2022年中考数学模拟试题汇编 动态综合题

2022年中考数学模拟试题汇编动态综合题一、选择题1、如图，A，B，C，D为圆O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O—C—D—O路线作匀速运动，设运动时间为x(秒)，∠APB＝y(度)，右图函数图象表示y与x之间函数关系，则点M的横坐标应为（）A．2B．C．D．＋2DBCOA901Mxyo45O（第8题）P答案：C二、填空题1、如图，动点P在坐标系中按图中所示箭头方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，…，按这样的运动规律，经过第2022次运动后，动点P的坐标是．（第1题）答案：（2022，2）第17题2、（盐城市第一初级中学2022～2022学年期中考试）如图，已知在直角坐标系中，半径为2的圆的圆心坐标为（3，-3），当该圆向上平移▲个单位时，它与x轴相切．答案1或5MADNECB图4M3.如图4，正方形ABCD的边长为2，AE＝EB，MN＝1，线段MN的两端在CB、CD上滑动，当CM＝时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似。答案CM＝或CM＝；4、(2022石家庄市42中二模)如图,矩形ABCD的边AB在y轴上，AB的中点与原点重合，AB=2,AD=1，过定点Q（2，0）和动点P（0，a）的直线与矩形ABCD的边有公共点，37\n则a的取值范围是____________．答案：-2≤a≤2XyoEABCDF5、（2022年浙江省金华市一模）如图，直角梯形OABC的直角顶点是坐标原点，边OA,OC分别在X轴，y轴的正半轴上。OA∥BC，D是BC上一点，，AB=3,∠OAB=45°，E,F分别是线段OA,AB上的两个动点，且始终保持∠DEF=45°，设OE=x，AF=y,则y与x的函数关系式为，如果△AEF是等腰三角形时。将△AEF沿EF对折得△A′EF与五边形OEFBC重叠部分的面积。答案：，，。三、解答题1．（11分）已知抛物线的顶点为（1，0），且经过点（0，1）．（1）求该抛物线对应的函数的解析式；（2）将该抛物线向下平移个单位，设得到的抛物线的顶点为A，与轴的两个交点为B、C，若△ABC为等边三角形．①求的值；②设点A关于轴的对称点为点D，在抛物线上是否存在点P，使四边形CBDP为菱形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．37\n答案：．解：（1）由题意可得，解得∴抛物线对应的函数的解析式为．………………………………3分（2）①将向下平移个单位得：-=，可知A(1，-)，B(1-，0)，C(1+，0)，BC=2．……………………………6分由△ABC为等边三角形，得，由＞0，解得=3．…………7分②不存在这样的点P．……………………………………………………………8分∵点D与点A关于轴对称，∴D（1，3）．由①得BC=2．要使四边形CBDP为菱形，需DP∥BC，DP=BC．由题意，知点P的横坐标为1+2，当=1+2时-m==，故不存在这样的点P．……………………………………………………………………11分2如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q.（1）求证：△POD≌△QOB；（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）.设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．【答案】（1）证明：四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠PDO=∠QBO，又OB=OD，∠POD=∠QOB，∴△POD≌△QOB（2）解法一：PD=8-t∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，37\n∵AD=8cm，AB=6cm，∴BD=10cm，∴OD=5cm.当四边形PBQD是菱形时，PQ⊥BD，∴∠POD=∠A，又∠ODP=∠ADB，∴△ODP∽△ADB，∴，即，解得,即运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形.解法二：PD=8-t当四边形PBQD是菱形时，PB=PD=(8-t)cm，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，在RT△ABP中，AB=6cm，∴，∴，解得,即运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形.3开口向下的抛物线与轴的交点为A、B（A在B的左边），与轴交于点C。连结AC、BC。(1)若△ABC是直角三角形（图1）。求二次函数的解析式；(2)在（1）的条件下，将抛物线沿轴的负半轴向下平移（＞0）个单位，使平移后的抛物线与坐标轴只有两个交点。求的值。(3)当点C坐标为（0，4）时（图2），P、Q两点同时从C点出发，点P沿折线C→O→B运动到点B,点Q沿抛物线（在第一象限的部分）运动到点B，若P、Q两点的运动速度相同，请问谁先到达点B？