【中考12年】广东省深圳市2001-2022年中考数学试题分类解析 专题6 函数的图像与性质

2022-2022年广东深圳中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题6：函数的图象与性质一、选择题1.（2022广东深圳3分）在同一平面直角坐标系中，函数的解析式与它的图象对应没有错误的是【】(A)　　　　　(B)(C)(D)【答案】C。【考点】一次函数、反比例函数和二次函数的图象。【分析】根据一次函数、反比例函数和二次函数的图象特征，作出判断：　　　　(A)的图象错误；(C)的图象错误；(D)的图象错误，　　　　故选C。2.（深圳2022年3分）反比例函数y=在第一象限内的图象如图，点M是图象上一点，MP垂直x轴于点P，如果△MOP的面积为1，那么k的值是【】A、1B、2C、4D、【答案】B。27\n【考点】反比例函数系数k的几何意义。【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系S=|k|即可求得k的值：∵点M是反比例函数y=图象上一点，∴S△MOP=|k|=1。又∵k＞0，则k=2。故选B。4.（深圳2022年3分）函数y=x2－2x＋3的图象顶点坐标是【】A、（1，-4）B、（－1，2）C、（1，2）D、（0，3）【答案】C。【考点】二次函数的性质。【分析】利用配方法将一般式化为顶点式即可确定顶点的坐标：∵y=x2－2x+3=x2－2x＋1＋2=（x－1）2＋2，∴顶点的坐标是（1，2）。故选C。5.（深圳2022年3分）抛物线过点A（2，0）、B（6，0）、C（1，），平行于x轴的直线CD交抛物线于点C、D，以AB为直径的圆交直线CD于点E、F，则CE＋FD的值是【】27\nA、2B、4C、5D、6【答案】B。【考点】二次函数综合题，二次函数的对称性，弦径定理，勾股定理。【分析】根据题意，G为直径AB的中点，连接GE，过G点作GH⊥CD于H．知CE＋FD=CD－EF=CD－2EH，分别求出CD，EF即可：由抛物线过点A（2，0）、B（6，0）得：抛物线对称轴为x=4。由抛物线过点C（1，），平行于x轴的直线CD交抛物线于点C、D，得D点坐标为（7，）。如图，G为直径AB的中点，连接GE，过G点作GH⊥CD于H，则GH=3，EG=2，EH=22－()2=1。∴CE＋FD=CD－EF=CD－2EH=－2=4。故选B。6.（深圳2022年3分）函数y=（k≠0）的图象过点（2，－2），则此函数的图象在平面直角坐标系中的【】A、第一、三象限B、第三、四象限C、A、第一、二象限D、第二、四象限【答案】D。【考点】反比例函数的性质。【分析】将（2，－2）代入y=（k≠0）得k=－4，根据反比例函数的性质，函数的图象在平面直角坐标系中的第二、四象限。故选D。7.（深圳2022年3分）函数的图象如图所示，那么函数的图象大致是【】A　B　C　D27\n【答案】C。【考点】一次函数和反比例函数的图象。【分析】∵反比例函数的图象位于第二、四象限，∴＜0。∵＜0，∴函数的图象过二、四象限．又∵－＞0，∴函数的图象与y轴相交于正半轴。∴一次函数的图象过一、二、四象限。故选C。9.（深圳2022年3分）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是【】【答案】C。【考点】一次函数和反比例函数的图象。【分析】若＞0，反比例函数的图象经过一、三象限，一次函数的图象经过一、二、三象限，答案C符合条件；若＜0，反比例函数的图象经过二、四象限，一次函数的图象经过二、三、四象限，答案中没有符合条件的结果。故选C。9.（深圳2022年3分）．如图，反比例函数的图象与直线的交点为A，B，过点A作轴的平行线与过点B作轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为【】A．8B．6C．4D．227\n【答案】A。【考点】反比例函数系数的几何意义。【分析】双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为||，根据反比例函数的中心对称特点可知△ABC的是面积2||=2×4=8。故选A。11.（深圳2022年招生3分）在反比例函数的图象的每一条曲线上，都随的增大而增大，则的值可以是【】A.