2022年中考数学模拟试题汇编 函数与四边形综合

2022年中考数学模拟试题汇编函数与四边形综合1．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积为　▲2。yxOABCD2．如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA’B’C’的位置.若OB=，∠C=120°，则点B’的坐标为（▲）A.B.C.D.3．如图，直角梯形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（，0）、（2，0）和（2，3），AB∥CD，∠C＝90°，CD＝CB．（1）求点D的坐标；（2）抛物线y＝ax2＋bx＋c过原点O与点（7，1），且对称轴为过点（4，3）与y轴平行的直线，求抛物线的函数关系式；（3）在（2）中的抛物线上是否存在一点P，使得PA＋PB＋PC＋PD最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）D（－1，3）……………………（2分）（2）设抛物线解析式为y＝ax2＋bx＋c由题意得：，∴∴y＝－x2＋x．……………………………………………………………（5分）（3）显然AC、BD的交点Q满足QA＋QB＋QC＋QD最小，直线AC的解析式为y＝2x－1，……………………………………………（6分）直线BD的解析式为y＝－x＋2，……………………………………………（7分）∴Q（1，1）…………………………………………………………………（8分）当x＝1时，y＝－x2＋x＝1，∴点Q在此抛物线上，……………………………………………………（9分）11\n∴存在点P（1，1）使得PA＋PB＋PC＋PD最小．……………………（10分）4．如图，OB是矩形OABC的对角线，抛物线y＝－x＋x＋6经过B、C两点．(1)求点B的坐标；(2)D、E分别是OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，过D、E的直线交轴于F，试说明OE⊥DF；(3)若点M是(2)中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．yxABCDEOFMNP图2图1yxABCDEOFGMNPyxABCDEOF．解：（1）设x＝0，则y＝6，则点C的坐标为（0，6），……1分，又矩形OABC，则BC∥x轴，∵抛物线y＝－x＋x＋6过B、C两点，则B、C两点关于抛物线的对称轴x＝对称，……2分∴B点坐标为(3，6)……3分(2)如图1，作EG^x轴于点G，则EG//BA， ∴△OEG~△OBH，∴＝＝，又∵OE＝2EB，∴＝，∴＝＝，∴OG＝2，EG＝4，∴点E的坐标为(2，4)．……4分又∵点D的坐标为(0，5)，设直线DE的解析式为y＝kx+b，则，解得k＝－，b＝5．∴直线DE的解析式为：y＝－x+5，……5分设y＝0，则x＝10，则OF＝10，GF＝OF－OG＝8，∴＝＝＝，又∠OGE＝∠EGF＝90°，∴△OGE∽△EGF，∴∠EOG＝∠FEG∴∠FEO＝∠FEG＋∠OEG＝∠EOG＋∠OEG＝90°……7分其他证法酌情给分(3)答：存在．j如图1，当OD＝DM＝MN＝NO＝5时，四边形ODMN为菱形．作MP^y轴于点P，则MP//x轴，∴△MPD~△FOD，∴＝＝．又∵OF＝10．11\n在Rt△ODF中，FD＝＝＝5，∴＝＝，∴MP＝2，PD＝．∴点M的坐标为(-2，5+)．∴点N的坐标为(-2，)．k如图2，当OD＝DN＝NM＝MO＝5时，四边形ODNM为菱形．延长NM交x轴于点P，则MP^x轴．yxABCDEOFMNP图3∵点M在直线y＝－x+5上，∴设M点坐标为(a，－a+5)，在Rt△OPM中，OP2+PM2＝OM2，∴a2+(－a+5)2＝52，解得a1＝4，a2＝0(舍去)，∴点M的坐标为(4，3)，∴点N的坐标为(4，8)．l如图3，当OM＝MD＝DN＝NO时，四边形OMDN为菱形．连接NM，交OD于点P，则NM与OD互相垂直平分，∴yM＝yN＝OP＝，∴-xM+5＝，∴xM＝5，∴xN＝-xM＝-5，∴点N的坐标为(-5，)．综上所述，x轴上方的点N有三个，分别为N1(-2，)，N2(4，8)，N3(-5，)．……10分（每个1分）5．如图，四边形是平行四边形，抛物线过三点，与轴交于另一点.一动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿向点运动，运动到点停止，同时一动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点运动，与点同时停止.（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴与交于点，与轴交于点，当点运动时间为何值时，四边形是等腰梯形？（3）当为何值时，以为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似？解：（1）四边形是平行四边形，抛物线过点，11\n由题意，有解得所求抛物线的解析式为（2）将抛物线的解析式配方，得抛物线的对称轴为欲使四边形为等腰梯形，则有（3）欲使以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似，有或即或①若在轴的同侧.当时，=，当时，即解得②若在轴的异侧.当时，，当时，，即.解得.故舍去.当或或或秒时，以为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似.6已知抛物线（）与轴相交于点，顶点为.直线分别与轴，轴相交于两点，并且与直线相交于点.(1)填空：试用含的代数式分别表示点与的坐标，则；(2)如图，将沿轴翻折，若点的对应点′恰好落在抛物线上，′与11\n轴交于点，连结，求的值和四边形的面积；(3)在抛物线（）上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由.第（2）题xyBCODAMNN′xyBCOAMN备用图（1）（2）由题意得点与点′关于轴对称，，将′的坐标代入得，（不合题意，舍去），.，点到轴的距离为3.，，直线的解析式为，它与轴的交点为点到轴的距离为..（3）当点在轴的左侧时，若是平行四边形，则平行且等于，把向上平移个单位得到，坐标为，代入抛物线的解析式，11\n得：（不舍题意，舍去），，.当点在轴的右侧时，若是平行四边形，则与互相平分，．与关于原点对称，，将点坐标代入抛物线解析式得：，（不合题意，舍去），，．存在这样的点或，能使得以为顶点的四边形是平行四边形．7如图14（1），抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，）．