请说明理由.（参考数据：）（图1）OCBAOCBA（图2）答案：37\n抛物线与轴的交点为A（-1，0）、B（4，0）（1）若△ABC是直角三角形,只有∠ACB=900。由题易得△ACO∽△COB∴∴∴∵抛物线开口向下∴C(0,2)把C（0，2）代入得（2）由可得抛物线的顶点为（，）,点C(0,2)当点C向下平移到原点时，平移后的抛物线与坐标轴只有两个交点∴当顶点向下平移到轴时，平移后的抛物线与坐标轴只有两个交点∴（3）当点C为（0，4）时，抛物线的解析式为OCBA（图2）D抛物线的顶点为D（，）连结DC、DB∵D（，）B（4，0）C（0，4）∴CD=DB=∴CD+DB=2.7+6.75=9.45∵CO+OB=4+4=8∴DB+DC>CO+OB由函数图像可知第一象限内的抛物线的长度比CD+DB还要长所以第一象限内的抛物线的长度要大于折线C→O→B的长度所以点P先到达点B37\n4、如图9所示，是边长为的等边三角形，其中是坐标原点，顶点在轴的正方向上，将折叠，使点落在边上，记为，折痕为。OAB′FBEx（图9）y(1)设的长为,的周长为，求关于的函数关系式．(2)当//y轴时，求点和点的坐标．(3)当在上运动但不与、重合时，能否使成为直角三角形？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由．(1)解：∵和B关于EF对称，∴E=BE，∴===.(2)解：当//y轴时，∠=90°。∵△OAB为等边三角形，∴∠EO=60°，O=EO。设，则OE=。在Rt△OE中，tan∠EO=，∴E=Otan∠EO=∵E+OE=BE+OE=2+，∴，∴(1，0)，E(1，)。(3)答：不能。理由如下：∵∠EF=∠B=60°，∴要使△EF成为直角三角形，则90°角只能是∠EF或∠FE。假设∠EF=90°，37\n∵△FE与△FBE关于FE对称，∴∠BEF=∠EF=90°，∴∠BE=180°，则、E、B三点在同一直线上，与O重合。这与题设矛盾。∴∠EF≠90°。即△EF不能为直角三角形。同理，∠FE=90°也不成立。∴△EF不能成为直角三角形。5、(2022年北京市延庆县一诊考试)在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y1=ax2+3x+c的图像经过原点及点A（1,2），与x轴相交于另一点B。（1）求：二次函数y1的解析式及B点坐标；（2）若将抛物线y1以x=3为对称轴向右翻折后，得到一个新的二次函数y2,已知二次函数y2与x轴交于两点，其中右边的交点为C点.点P在线段OC上，从O点出发向C点运动，过P点作x轴的垂线，交直线AO于D点，以PD为边在PD的右侧作正方形PDEF（当P点运动时，点D、点E、点F也随之运动）；①当点E在二次函数y1的图像上时，求OP的长。②若点P从O点出发向C点做匀速运动，速度为每秒1个单位长度，同时线段OC上另一个点Q从C点出发向O点做匀速运动，速度为每秒2个单位长度（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）。过Q点作x轴的垂线，与直线AC交于G点，以QG为边在QG的左侧作正方形QGMN（当Q点运动时，点G、点M、点N也随之运动），若P点运动t秒时，两个正方形分别有一条边恰好落在同一条直线上（正方形在x轴上的边除外），求此刻t的值。37\n解：（1）二次函数y1=-x2+3xB(3，0)（2）由已知可得C(6,0)如图：过A点作AH⊥x轴于H点，可得：△OPD∽△OHA∴∴PD=2a∵正方形PDEF∴E（3a，2a）∵E（3a，2a）在二次函数y1=-x2+3x的图像上∴具体分析：如图1：当点F、点N重合时，有OF+CN=6，则有如图2：当点F、点Q重合时，有OF+CQ=6，则有如图3：当点P、点N重合时，有OP+CN=6，则有如图4：当点P、点Q重合时，有OP+CQ=6，则有37\n6、（2022年山东泰安模拟）如图，已知抛物线C1：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点A的横坐标是．（1）求点坐标及的值；（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向左平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点A成中心对称时，求C3的解析式；（3）如图（2），点Q是x轴负半轴上一动点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、E为顶点的三角形是直角三角形时，求顶点N的坐标．1、解：（1）由抛物线C1：得顶点P的坐标（2，5）∵点A（－1，0）在抛物线C1上∴.（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G..∵点P、M关于点A成中心对称,37\n∴PM过点A，且PA＝MA..∴△PAH≌△MAG..∴MG＝PH＝5，AG＝AH＝3.RGC1C4PNFEHABQyx∴顶点M的坐标为（，5）∵抛物线C2与C1关于x轴对称，抛物线C3由C2平移得到∴抛物线C3的表达式.