－1B.0C.1D.2【答案】D。【考点】反比例函数的性质。【分析】由反比例函数的图象的每一条曲线上，都随的增大而增大，得，即。因此的值可以是2。故选D。12.（深圳2022年3分）对抛物线=－2＋2－3而言，下列结论正确的是【】A.与轴有两个交点B.开口向上C.与轴交点坐标是(0，3)D.顶点坐标是(1，－2)27\n【答案】D。【考点】二次函数的性质。【分析】把=－2＋2－3变形为=－（－1）2－2，根据二次函数的性质，该抛物线，开口向上；顶点坐标是(1，－2)；－2＋2－3=0无实数根，故抛物线与轴无交点；当=0时y=－3，故抛物线与y轴交点坐标是(0，－3)。故选D。二、填空题1.（深圳2022年3分）如图，直线OA与反比例函数的图象在第一象限交于A点，AB⊥x轴于点B，△OAB的面积为2，则k＝▲【答案】4。【考点】反比例函数系数的几何意义。【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=。∵S△OAB==2，且反比例函数在第一象限，＞0，则。2.（深圳2022年3分）如图，△ABC的内心在y轴上，点C的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，2），直线AC的解析式为，则tanA的值是▲.【答案】。【考点】三角形的内心，等腰直角三角形的性质，勾股定理，一次函数，锐角三角函数。【分析】过A作AE⊥X轴于E，AC交Y轴于D，AB交X轴于F。27\n∵点C的坐标为（2,0），点B的坐标为（0,2），∴∠OCB=∠OBC=45º，BC=。又∵△ABC的内心在y轴上，∴∠OBF=∠OBC=45º。∴∠ABC=90º，BF=BC=，CF=4，EF=EA。又∵直线AC的解析式为，∴OD：OC=1：2。∵A点在直线AC上，∴AE：EC=1：2，即AE：（EF+CF）=AE：（AE+4）=1：2。解之，EF=AE=4，∴FA=。∴AB=BF+FA=。∴在Rt△ABC中，tanA=。3.（2022广东深圳3分）二次函数的最小值是▲．【答案】5。【考点】二次函数的性质。【分析】∵，∴当时，函数有最小值5。4.（2022广东深圳3分）如图，双曲线与⊙O在第一象限内交于P、Q两点，分别过P、Q两点向x轴和y轴作垂线，已知点P坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为▲．【答案】4。【考点】反比例函数综合题。【分析】∵⊙O在第一象限关于y=x对称，也关于y=x对称，P点坐标是（1，3），∴Q点的坐标是（3，1），∴S阴影=1×3+1×3－2×1×1=4。三、解答题1.（2022广东深圳12分）27\n已知：如图，在直角坐标平面内，点C的坐标是（1，0）⊙C与y轴相切于原点O.过点A（3，0）的直线a与⊙C相切于点D，且交y轴的正半轴于点B.（1）求直线a对应的一次函数解析式；（2）求过点O,D,A三点的抛物线对应的二次函数解析式；（3）求x轴上的点P的坐标，使点P、A、B为顶点的三角形是等腰三角形.【答案】解：（1）如图，过点D作DE⊥x轴于点E。设D（x，y），则CE=x－1，EA=3－x，CD=1，DE=y，在Rt△DCE中，由勾股定理得，①。由△DCE∽△ADE，得，即②。联立①②，解得，。∴D。设直线a对应的一次函数解析式为，∵点A、D在直线a上，∴，解得。∴直线a对应的一次函数解析式为。（2）设过点O,D,A三点的抛物线对应的二次函数解析式为，27\n将O,D,A三点的坐标代入得，解得。∴过点O,D,A三点的抛物线对应的二次函数解析式为。（3）设点P（p，0），则由勾股定理得，，。若PD=AD，则，解得或（与点A重合，舍去）。∴P1（0，0）。若AD=PA，则，解得或。∴P2（，0），P2（0，）。若PD=PA，则，解得。∴P4（2，0）。综上所述，x轴上使点P、A、B为顶点的三角形是等腰三角形的点P的坐标为：P1（0，0），P2（，0），P2（0，），P4（2，0）。【考点】切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的性质。【分析】（1）过点D作DE⊥x轴于点E，设D（x，y），在Rt△DCE中，应用勾股定理得，由△DCE∽△ADE得，二者联立，求得点D的坐标，从而应用待定系数法，即可求得直线a对应的一次函数解析式。