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2022年中考数学模拟试题汇编 反比例函数(三)
2022年中考数学模拟试题汇编 反比例函数(三)
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2022年中考数学模拟试题汇编反比例函数(三)7.已知点P的坐标为(m,0),在x轴上存在点Q(不与P重合),以PQ为边,∠PQM=60°作菱形PQMN,使点M落在反比例函数y=-的图象上.(1)如图所示,若点P的坐标为(1,0),图中已经画出一个符合条件的菱形PQMN,若另一个菱形为PQ1M1N1,求点M1的坐标;(2)探究发现,当符合上述条件的菱形只有两个时,一个菱形的顶点M在第四象限,另一个菱形的顶点M1在第二象限.通过改变P点坐标,对直线MM1的解析式y=kx+b进行探究可得k=__________,若点P的坐标为(m,0),则b=__________(用含m的代数式表示);(3)继续探究:①若点P的坐标为(m,0),则m在什么范围时,符合上述条件的菱形分别有两个、三个、四个?xyO备用图②求出符合上述条件的菱形刚好有三个时,点M坐标的所有情况.xyPOQMNxyPOQMNQ1M1N1H解:(1)过M1作M1H⊥PQ1于H,设Q1(x,0),显然点Q1在x轴的负半轴上,点M1在第二象限∵P(1,0),∴M1Q1=PQ1=1-x∵∠PQM1=60°,∴Q1H=(1-x),M1H=(1-x)∴OH=-x-(1-x)=-(1+x)∴M1((1+x),(1-x))xyPOQ3M3N3(Q1)M1N1Q6M6N6∵点M1在反比例函数y=-的图象上∴(1+x)·(1-x)=-2,解得:x=3(舍去)或x=-3∴M1(-1,2)(2)k=-,b=m提示:连接PM1、PM,则∠M1PQ1=∠OPN=∠MPN=60°∴∠M1PM=180°,即M1、P、M三点共线且∠M1MN=60°5\n可得直线MM1的解析式为y=-x+b,∴k=-若点P的坐标为(m,0),则直线MM1的解析式为y=-x+m∴b=m(3)①若符合条件的菱形有三个,则其中必有一个菱形的一条边PN或对角线PM所在直线与双曲线只有一个交点由∠QPM=60°或∠PNM=60°,P(m,0),得直线PM或直线PN的解析式为y=x-mxyPOQ5M5N5(Q4)N2Q2M2M4N4令y=x-m=-,得x2-mx+2=0△=m2-8=0,得m=±2∴当-2<m<2时,△<0,满足条件的菱形有两个当m=±2时,△=0,满足条件的菱形有三个当m>2或m<-2时,△>0,满足条件的菱形有四个②由①知,当符合条件的菱形刚好有三个时,m=±2当m=2时,点P的坐标为(2,0)把m=2代入x2-mx+2=0,得x2-2x+2=0解得x=,∴M1(,-)设Q(x,0),由(1)知,(2+x)·(2-x)=-2解得:x=4或x=-4∴M2(2-,-2-),M3(-2+,2+)当m=-2时,由对称性可得:M4(-,),M5(-2-,2-),M6(2+,-2+)8.如图,在平面直角坐标系中,△AOB的顶点O是坐标原点,点A坐标为(1,3),A、B两点关于直线y=x对称,反比例函数y=(x>0)图象经过点A,点P是直线y=x上一动点.(1)填空:B点的坐标为(______,______);(2)若点C是反比例函数图象上一点,是否存在这样的点C,使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点C坐标;若不存在,请说明理由;(3)若点Q是线段OP上一点(Q不与O、P重合),当四边形AOBP为菱形时,过点Q分别作直线OA和直线AP的垂线,垂足分别为E、F,当QE+QF+QB的值最小时,求出Q点坐标.BxOyABxOyA备用图BxOyAPC图1解:(1)(3,1)(2)∵反比例函数y=(x>0)图象经过点A(1,3)∴k=1×3=35\n∴反比例函数的解析式为y=∵点P在直线y=x上,∴设P(m,m)①若PC为平行四边形的边∵点A的横坐标比点B的横坐标小2,点A的纵坐标比点B的纵坐标大2∴若点C在点P下方,则点C的坐标为(m+2,m-2),如图1若点C在点P上方,则点C的坐标为(m-2,m+2),如图2BxOyAPC图2把C(m+2,m-2)代入反比例函数的解析式,得:m-2=,解得m=±∵m>0,∴m=∴C1(+2,-2)同理可得另一点C2(-2,+2)②若PC为平行四边形的对角线,如图3∵A、B关于直线y=x对称,∴OP⊥AB此时点C在直线y=x上,且为直线y=x与双曲线y=的交点BxOyAPC图3由解得(舍去)∴C3(,)综上所述,满足条件的点C有三个,坐标分别为:C1(+2,-2),C2(-2,+2),C3(,)(3)连接AQ,设AB与OP的交点为D,如图4∵四边形AOBP是菱形,∴AO=AP∵S△AOP=S△AOQ+S△APQBxOyAP图4QDEF∴OP·AD=AO·QE+AP·QF∴QE+QF=为定值∴要使QE+QF+QB的值最小,只需QB的值当QB⊥OP时,QB最小,所以D点即为所求的点∵A(1,3),B(3,1),∴D(2,2)∴当QE+QF+QB的值最小时,Q点坐标为(2,2)9.已知点P(m,n)是反比例函数y=(x>0)图象上的动点,PA∥x轴,PB∥y轴,分别交反比例函数y=(x>0)的图象于点A、B,点C是直线y=2x上的一点.(1)请用含m的代数式分别表示P、A、B三点的坐标;(2)在点P运动过程中,连接AB,△PAB的面积是否变化,若不变,请求出△PAB5\n的面积;若改变,请说明理由;BxOyAPCy=y=y=2x(3)在点P运动过程中,以点P、A、B、C为顶点的四边形能否为平行四边形,若能,请求出点P的坐标;若不能,请说明理由.ABPOxQy图1解:(1)P(m,),A(,),B(m,)(2)∵PA=m-=,PB=-=∴S△PAB=PA·PB=××=∴△PAB的面积不变(3)①若AP是平行四边形的边,如图1、图2则AP∥BQ且AP=BQ得Q(,)或Q(,)∵点Q在直线y=2x上ABPOxQy图3ABPOxQy图2∴=2×或=2×解得m=或m=1(舍去负值)∴P(,2)或P(1,6)②若AP是平行四边形的对角线,如图3则QA∥PB且QA=PB得Q(,+)∵点Q在直线y=2x上∴+=2×,解得m=3(舍去负值)∴P(3,2)∴D(2,-6)或D(-3,4)易知M为BD的中点由B(1,0),D(2,-6),得M(,-3)由B(1,0),D(-3,4),得M(-1,2)5\nCByxy=2x-2ADEMOCByxy=2x-2ADEMO∴点M的坐标为(,-3)或(-1,2)CByxy=2x-2APPOH(3)假设存在点P,使以PB为直径的圆恰好过点C则∠PCB=90°设P(x,-),过P作PH⊥y轴于H,易证△CHP∽△BOC得=(或=)解得x1=-2+2,x2=-2-2∴P1(-2+2,-1-),P2(-2-2,-1+)5
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中考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 21:25:06
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文章作者:U-336598
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