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2022中考数学压轴题 矩形问题精选解析(一)

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2022中考数学压轴题矩形问题精选解析(一)例1.已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标系中,点A(11,0),点B(0,6),点P为BC边上的动点(点P不与点B、C重合),经过点O、P折叠该纸片,得点B′和折痕OP.设BP=t.(Ⅰ)如图①,当∠BOP=30°时,求点P的坐标;(Ⅱ)如图②,经过点P再次折叠纸片,使点C落在直线PB′上,得点C′和折痕PQ,若AQ=m,试用含有t的式子表示m;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当点C′恰好落在边OA上时,求点P的坐标(直接写出结果即可).ABxOyCPB′图②C′QABxOyCPB′图①解析:(Ⅰ)根据题意,∠OBP=90°,OB=6在Rt△OBP中,由∠BOP=30°,BP=t,得OP=2t根据勾股定理,OP2=OB2+BP2即(2t)2=62+t2,解得t=2(t=-2舍去).∴点P的坐标为(2,6)(Ⅱ)∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的∴△OB′P≌△OBP,△QC′P≌△QCP∴∠OPB′=∠OPB,∠QPC′=∠QPCABxOyCPB′C′Q∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°,∴∠OPB+∠QPC=90°∵∠BOP+∠OPB=90°,∴∠BOP=∠CPQ又∠OBP=∠C=90°,∴△OBP∽△PCQ,∴=由题设BP=t,AQ=m,BC=11,AC=6,则PC=11-t,CQ=6-m∴=,∴m=t2-t+6(0<t<11)(Ⅲ)点P的坐标为(,6)或(,6)ABxOyCPQH提示:过点P作PH⊥OA于H易证△PC′H∽△C′QA,∴=∵PC′=PC=11-t,PH=OB=6,AQ=m,C′Q=CQ=6-m∴AC′==3\n∴=∵=,即=∴=,∴36-12m=t2,即12m=36-t2又m=t2-t+6,即12m=2t2-22t+72∴2t2-22t+72=36-t2,即3t2-22t+36=0解得:t=∴点P的坐标为(,6)或(,6)例2(在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,E是AB边上一点(与A、B不重合),EF⊥CE交AD于点F,过点E作∠AEH=∠BEC,交射线FD于点H,交射线CD于点N.(1)如图1,当点H与点F重合时,求BE的长;(2)如图2,当点H在线段FD上时,设BE=x,DN=y,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(3)连接AC,当△FHE与△AEC相似时,求线段DN的长.AEBFC备用图DAEBNDC图1F(H)ABENDCFH图2解析:(1)∵EF⊥EC,∴∠AEF+∠BEC=90°∵∠AEH=∠BEC,∴∠BEC=45°∵∠B=90°,∴BE=BC∵BC=3,∴BE=3ABENDCFHG(2)过点E作EG⊥CN,垂足为点G∴BE=CG∵AB∥CN,∴∠AEH=∠N,∠BEC=∠ECN∵∠AEH=∠BEC,∴∠N=∠ECN,∴EN=EC∴CN=2CG=2BE∵BE=x,DN=y,CD=AB=4∴y=2x-4(2≤x≤3)(3)∵∠A=90°,∴∠AFE+∠AEF=90°∵EF⊥EC,∴∠AEF+∠BEC=90°∴∠AFE=∠BEC,∴∠HFE=∠AEC3\nABHNCDFECC当△FHE与△AEC相似时①若∠FHE=∠EAC∵∠BAD=∠B,∠AEH=∠BEC∴∠FHE=∠ECB,∴∠EAC=∠ECB∴tan∠EAC=tan∠ECB,∴=∴=,∴BE=,∴DN=②若∠FHE=∠ECA,作EG⊥CN于G,交AC于O12ABHCDFENGO∵EN=EC,EG⊥CN,∴∠1=∠2∵AH∥EG,∴∠FHE=∠1,∴∠FHE=∠2∴∠2=∠ECA,∴OE=OC设OE=OC=3k,则AE=4k,AO=5k∴AO+OC=8k=5,∴k=∴AE=,BE=,∴CN=3,∴DN=1综上所述:线段DN的长为或13

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发布时间:2022-08-25 21:31:45 页数:3
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文章作者:U-336598

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