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2022中考数学压轴题 菱形问题精选解析(二)

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2022中考数学压轴题菱形问题精选解析(二)例3已知菱形ABCD的边长为10,对角线BD=16,过线段BD上的一个动点P(不与B、D重合)分别向直线AB、AD作垂线,垂足分别为E、F.(1)如图1,求证:△PBE∽△PDF;(2)连接PC,当PE+PF+PC的值最小时,求PB的长;(3)如图2,对角线AC、BD交于点O,以PO为半径的⊙P与以DF为半径的⊙D相切时,求PB的长.CABDO备用图CPAFBDOE图2CPAFBDE图1CPAFBDOE图1M解析:(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AD=AB∴∠ABD=∠ADB又∵PE⊥AB,PF⊥AD,∴∠PEB=∠PFD=90°∴△PBE∽△PDF (2)解:如图1,连接AC交BD于O,则AC⊥BD延长FP交BC于M,则FM⊥BC∵BD平分∠ABC,PE⊥AB,PM=PE∴PE+PF=PM+PF=FMCPAFBDOE图2在Rt△AOB中,BO=BD=8,∴AO===6∴AC=2AO=12又∵S菱形ABCD=AC·BD=BC·FM∴×12×16=10·FM,即FM=(说明PE+PF的值不变即可得分,不必求出FM的值)因此,要使PE+PF+PC的值最小,只要PC取最小值所以当CP⊥BD,即点P与点O重合时,PE+PF+PC的值最小COAFBDPE图3此时PB=BO=BD=8(3)设PB=x,则PD=BD-PB=16-x∵PF⊥AD,∴在Rt△PFD中,DF=DP·cos∠ADB=(16-x)①当⊙P与⊙D外切时2\n情形一:如图2,当P点在点O左侧时,PO=OB-PB=8-x此时PO+DF=PD,∴(8-x)+(16-x)=16-x解得x=6,即PB=6COAFBDPE图4情形二:如图3,当P点在点O右侧时,PO=PB-OB=x-8此时PO+DF=PD,∴(x-8)+(16-x)=16-x解得x=,即PB=②如图4,当⊙P与⊙D内切时,PO=PB-OB=x-8∵PD>DF,∴PO-DF=PD∴(x-8)-(16-x)=16-x,解得,x=,即PB=综上所述,以PO为半径的⊙P与以DF为半径的⊙D相切时,PB的长为6或或例4已知:如图,在菱形ABCD中,F为边BC的中点,DF与对角线AC交于点M,过M作ME⊥CD于点E,∠1=∠2.12BEACDMF(1)若CE=1,求BC的长;(2)求证:AM=DF+ME.解析:(1)解:∵四边形ABCD是菱形∴BC=CD,∴∠1=∠DAC=∠DCA=∠ACB∵∠1=∠2,∴∠2=∠DCA∴DM=CM又∵ME⊥CD,CE=1,∴CD=2CE=2∴BC=CD=212BEACDMFG(2)证明:延长AB和DF相交于点G,∵F为BC的中点,∴BC=2CF=2BF∵CD=2CE,BC=CD,∴CE=CF在菱形ABCD中,AC平分∠BCD,又∵∠ECM=∠FCM,CM=CM,∴△CEM≌△CFM∴ME=MF∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD,∴∠2=∠G又∵∠DFC=∠GFB,CF=BF,∴△DCF≌△GBF∴DF=GF∵∠2=∠G,∠1=∠2,∴∠1=∠G∴AM=GM∵MG=GF+MF,DF=GF,ME=MF∴AM=DF+ME2

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发布时间:2022-08-25 21:31:44 页数:2
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文章作者:U-336598

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