（3）∵抛物线C4由C1绕x轴上的点Q旋转180°得到∴顶点N、P关于点Q成中心对称.由（2）得点N的纵坐标为5.设点N坐标为（m，5），作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，作PR⊥NG于R.∵旋转中心Q在x轴上,∴EF＝AB＝2AH＝6.∴EG＝3，点E坐标为（，0），H坐标为（2，0），R坐标为（m，－5）.根据勾股定理，得①当∠PNE＝90º时，PN2+NE2＝PE2，解得m＝，∴N点坐标为（，5）②当∠PEN＝90º时，PE2+NE2＝PN2，解得m＝，∴N点坐标为（，5）.③∵PN＞NR＝10＞NE，∴∠NPE≠90º综上所得，当N点坐标为（，5）或（，5）时，以点P、N、E为顶点的三角形是直角三角形．7、[河南开封2022年中招第一次模拟]（9分）刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，在Rt△ABC中∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；Rt△FDE中∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm。如图是刘卫同学所做的一个实验，他将Rt△FDE的直角边DE与Rt△ABC的斜边AC重合在一起，并将△FDE沿AC的方向移动，在移动过程中，D、E两点始终在AC边上（移动开始时点D与点E重合）。（1）在△FDE沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐；（填“不变”、“变大”或“变小”）37\n（2）刘卫同学经过进一步的研究，编制了如下问题:问题①：当△FDE移动到什么位置时，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行？问题②：当△FDE移动到什么位置时，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形能构成直角三角形？（请完成解答过程。）答案：8（2022年福建福州质量检查）(满分13分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，DE＝4cm．动线段DE(端点D从点B开始)沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当端点E到达点C时运动停止．过点E作EF∥AC交AB于点F(当点E与点C重合时，EF与CA重合)，连接DF，设运动的时间为t秒(t≥0)．37\nABCDEF第21题图(1)直接写出用含t的代数式表示线段BE、EF的长；(2)在这个运动过程中，△DEF能否为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；(3)设M、N分别是DF、EF的中点，求整个运动过程中，MN所扫过的面积．答案：解：(1)BE＝(t＋4)cm，1分EF＝(t＋4)cm．4分AB(D)CEF(2)分三种情况讨论：ABCDEFABCDEFABCDEMPFNABCQLKPRTS①当DF＝EF时，有∠EDF＝∠DEF＝∠B，37\n∴点B与点D重合，∴t＝0．…5分②当DE＝EF时，∴4＝(t＋4)，解得：t＝．7分③当DE＝DF时，有∠DFE＝∠DEF＝∠B＝∠C，∴△DEF∽△ABC．∴＝，即＝，解得：t＝．9分综上所述，当t＝0、或秒时，△DEF为等腰三角形．(3)设P是AC的中点，连接BP，∵EF∥AC，∴△FBE∽△ABC．∴＝，∴＝．又∠BEN＝∠C，∴△NBE∽△PBC，∴∠NBE＝∠PBC．10分∴点N沿直线BP运动，MN也随之平移．如图，设MN从ST位置运动到PQ位置，则四边形PQST是平行四边形．11分∵M、N分别是DF、EF的中点，∴MN∥DE，且ST＝MN＝DE＝2．分别过点T、P作TK⊥BC，垂足为K，PL⊥BC，垂足为L，延长ST交PL于点R，则四边形TKLR是矩形，当t＝0时，EF＝(0＋4)＝，TK＝EF·sin∠DEF＝××＝；当t＝12时，EF＝AC＝10，PL＝AC·sinC＝×10×＝3．∴PR＝PL－RL＝PL－TK＝3－＝．37\n∴S□PQST＝ST·PR＝2×＝．∴整个运动过程中，MN所扫过的面积为cm2．13分9、（2022年浙江丽水一模）平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为(0，3)、(-1，0)，将此平行四边形绕点0顺时针旋转90°，得到平行四边形。(1)若抛物线过点C，A，，求此抛物线的解析式；(2)求平行四边形ABOC和平行四边形重叠部分△的周长；(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，间：点M在何处时△的面积最大?最大面积是多少?并求出此时点M的坐标。第1题图答案：解：(1)∵平行四边形由旋转得到，且点A的坐标为(0，3)，点的坐标为(3，0)。所以抛物线过点C(-1，0)，A(0，3)，(3，0)设抛物线的解析式为，可得解得∴过点C，A，的抛物线的解析式为。