2022中考数学压轴题 正方形问题精选解析（三）

2022中考数学压轴题正方形问题精选解析(三)ABDyCOEx例6如图，点A的坐标为（0，－4），点B为x轴上一动点，以线段AB为边作正方形ABCD（按逆时针方向标记），正方形ABCD随着点B的运动而相应变动．点E为y轴的正半轴与正方形ABCD某一边的交点，设点B的坐标为（t，0），线段OE的长度为m．（1）当t＝3时，求点C的坐标；（2）当t＞0时，求m与t之间的函数关系式；（3）是否存在t，使点M（－2，2）落在正方形ABCD的边上？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．解析：（1）过点C作CF⊥x轴于F则△CFB≌△BOA，得CF＝BO＝3，FB＝OA＝4ABDyCOEx图1∴点C的坐标为（－1，3）（2）当0＜t≤4时，点E为y轴的正半轴与BC边的交点，如图1易证△BOE∽△AOB，得＝即＝，∴m＝t2当t＞4时，点E为y轴的正半轴与CD边的交点，如图2易证△EDA∽△AOB，得＝而DA＝AB，∴AB2＝OB·EA即42＋t2＝t(m＋4)，∴m＝t＋－4ABDyCOEx图2（3）存在当t≤0时∵正方形ABCD位于x轴的下方（含x轴），∴此时不存在当0＜t≤4时①若点M在BC边上，有＝解得t＝2或t＝－4（舍去）②若点M在CD边上，有＝解得t＝2或t＝4当t＞4时①若点M在CD边上，有＝解得t＝2（舍去）或t＝4（舍去）4\n②若点M在AD边上，有＝解得t＝12综上所述：存在，符合条件的t的值为2、4、12例7如图，点P是正方形ABCD边AB上一动点（不与点A、B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE、DF．（1）求证：∠ADP＝∠EPB；（2）若正方形ABCD边长为4，点F能否为边BC的中点？如果能，请你求出AP的长；如果不能，请说明理由．APCPFPBPEPDP（3）当的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由．解析：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°∴∠ADP＋∠APD＝90°∵∠DPE＝90°，∴∠APD＋∠EPB＝90°∴∠ADP＝∠EPB（2）不能设AP＝x（0＜x＜4）∵∠A＝∠PBF＝90°，∠ADP＝∠FPB∴△ADP∽△BPF，∴＝，∴＝∴BF＝－x2＋x＝－(x－2)2＋1∴当x＝2（即P为AB中点）时，BF有最大值1∴点F不能为边BC的中点（3）假设△PFD∽△BFP，则＝∵△ADP∽△BPF，∴＝∴＝，∴PB＝AP∴当＝时，△PFD∽△BFP例8如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，边AE在边AB上，AB＝2AE＝4．将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转α（0°≤α≤60°）．（1）如图2，当∠BEA＝120°时，求DG的长；（2）设BE的延长线交直线DG于点P，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转60°，求旋转过程中点P运动的路线长；（3）在旋转的过程中，是否存在某时刻使得BF＝BC，若存在，试求出DP的长；若不存在，请说明理由．4\nCBAEGDF图2CBAEGDF图1CBAD备用图CBAEGDF图2H解析：（1）∵正方形ABCD和正方形AEFG∴AD＝AB，AG＝AE，∠EAG＝∠BAD＝90°∴∠DAG＝∠BAE＝90°－∠EAD∴△DAG≌△BAE，∴∠DGA＝∠BEA＝120°过点A作AH⊥DG，交DG延长线于H，如图2则∠AGH＝60°，∴∠GAH＝30°∴GH＝AG＝1，AH＝AG＝在Rt△ADH中，AH2＋DH2＝AD2∴()2＋(DG＋1)2＝42CBAEGODF图3P12解得DG＝－1（舍去负值）（2）由（1）知△DAG≌△BAE，∴∠ADG＝∠ABE如图3，∵∠1＝∠2，∴∠BPD＝∠BAD＝90°连接BD，则△BPD是以BD为斜边的直角三角形设BD的中点为O，连接OP，则OP＝BD＝AB＝2∴旋转过程中，点P运动的路线是以O为圆心，以OP为半径的一段圆弧如图4，当边AE在边AB上时，P与A重合当∠BAE＝60°时，设AB的中点为M，连接MECBAEGO(P)DF图4M则AE＝AM＝BM＝AB，∴△AEM是等边三角形∴∠EMA＝60°，∴∠MBE＝∠MEB＝30°∴∠BEA＝90°，∴B、E、F三点共线∴P与F重合连接AF，易知△OFA是等边三角形，∠AOF＝60°∴点P运动的路线长为：2×π＝π（3）假设存在某时刻使得BF＝BC，则BF＝BACBAEGDF图5(P)H又EF＝EA，则BE＝BE，∴△BEF≌△BEA∴∠BEF＝∠BEA，∴∠FEP＝∠AEP＝45°∴P与G重合过点A作AH⊥DG，交DG延长线于H，如图5则∠AGH＝45°，AH＝GH＝AG＝在Rt△ADH中，AH2＋DH2＝AD2∴()2＋(DG＋)2＝42解得DG＝－（舍去负值）即DP的长为－4\n4