27\n（2）由O,D,A三点的坐标，应用待定系数法，即可求得过点O,D,A三点的抛物线对应的二次函数解析式。（3）分PD=AD，AD=PA和PD=PA三种情况讨论即可。2.（深圳2022年10分）已知：如图，直线y=－x＋3与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线y=－x2＋bx＋c经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点。（1）求抛物线的解析式。（2）若点P在直线BC上，且S△PAC=S△PAB，求点P的坐标。【答案】解：（1）∵直线y=－x＋3与x轴、y轴分别交于点B、C，∴令x=0，则y=0，令y=0，则x=3。∴C（0，3）、B（3，0）。把两点坐标代入抛物线y=－x2＋bx＋c得，，解得，。∴抛物线的解析式为：y=－x2＋2x＋3。（2）由－x2＋2x＋3=0可得点A的坐标为（－1，0）。∴S△ABC=。设P点坐标为（x，－x＋3），分三种情况讨论：①当点P在BC延长线上，S△PAC=S△PAB－S△ABC=S△PAB，∴S△ABC=S△PAB，即，解得x=－3。此时，点P的坐标为（－3，6）。②当点P在线段BC上，S△PAC=S△ABC－S△PAB=S△PAB，∴S△ABC=S△PAB，即，解得x=1。此时，点P的坐标为（1，2）。27\n③当点P在CB延长线上，S△PAC=S△PAB＋S△ABC=S△PAB，∴S△ABC=－S△PAB，这是不可能的。此时，点P不存在。综上所述，所求点P的坐标为（－3，6）或（1，2）。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）根据直线y=－x＋3可分别令x=0，y=0求出C，B两点的坐标；把B，C两点的坐标分别代入抛物线y=－x2＋bx＋c可求出b，c的值，从而求出函数的解析式．（2）因为P在直线BC上，所以可设P点坐标为（x，－x＋3），再利用三角形的面积公式及△ABC、△PAC、△PAB之间的关系分点P在BC延长线上，当点P在线段BC上，当点P在CB延长线上三种情况求出x的值，从而求出P点坐标。3.（深圳2022年18分）如图，已知A（5，－4），⊙A与x轴分别相交于点B、C，⊙A与y轴相且于点D，（1）求过D、B、C三点的抛物线的解析式；（2）连结BD，求tan∠BDC的值；（3）点P是抛物线顶点，线段DE是直径，直线PC与直线DE相交于点F，∠PFD的平分线FG交DC于G，求sin∠CGF的值。【答案】解：（1）∵A（5，－4），⊙A与x轴分别相交于点B、C，⊙A与y轴相且于点D，∴由圆的性质和弦径定理可得D（0，－4），B（2，0），C（8，0）。设过D、B、C三点的抛物线的解析式为。将D、B、C的坐标代入，得27\n，解得，，∴抛物线的解析式为y=。（2）作弧BC的中点H，连接AH、AB，则由弦径定理和圆周角定理，∠BDC=∠BAH=∠BAC，∴tan∠BDC=tan∠BAH=。（3）由（1）y=得点P的坐标为（5，）。由P、C坐标可求得直线PC的解析式为y=。设M为直线PC与y轴的交点，则M的坐标为（0，6）。∵OM=6，OC=8，∴由勾股定理，得MC=10。又MD=OM＋OD=10，∴MD=MC=10。∴∠MCD=∠MDC。∴∠MCA=∠MDA=∠MDC+∠CDA=90°。∴∠MCO=∠BDC=∠PFD。∴∠CGF=∠GDF+∠PFD=∠GDF+∠BDC=∠HDF=45°。∵DA=AH=半径，∴sin∠CGF=sin45°=。【考点】二次函数综合题，弦径定理，圆周角定理，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。【分析】（1）由A点坐标，即可得出圆的半径和OD的长，连接AB，过A作BC的垂线不难求出B、C的坐标．然后可用待定系数法求出抛物线的解析式。（2）取弧BC的中点H，连接AH、AB，根据弦径定理和圆周角定理可得出∠BDC=∠BAC=∠BAH，由此可求出∠BDC的正切值。（也可通过求弦切角∠PCO的正切值来得出∠BDC的正切值）（3）由于∠CGF=∠CDF+∠GFD=∠CDF+∠CFD，而∠PCO=∠PFD=∠BDC，那么∠CGF=∠CDF+∠BDC=∠HDF，在直角三角形AOH中，DA=AH，因此∠HDF=45°，即∠CGF=45°，据此可求出其正弦值。