(2)因为AB∥CO，所以∠OAB=∠AOC=90°。∴,又.,∴又,∴,又△ABO的周长为。∴的周长为。（3）连接OM，设M点的坐标为，∵点M在抛物线上，∴。37\n∴==因为，所以当时，。△AMA’的面积有最大值所以当点M的坐标为()时，△AMA’的面积有最大值，且最大值为。第1题答案图10（2022年浙江金华一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知OA:OB=1:5，OB=OC，△ABC的面积，抛物线经过A、B、C三点．(1)求此抛物线的函数表达式；（2）点P(2，－3)是抛物线对称轴上的一点，在线段OC上有一动点M，以每秒2个单位的速度从O向C运动，（不与点O,C重合），过点M作MH∥BC，交X轴于点H，设点M的运动时间为t秒，试把⊿PMH的面积S表示成t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；(3)设点E是抛物线上异于点A，B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F.以EF为直径画⊙Q，则在点E的运动过程中，是否存在与x轴相切的⊙Q？若存在，求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由。37\n答案：（1）(4分)（2）.由题意可求得直线BC:y=x－5∵M(0,－2t)直线MH平行于直线BC∴直线MH为y=x－2t设直线MH与对称轴交与点D，点D的坐标为（2,2－2t）∴DP=5－2t∴S△pmh=×2t(5－2t)=—2t2+5t(0＜t＜当t=时，S有最大值是（8分）（3）当点E在x轴下方且对称轴右侧时坐标为（，）当点E在x轴下方且对称轴左侧时坐标为（，）当点E在x轴上方且对称轴右侧时坐标为（，）当点E在x轴上方且对称轴左侧时坐标为（，）（12分）11、（2022年浙江金华五模）如图，在平面直角坐标系中，BC在X轴上，B(﹣1,0)、A(0,2),，AC⊥AB.（1）求线段OC的长.（2）点P从B点出发以每秒4个单位的速度沿x轴正半轴运动，点Q从A点出发沿线段AC以个单位每秒速度向点C运动，当一点停止运动，另一点也随之停止，设△CPQ的面积为S，两点同时运动，运动的时间为t秒，求S与t之间关系式，并写出自变量取值范围．（3）Q点沿射线AC按原速度运动，⊙G过A、B、Q三点，是否有这样的t值使点P在⊙G37\n上、如果有求t值，如果没有说明理由。答案：（1）利用即可求得OC=4.（2）ⅰ当P在BC上，Q在线段AC上时，（）过点Q作QDBC，如图所示，则,且，，由可得，所以即（）ⅱ当P在BC延长线上，Q在线段AC上时（），过点Q作QDBC，如图所示，则,且，，由可得，所以即（）ⅲ当或时C、P、Q都在同一直线上。（3）若点P在圆G上，因为AC⊥AB,所以BQ是直径，所以，即，则,得解得，（不合题意，舍去）所以当t=时，点P在圆G上.37\n（也可以在（2）的基础上分类讨论，利用相似求得）12、（2022山东省德州二模）如图，在等腰梯形ABCD中，AB‖CD,已知,，，以所在直线为轴，为坐标原点，建立直角坐标系，将等腰梯形ABCD绕A点按顺时针方向旋转得到等腰梯形OEFG（O、E、F、G分别是A、B、C、D旋转后的对应点）（如图）.⑴在直线DC上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，写出出点的坐标，若不存在，请说明理由.第28题图⑵将等腰梯形ABCD沿轴的正半轴平行移动，设移动后的（0<x≤6），等腰梯形ABCD与等腰梯形OEFG重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式.并求出重叠部分的面积的最大值。答案：1）P（-2，2），P（0，2）………………………………………………2分2）①当0＜x≤2时，y=x2；…………………………………………4分当2≤x≤4时；y=－x+2x-2………………………………………………6分当4≤x≤6时；y=－x+4x-6………………………………………………8分②当0＜x≤2时，y=x当x＝2时，y最大＝1，　　…………………9分当2≤x≤4时；y=－x+2x-2＝－（x－4）+2　　当x＝4时，y最大＝2　…………………………10分当4≤x≤6时；y=－x+4x-6＝－（x－4）2+2　　当x＝4时，y最大＝2　………………11分综上可知：当x＝4时，重叠部分的面积y最大＝2　　……………………12分37\n13、（2022荆门东宝区模拟）如图，将—矩形OABC放在直角坐际系中，O为坐标原点．点A在x轴正半轴上．点E是边AB上的—个动点(不与点A、B重合)，过点E的反比例函数的图象与边BC交于点F.（1）若△OAE、△OCF的而积分别为．且，求k的值.（2）若OA=2，0C=4，问当点E运动到什么位置时，四边形OAEF的面积最大，其最大值为多少?（第1题）答案：解：（1），。（2）当点E运动到AB的中点时，四边形OAEF的面积最大，最大值是5.14（2022昆山一模）如图(1)，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，点M在边AB上，且AM＝6．　