［图14（2）、图14（3）为解答备用图］（1）　　　　　，点A的坐标为　　　　　　，点B的坐标为　　　　　；（2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；图14（1）　　　　　　图14（2）　　　　　　　　图14（3）（4）在抛物线上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．解：（1），（-1，0），B（3，0）．（2）如图14（1），抛物线的顶点为M（1，-4），连结OM．则△AOC的面积=，△MOC的面积=，△MOB的面积=6，∴四边形ABMC的面积=△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=9．说明：也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形ABMC的面11\n积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和．（3）如图14（2），设D（m，），连结OD．则0＜m＜3，＜0．且△AOC的面积=，△DOC的面积=，图14（2）△DOB的面积=-（），∴四边形ABDC的面积=△AOC的面积+△DOC的面积+△DOB的面积==．∴存在点D，使四边形ABDC的面积最大为．（4）有两种情况：图14（3）图14（4）如图14（3），过点B作BQ1⊥BC，交抛物线于点Q1、交y轴于点E，连接Q1C．∵∠CBO=45°，∴∠EBO=45°，BO=OE=3．∴点E的坐标为（0，3）．∴直线BE的解析式为．12分由解得∴点Q1的坐标为（-2，5）．13分如图14（4），过点C作CF⊥CB，交抛物线于点Q2、交x轴于点F，连接BQ2．∵∠CBO=45°，∴∠CFB=45°，OF=OC=3．∴点F的坐标为（-3，0）．∴直线CF的解析式为．14分由解得∴点Q2的坐标为（1，-4）．综上，在抛物线上存在点Q1（-2，5）、Q2（1，-4），使△BCQ1、△BCQ2是以BC为直角边的直角三角形．11\n8已知：如图所示，关于的抛物线与轴交于点、点，与轴交于点．（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点，使四边形为等腰梯形，写出点的坐标，并求出直线的解析式；BAOCyx（第26题图）（3）在（2）中的直线交抛物线的对称轴于点，抛物线上有一动点，轴上有一动点．是否存在以为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．BAOCyx第26题图Q4Q3Q1Q2P3P1P2DCP4解：（1）根据题意，得，解得抛物线的解析式为，顶点坐标是（2，4）（2），设直线的解析式为直线经过点点（3）存在．，，，图189.如图18，抛物线F：的顶点为P，抛物线：与y轴交于点A，与直线OP交于点B．过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′：，抛物线F′与x轴的另一个交点为C．⑴当a=1，b=－2，c=3时，求点C的坐标(直接写出答案)；⑵若a、b、c满足了①求b：b′的值；②探究四边形OABC的形状，并说明理由．1）C（3，0）；11\n（2）①抛物线，令=0，则=，∴A点坐标（0，c）．∵，∴，∴点P的坐标为（）．∵PD⊥轴于D，∴点D的坐标为（）．根据题意，得a=a′，c=c′，∴抛物线F′的解析式为．又∵抛物线F′经过点D（），∴．∴．又∵，∴．∴b:b′=．②由①得，抛物线F′为．令y=0，则．∴．∵点D的横坐标为∴点C的坐标为（）．设直线OP的解析式为．∵点P的坐标为（），∴，∴，∴．∵点B是抛物线F与直线OP的交点，∴．∴．∵点P的横坐标为，∴点B的横坐标为．把代入，得．∴点B的坐标为．∴BC∥OA，AB∥OC．（或BC∥OA，BC=OA），∴四边形OABC是平行四边形．11\n又∵∠AOC=90°，∴四边形OABC是矩形．10如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求直线AC的解析式及B．D两点的坐标；（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A．P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．解：（1）当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3。∵点A在点B的左侧，∴A．B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）。当x=0时，y=3。∴C点的坐标为（0，3）。设直线AC的解析式为y=k1x+b1（k1≠0），则，解得。∴直线AC的解析式为y=3x+3。∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4）。（2）抛物线上有三个这样的点Q。如图，①当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，3）；②当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为﹣3，代入抛物线可得点Q2坐标为（1+，﹣3）；③当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为﹣3，代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1﹣，﹣3）。综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：Q1（2，3），Q2（1+，﹣3），Q3（1﹣，﹣3）。11\n（3）点B作BB′⊥AC于点F，使B′F=BF，则B′为点B关于直线AC的对称点．连接B′D交直线AC与点M，则点M为所求。过点B′作B′E⊥x轴于点E。∵∠1和∠2都是∠3的余角，∴∠1=∠2。∴Rt△AOC∽Rt△AFB。∴。由A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，∴AC=，AB=4。∴，解得。∴BB′=2BF=，由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB，∴。∴。∴B′E=，BE=。∴OE=BE﹣OB=﹣3=．∴B′点的坐标为（﹣，）。设直线B′D的解析式为y=k2x+b2（k2≠0），则，解得。∴直线B'D的解析式为：。联立B'D与AC的直线解析式可得：，解得。∴M点的坐标为（）。11