4.（深圳2022年8分）27\n工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.（1）(4分)该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？（2）(4分)若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件．若每工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元?5.（深圳2022年10分）如图，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，满足∠ACB为直角,且恰使△OCA∽△OBC.(1)(3分)求线段OC的长.(2)(3分)求该抛物线的函数关系式．(3)(4分)在轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由.27\n【答案】解：（１）由与轴交于A、B两点得，，。∵点A在点B的左侧，∴OA＝２，OB＝６。　　　∵△OCA∽△OBC，∴OC2＝OA·OB＝２×６。∴OC＝２（－２舍去）。∴线段OC的长为２。（２）∵△OCA∽△OBC，∴。设AC＝ｋ，则BC＝ｋ。由AC2＋BC2＝AB2得ｋ2＋（ｋ）2＝（６－２）2，解得ｋ＝２（－２舍去）。∴AC＝２，BC＝２＝OC。　过点C作CD⊥AB于点D，∴OD＝OB＝３。∴ＣＤ＝。∴C的坐标为（３，）。　将C点的坐标代入抛物线的解析式得，∴＝－。∴抛物线的函数关系式为：（３）①当P1与Ｏ重合时，△BCP1为等腰三角形，∴P1的坐标为（０，０）。②当P2B＝BC时(P2在B点的左侧)，△BVP2为等腰三角形，27\n∴P2的坐标为（６－２，０）。③当P5为AB的中点时，P5B＝P5C，△BCP5为等腰三角形，∴P5的坐标为（４，０），④当BP4＝BC时(P4在B点的右侧)，△BCP4为等腰三角形，∴P4的坐标为（６＋２，０）。综上所述，在轴上存在点P，使△BCP为等腰三角形，符合条件的点Ｐ的坐标为：（０，０），（６－２，０），（４，０），（６＋２，０）。【考点】二次函数综合题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的判定。【分析】(1)由与轴交于A、B两点求出两点的坐标，由△OCA∽△OBC，根据相似三角形对应边成比例的性质即可求出线段OC的长。（2）由△OCA∽△OBC求出点C的坐标，即可用等定系数法求出该抛物线的函数关系式。（3）分P与Ｏ重合、PB＝BC、P为AB的中点、BP＝BC四种情况讨论即可。6.（深圳2022年9分）如图，在平面直角坐标系中，正方形AOCB的边长为，点D在轴的正半轴上，且OD=OB，BD交OC于点E．（1）求∠BEC的度数．（2）求点E的坐标．（3）求过B，O，D三点的抛物线的解析式．（计算结果要求分母有理化．参考资料：把分母中的根号化去，叫分母有理化．例如：①；②；③等运算都是分母有理化）27\n【答案】解：(1）∵四边形AOCB是正方形，OD=OB，∴∠OBD=∠ODB=22.50。∴∠CBE=22.50。∴∠BEC=900－∠CBE=900－22.50=67.50。（2）∵正方形AOCB的边长为1，∴OD=OB=。∴点B的坐标为（－1，1），点D的坐标为（，0）。设直线BD的解析式为，则，解得。∴直线BD的解析式为令，，∴点E的坐标为，）。（3）设过B、O、D三点的抛物线的解析式为，∵B（－1，1），O（0，0），D（，0），∴，解得，。∴所求的抛物线的解析式为。【考点】正方形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角的关系，勾股定理，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次根式化简。【分析】(1）由正方形、等腰三角形的性质和直角三角形两锐角互余的性质，可求得∠BEC的度数。（2）求出点B和D的坐标，用待定系数法求出直线BD的解析式，令即可求出点E的坐标。（3）由B、O、D三点的坐标，用待定系数法即可求出过B，O，D三点的抛物线的解析式。7.