(1)动点D在边AC上运动，且与点A、C均不重合，设CD＝x．　①设△ABC与△ADM的面积之比为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．　②当x取何值时，△ADM是等腰三角形？写出你的理由；　(2)如图(2)，以图(1)中的BC、CA为一组邻边的矩形ACBE中，动点D在矩形边上运动一周，能使△ADM是以∠AMD为顶角的等腰三角形共有几个？（直接写出结果，不必说明理由）37\n(第2题)答案：15、（2022年，瑞安市模考）如图，直线l1与坐标轴分别交于点A、B,经过原点的直线l2与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点，已知点C（3,）,且OA=8.在直线AB上取点P，过点P作y轴的平行线，与CD交于点Q,以PQ为边向右作正方形PQEF.设点P的横坐标为t.（1）求直线l1的解析式；（2）当点P在线段AC上时，试探求正方形PQEF与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积的最大值；xyOPABCQDEFl1l2（3）设点M坐标为,在点P的运动过程中，当点M在正方形PQEF内部时,请直接写出的取值范围.答案：（1）；…4分37\n（2）点P在线段AC上时，根据题意有：,，∴，当EF在AD上时,，有，当时，，当时，,当时，,当时，；所以，S的最大值为；…8分（3）的取值范围是或。参考解答：当t＜3时，有，解得，当t＞3时，有，解得，点M能在正方形PQEF内部，此时的取值范围是或.2分16、第1题图（2022兴仁中学一模）（12分）如图，抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．【答案】（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=x2+bx-2上，∴×(-1)2+b×(-1)–2=0，解得b=∴抛物线的解析式为y=x2-x-2.y=x2-x-2=(x2-3x-4)=(x-)2-,∴顶点D的坐标为(,-).（2）当x=0时y=-2,∴C（0，-2），OC=2。37\n当y=0时，x2-x-2=0，∴x1=-1,x2=4,∴B(4,0)∴OA=1,OB=4,AB=5.∵AB2=25,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,∴AC2+BC2=AB2.∴△ABC是直角三角形.（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小。解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E.∵ED∥y轴,∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM∴△C′OM∽△DEM.∴∴，∴m=．解法二：设直线C′D的解析式为y=kx+n,则，解得n=2,.∴.∴当y=0时，，.∴.17、(2022温州市泰顺九校模拟)(本题l4分)如图①，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在轴的正半轴上，点C在轴的正半轴上，OA=5，OC=4.（1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D、E两点的坐标；（2）如图②，若AE上有一动点P（不与A、E重合）自A点沿AE方向向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为秒，过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE的平行线交DE于点N.求四边形PMNE的面积S与时间之间的函数关系式；当取何值时，S有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的条件下，当为何值时，以A、M、E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应时刻点M的坐标.图①EODCBA图②OAEDCBPMN·37\n解：（1）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，∴在中，∴∴∴点坐标为………………………………………………………（1分）在中，又∵∴解得：∴点坐标为………………………………………………………（2分）（2）如图①∵∥∴∴又知∴又∵而显然四边形为矩形∴…………………（3分）∴又∵∴当时，有最大值（面积单位）…………………（1分）（3）（i）若（如图①）在中，，∴为的中点又∵∥，∴为的中点∴∴∴又∵与是关于对称的两点∴，∴当时（），为等腰三角形此时点坐标为………………………………………………（3分）（ii）若（如图②）37\n在中，∵∥，∴，∴∴∴同理可知：，∴当时（），此时点坐标为……………………（3分）综合（i）、（ii）可知：或时，以A、M、E为顶点的三角形为等腰三角形，相应M点的坐标为或………………………………………（1分）18(2022年春期福集镇青龙中学中考模拟)（本小题满分12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90o，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0<t<5)．