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2022中考数学压轴题 菱形问题精选解析(一)

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2022中考数学压轴题菱形问题精选解析(一)例1如图,菱形ABCD的边长为12cm,∠B=30°,E为AB上一点,且AE=4cm.动点P从B点出发,以1cm/s的速度沿BC边向点C运动,PE交射线DA于点M,设运动时间为t(s).(1)当t为何值时,△MAE的面积为3cm2?(2)在点P出发的同时,动点Q从点D出发,以1cm/s的速度沿DC边向点C运动,连接MQ、PQ,试求△MPQ的面积S(cm2)与t(s)之间的函数关系式,并求出当t为何值时,△MPQ的面积最大,最大值为多少?(3)连接EQ,则在运动中,是否存在这样的t,使得△PQE的外心恰好在它的一边上?若存在,请直接写出满足条件的t的个数,并选择其一求出相应的t的值;若不存在,请说明理由.ABDQCPEMABDCE备用图解析:(1)∵四边形ABCD为菱形,∴AD∥BC,∴△EAM∽△EBP.∵AE=4cm,BE=8cm,BP=tcm,∴AM=tcm由S△EAM=3cm2、∠MAE=30°、AE=4cm,得×t×2=3,解得t=6∴当t为6s时,△MAE的面积为3cm2(2)∵AD∥BC,∴S梯形PCDM=(12-t+12+t)×6=72-t∵S△MQD=(12+t)×t=t2+3t,S△PCQ=(12-t)(12-t)×=ABDQCPEM∴S=S梯形PCDM-S△MQD-S△PCQ=-t2+t+36∵S=-t2+t+36=-(t-2)2+∴当t=2时,△MPQ的面积最大,最大值为(3)存在,t的值有两个∵△PQE的外心恰好在它的一边上,∴△PQE为直角三角形∵∠PQE<∠CQE<90°,∴只能∠EPQ=90°或∠PEQ=90°选择求∠EPQ=90°时的t值(若求∠PEQ=90°时的t值,则计算相当复杂)∵BP=DQ,BC=DC,∴PQ∥BD∴PE⊥BD∵AC⊥BD,∴PE∥AC2\n又∵BA=BC,∴BP=BP=8cm∴当t=8s时,∠EPQ=90°例2如图所示,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,△AEF为正三角形,点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动,且E、F不与B、C、D重合.(1)证明不论E、F在BC、CD上如何滑动,总有BE=CF;ACBFED(2)当点E、F在BC、CD上滑动时,分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化?如果不变,求出这个定值;如果变化,求出最大(或最小)值.ACBFED解析:(1)证明:连接AC∵菱形ABCD中,∠BAD=120°∴∠BAC=60°,∠B=60°∴△ABC是正三角形,∴AB=AC又△AEF为正三角形,∴∠EAF=60°,AE=AF而∠BAC=60°,∴∠BAE=∠CAF∴△ABE≌△ACF,∴BE=CF(2)当E、F在BC、CD上滑动时,四边形AECF的面积不发生变化,其值为4由(1)知,S△ABE=S△ACF∴S四边形AECF=S△ABC=×42=4而△CEF的面积发生变化,其最大值为∵S△CEF=S四边形AECF-S△AEF=4-AE2当AE⊥BC时,AE的长最小,最小值为AB·sin60°,即AE=4×=2∴S△CEF的最大值为4-(2)2=2

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发布时间:2022-08-25 21:31:44 页数:2
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文章作者:U-336598

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