ABCDPQ图1BPQADC图2ABCDPQEFM图3(3)如图3,在(2)的条件下,延长CQ交AD边于点E,交BA延长线于点M,作∠DCE的平分线交AD边于点F.若=,EF=,求线段BP的长.解析:ABCDPQ(1)证明:连接AC在菱形ABCD中,∵∠BAD=90°∴四边形ABCD为正方形,∴∠PAC=∠QDC=45°∵∠PCQ=∠ABD,∴∠PCQ=45°∴∠ACP=45°-∠ACQ,又∠DCQ=45°-∠ACQ∴∠ACP=∠DCQ,∴△APC∽△DQC∴==,∴AP=DQ∵AP+BP=AB=CD,∴DQ+BP=CD(2)DQ+BP=2CD证明:连接AC,在DQ上取一点M,连接CM,使∠MCD=∠MDC=30°则∠QMC=∠PAC=60°过点M作MG⊥CD于G,则CG=CD,CG=CMABCDPQMG∴CD=CM=DM∵∠ACP=∠ACB-∠BCP=60°-∠BCP∠MCQ=∠MCB-∠PCQ-∠BCP=60°-∠BCP∴∠ACP=∠MCQ,∴△APC∽△MQC∴===,∴MQ=AP∵MQ=DQ-DM=DQ-CD,AP=CD-BP3\n∴(CD-BP)=DQ-CD∴DQ+BP=2CD(3)解:在菱形ABCD中,∠ABD=∠BDC=30°∵∠PCQ=∠ABD=30°,∴∠PCQ=∠QDC∵BM∥CD,∴∠PMC=∠QCD∴△CQD∽△MPC,∴==,∴=设BC=5k,则MC=7k,过点C作CH⊥AB于H则BH=BC=k,CH=BC=k,MH==k∴BM=BH+MH=8k,∴AM=BM-AB=3kABCDPQEFMHGN∵AM∥CD,∴==∴=,∴AE=k延长CF、BM交于点G,则∠DCF=∠G∵FC平分∠ECD,∴∠MCG=∠DCF∴∠MCG=∠G,∴MG=MC=7k,∴AG=AM+MG=10k∵AG∥CD,∴==∴=,∴AF=k∴EF=AF-AE=k=,∴k=1,∴CD=5过点C作CN⊥BD于N,则DN=CD=∴BD=2DN=5∵DE∥BC,∴==∴=,∴DQ=∴BP=2CD-DQ=例63\n如图,菱形ABCD的边长为6cm,∠DAB=60度,点M是边AD上一点,且DM=2cm,点E,F分别从A,C两点同时出发,以1cm/s的速度分别沿AB,CB向点B运动,EM,CD的延长线相交于G,GF交AD于O,设运动时间为x(s),三角形CGF的面积为y(cm²)解析:(1)∵DC‖AB,∴△DMG∽△AME,∴DG:AE=DM:AM,∴AE=AN*DG/DM,即当x=4s时,GD的长度是2cm.(2)∵△DMG∽△AME,∴DG/AE=DM/AM,∴DG=DM*AE/AM=2x/4=x/2,∴GC=6+x/2,过F作FH⊥DC于H点,∴FH=CF•sin60°=√3/2x,∴y=1/2GC•FH,=1/2(6+x/2)*√3/2x.(3)设运动x(s)时,GF分菱形上、下两部分的面积比为1:5,此时△OGD∽△FGC,∴DG:GC=OD:FC,∴CD=GD*FC/GC=x²/x+12,过D作DP⊥BC于P,则PD=6×sin60°=3√3,即x²/x+12+x=2,解得:x1=(√73-5/2)x2=-(√73-5)/2(舍去),经检验:(√73-5)/2是原方程的解.∴当时:(√73-5)/2,GF分菱形上、下两部分的面积比为1:5.3
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中考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 21:31:44
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文章作者:U-336598
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