（1）求证：△ACD∽△BAC；（2）求DC的长；（3）设四边形AFEC的面积为y，求y关于t的函数关系式，并求出y的最小值．第3题解：（1）∵CD∥AB,∴∠BAC=∠DCA……………………1分又AC⊥BC,∠ACB=90o∴∠D=∠ACB=90o……………………2分∴△ACD∽△BAC……………………3分（2）……………………4分∵△ACD∽△BAC∴……………………5分即解得：……………………6分（3）过点E作AB的垂线，垂足为G，37\n∴△ACB∽△EGB……………………7分∴即故…………………8分=　　……………………10分=故当t=时，y的最小值为19………………12分1、（2022年上海市浦东新区中考预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点A（-1,0）；直线l：与x轴交于点B，与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点M；抛物线的顶点为D.（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标.（2）过点A作AP⊥l于点P，P为垂足，求点P的坐标.（3）若N为直线l上一动点，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点E.问：是否存在这样的点N，使得以点D、M、N、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的横坐标；若不存在，请说明理由.答案：解：（1）将点（-1,0）代入，得，∴c=3.…………………………（1分）∴抛物线解析式为：.………………（1分）化为顶点式为…………………………（1分）∴顶点D的坐标为（1,4）.…………………………（1分）（2）设点P的坐标为（x，y）.∵OB=4，OC=3，∴BC=5.又∵⊿ABP∽⊿OBC，∴.…………………………（1分）故有，∴.………………（1分）代入，得，解得.…………………………………（1分）所以点P坐标为（，）…………………………………（1分）37\n（3）将x=1代入，得，故点M的坐标为（1，）.…………（1分）得.故只要即可.……………………（1分）由，得，解之得（不合题意，舍去）；……………………（1分）由，得，解之得.……………………（1分）综上所述，满足题意的点N的横坐标为.19、（2022年上海市浦东新区中考预测）已知：正方形ABCD的边长为1，射线AE与射线BC交于点E，射线AF与射线CD交于点F，∠EAF=45°.（1）如图1，当点E在线段BC上时，试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系？并证明你的猜想.（2）设BE=x，DF=y，当点E在线段BC上运动时（不包括点B、C），如图1，求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围.（3）当点E在射线BC上运动时（不含端点B），点F在射线CD上运动.试判断以E为圆心以BE为半径的⊙E和以F为圆心以FD为半径的⊙F之间的位置关系.（4）当点E在BC延长线上时，设AE与CD交于点G，如图2.问⊿EGF与⊿EFA能否相似，若能相似，求出BE的值，若不可能相似，请说明理由.25.（1）猜想：EF=BE+DF.……………………（1分）证明：将⊿ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°，得⊿ABF′，易知点F′、B、E在一直线上.图1.………（1分）∵AF′=AF，∠F′AE=∠1+∠3=∠2+∠3=90°-45°=45°=∠EAF，37\n又AE=AE，∴⊿AF′E≌⊿AFE.∴EF=F′E=BE+DF.……………………（1分）（2）由（1）得EF=x+y又CF=1-y，EC=1-x，∴.…………（1分）化简可得.………（1+1分）（3）①当点E在点B、C之间时，由（1）知EF=BE+DF，故此时⊙E与⊙F外切；……………………（1分）②当点E在点C时，DF=0，⊙F不存在.③当点E在BC延长线上时，将⊿ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°，得⊿ABF′，图2.有AF′=AF，∠1=∠2，，∴∠F′AF=90°.∴∠F′AE=∠EAF=45°.又AE=AE，∴⊿AF′E≌⊿AFE.……………（1分）∴.…（1分）∴此时⊙E与⊙F内切.……………（1分）综上所述，当点E在线段BC上时，⊙E与⊙F外切；当点E在BC延长线上时，⊙E与⊙F内切.（4）⊿EGF与⊿EFA能够相似，只要当∠EFG=∠EAF=45°即可.这时有CF=CE.…………………（1分）设BE=x，DF=y，由（3）有EF=x-y.由，得.化简可得.……………………（1分）又由EC=FC，得，即，化简得，解之得……………………（1分）（不符题意，舍去）.……………………（1分）∴所求BE的长为.20、（徐州市2022年初中毕业、升学模拟考试）（10分）已知二次函数y=x2＋bx＋c与x轴交于A（－1，0）、B（1，0）两点.（1）求这个二次函数的关系式；（2）若有一半径为r的⊙P，且圆心P在抛物线上运动，当⊙P与两坐标轴都相切时，求半径r的值.（3）半径为1的⊙P在抛物线上，当点P的纵坐标在什么范围内取值时，⊙P与y轴相离、相交？37\n解：（1）由题意，得解得-----2分∴二次函数的关系式是y=x2－1．-----4分（2）设点P坐标为（x，y），则当⊙P与两坐标轴都相切时，有y=±x．由y=x，得x2－1=x，即x2－x－1=0，解得x=．由y=－x，得x2－1=－x，即x2＋x－1=0，解得x=．∴⊙P的半径为r=|x|=．---7分（3）设点P坐标为（x，y），∵⊙P的半径为1，∴当y＝0时，x2－1=0，即x＝±1，即⊙P与y轴相切，又当x＝0时，y＝－1，∴当y＞0时，⊙P与y相离；当－1≤y＜0时，⊙P与y相交.---------10分21.（盐城地区2022～2022学年度适应性训练）（本题满分12分）如图a，在平面直角坐标系中，A(0，6)，B(4，0).（1）按要求画图：在图a中，以原点O为位似中心，按比例尺1:2，将△AOB缩小，得到△DOC，使△AOB与△DOC在原点O的两侧；并写出点A的对应点D的坐标为▲,点B的对应点C的坐标为▲；（2）已知某抛物线经过B、C、D三点，求该抛物线的函数关系式,并画出大致图象；（3）连接DB，若点P在CB上，从点C向点B以每秒1个单位运动，点Q在BD上，从点B向点D以每秒1个单位运动，若P、Q两点同时分别从点C、点B点出发，经过t秒，当t为何值时，△BPQ是等腰三角形？解(1)画图1分;C(-2,0),D(0,-3).……3分(2)∵C(-2,0),B(4,0).设抛物线y=a(x+2)(x-4),将D(0,-3)代入,得a=3/8.……5分∴y=3/8(x+2)(x-4),即y=3/8x2-3/4x-3.……6分大致图象如图所示.……7分37\n(3)设经过ts,△BPQ为等腰三角形，此时CP=t,BQ=t,∴BP=6-t.∵OD=3,OB=4,∴BD=5.①若PQ=PB,过P作PH⊥BD于H,则BH=1/2BQ=1/2t,由△BHP∽△BOD,得BH:BO=BP:BD,∴t=48/13s.……9分②若QP=QB,过Q作QG⊥BC于G,BG=1/2(6-t).由△BGQ∽△BOD,得BG:BO=BQ:BD,∴t=30/13s.……10分③若BP=BQ,则6-t=t,t=3s.……11分∴当t=48/13s或30/13s或3s时,△BPQ为等腰三角形.……12分22、(2022年南京建邺区一模)（本题10分）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，M为BC的中点．⊙A的半径为3，动点O从点B出发沿BC方向以每秒1个单位的速度向点C运动，设运动时间为t秒．（1）当以OB为半径的⊙O与⊙A相切时，求t的值；（2）探究：在线段BC上是否存在点O，使得⊙O与直线AM相切，且与⊙A相外切．若存在，求出此时t的值及相应的⊙O的半径；若不存在，请说明理由．（第27题图）解：(1)在中，∵AB=AC，M为BC中点∴AM⊥BC在Rt⊿ABM中，AB=10,BM=8∴AM=6．1分当⊙O与⊙A相外切可得解得3分当⊙O与⊙A相内切可得解得5分∴当或时，⊙O与⊙A相切.(2)存在当点O在BM上运动时()可得解得8分此时半径当点O在MC上运动时()37\n可得解得10分此时半径当或时，，⊙O与直线AM相切并且与⊙A相外切.23、(2022年金山区二模)（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）如图，中，，，过点作∥，点、分别是射线、线段上的动点，且，过点作∥交线段于点，联接，设面积为，．（1）用的代数式表示；（2）求与的函数关系式，并写出定义域；BPDQCAOE（3）联接，若与相似，求的长．解：（1）∵AD∥BC，PE∥AC∴四边形APEC是平行四边形……………………1分∴AC=PE=6，AP=EC=…………………………1分,………………………1分可得………………………………………1分（2）∵AB=BC=5，∴∠BAC=∠BCA又∠APE=∠BCA，∠AOP=∠BCA，∴∠APE=∠AOP，∴AP=AO=∴当时，；…………………………………………………………1分作BF⊥AC，QH⊥PE，垂足分别为点F、H，则易得AF=CF=3，AB=5，BF=437\n由∠OHQ=∠AFB=90°，∠QOH=∠BAF得△OHQ∽△AFB∴，∴，∴…………………2分…………………………………………………………………………1分所以与的函数关系式是…………………………………………………………1分BPDQCAOEFH（3）解法一：当时由AP=BQ=x，AQ=BE=5-x，∠PAQ=∠QBE可得△PAQ≌△QBE，于是PQ=QE…………………………1分由于∠QPO=∠EPQ，所以若△PQE与△POQ相似，只有△PQE∽△POQ可得OP=OQ……………………………………………………1分于是得，解得…………………………2分同理当，可得（不合题意，舍去）…………………………1分所以，若△PQE与△POQ相似，AP的长为。解法二：当时，可得，于是得,……………………………………………………………………1分由于∠QPO=∠EPQ，所以若△PQE与△POQ相似，只有△PQE∽△POQ………………………………………………………………………………1分37\n解得，（不合题意，舍去）…………………………………………2分所以，若△PQE与△POQ相似，AP的长为。……………………………………1分24、(2022年普陀区二模)（本题满分14分）已知，，是的平分线，点P在上，．将三角板的直角顶点放置在点P处，绕着点P旋转，三角板的一条直角边与射线CB交于点E，另一条直角边与直线CA、直线CB分别交于点F、点G．（1）如图9，当点F在射线CA上时，①求证：PF=PE．②设CF=x，EG=y，求y与x的函数解析式并写出函数的定义域．（2）联结EF，当△CEF与△EGP相似时，求EG的长．图9备用图解：（1）①证明：过点P作PM⊥AC，PN⊥BC，垂足分别为M、N．…………………（1分）∵是的平分线，∴PM＝PN．由，得．∴．∵，∴．∴△PMF≌△PNE．……………………………（3分）∴PF=PE．②解：∵，37\n∴．∵△PMF≌△PNE，∴．∴．……………………………………………………………………（2分）∵CF∥PN，∴．∴．……………………………………………………………………（2分）∴（0≤x＜1）．………………………………………………（2分）（2）当△CEF与△EGP相似时，点F的位置有两种情况：①当点F在射线CA上时，∵，，∴．∴．∴．在Rt△EGP中，．……………………（2分）②当点F在AC延长线上时，∵，，∴．∵，，∴．易证，可得．∴．∴．易证△PMF≌△PNE，可得．∵CF∥PN，∴．37\n∴．∴．…………………………………………………………………………（2分）25、(2022年香坊区一模)(本题l0分）如图，在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，在ABC中，BC=AB，点B的坐标为(-4，0)，点D是BC的中点，且tanACB=(1)求点A的坐标；(2)点P从C点出发，沿线段CB以5个单位／秒的速度向终点B匀速运动，过点P作PEAB．垂足为E，PE交直线AC于点F，设EF的长为y(y≠O)，点P的运动时间为t秒，求y与t之问的函数关系式(直接写出自变量t的取值范围)；(3)在(2)的条件下，过点O．作0Q//AC交AB于Q点，连接DQ，是否存在这样的t值，使AFDQ是以DQ为一条直角边的直角三角形，若存在，求出t的值，若不存在．请说明理由．37\n26、(2022年福州模拟卷)(满分13分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，DE＝4cm．动线段DE(端点D从点B开始)沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当端点E到达点C时运动停止．过点E作EF∥AC交AB于点F(当点E与点C重合时，EF与CA重合)，连接DF，设运动的时间为t秒(t≥0)．(1)直接写出用含t的代数式表示线段BE、EF的长；(2)在这个运动过程中，△DEF能否为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；(3)设M、N分别是DF、EF的中点，求整个运动过程中，MN所扫过的面积．37\nAB(D)CEFABCDEF第21题图解：(1)BE＝(t＋4)cm，1分EF＝(t＋4)cm．4分(2)分三种情况讨论：①当DF＝EF时，ABCDEF有∠EDF＝∠DEF＝∠B，∴点B与点D重合，∴t＝0．…5分②当DE＝EF时，∴4＝(t＋4)，ABCDEF解得：t＝．7分③当DE＝DF时，有∠DFE＝∠DEF＝∠B＝∠C，∴△DEF∽△ABC．ABCDEMPFN∴＝，即＝，解得：t＝．9分ABCQLKPRTS综上所述，当t＝0、或秒时，△DEF为等腰三角形．(3)设P是AC的中点，连接BP，∵EF∥AC，∴△FBE∽△ABC．∴＝，∴＝．又∠BEN＝∠C，∴△NBE∽△PBC，∴∠NBE＝∠PBC．10分∴点N沿直线BP运动，MN也随之平移．如图，设MN从ST位置运动到PQ位置，则四边形PQST是平行四边形．11分∵M、N分别是DF、EF的中点，∴MN∥DE，且ST＝MN＝DE＝2．分别过点T、P作TK⊥BC，垂足为K，PL⊥BC，垂足为L，延长ST交PL于点R，则四边形TKLR是矩形，37\n当t＝0时，EF＝(0＋4)＝，TK＝EF·sin∠DEF＝××＝；当t＝12时，EF＝AC＝10，PL＝AC·sinC＝×10×＝3．∴PR＝PL－RL＝PL－TK＝3－＝．∴S□PQST＝ST·PR＝2×＝．∴整个运动过程中，MN所扫过的面积为cm2．13分37