（深圳2022年8分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与直线相交于A，B两点．（1）求线段AB的长．（2）若一个扇形的周长等于（1）中线段AB的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大，最大面积是多少？（3）如图2，线段AB的垂直平分线分别交轴、轴于C，D两点，垂足为点M，分别求出OM，OC，OD的长，并验证等式是否成立．（4）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB，垂足为D，设，，．27\n，试说明：．图1图2图3【答案】解：（1）∵，解得，。∴A（－4，－2），B（6，3）。分别过A、B两点作AE轴，BF轴，垂足分别为E、F。∴AB=OA+OB。（2）设扇形的半径为，则弧长为，扇形的面积为，则，∵，∴当时，函数有最大值。∴当扇形的半径取时，扇形的面积最大，最大面积是。（3）过点A作AE⊥轴，垂足为点E，则OA=。∵CD垂直平分AB，点M为垂足，∴OM=AB－OA。∵∠AEO=∠OMC，∠EOA=∠COM，∴△AEO∽△CMO。∴，∴∴CO。同理可得OD。∴，。27\n∴。（4）等式成立。理由如下：∵∠ACB=900，CD⊥AB，∴，。∴。∴。∴。∴。∴。∴。∴。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，解二元二次方程组，勾股定理，扇形的计算，二次函数的最值，相似三角形的判定和性质，代数式的变换。【分析】（1）求出A（－4，－2），B（6，3），由勾股定理即可求出线段AB的长。（2）求出扇形的面积关于半径的函数表达式，由二次函数的最值即可求解。（3）由勾股定理和相似三角形的判定和性质，即可求出OM，OC，OD的长，代入等式验证即可。（4）由三角形面积公式和勾股定理得到代数式，进行代数式的变换即能证明。8.（深圳2022年学业8分）儿童商场购进一批M型服装，销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50%．商场现决定对M型服装开展促销活动，每件在8折的基础上再降价x元销售，已知每天销售数量y（件）与降价x元之间的函数关系为y＝20＋4x（x＞0）（1）求M型服装的进价；（3分）（2）求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值．（5分）【答案】解：（1）设进价为x，∵销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50%，∴75×0.8=（1+0.5）x，解得，x=40。答：M型服装的进价为40元。（2）∵销售时标价为75元/件，开展促销活动每件在8折的基础上再降价x元销售，∴M型服装开展促销活动的实际销价为75·0.8－x=60－x，销售利润为60－x－40=20－x，而每天销售数量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式为y=20＋4x，∴促销期间每天销售M型服装所获得的利润为：W=（20－x）（20＋4x）=-4x2＋60x＋400=。∴当x==7.5（元）时，利润W最大值为625元。【考点】一元一次方程、二次函数的应用。27\n【分析】（1）销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50%．可得：标价打8折等于（1+0.5）乘进价。（2）促销后，每件在8折的基础上再降价x元销售，则实际销价为60－x，利润W=（60－x）（20+4x）。由二次函数最值可解。9.（深圳2022年学业9分）如图，抛物线经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在轴上，其中A（－2，0），B（－1,－3）．（1）求抛物线的解析式；（3分）（2）点M为轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；（2分）（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P的坐标．（4分）xyCB_D_AO【答案】解：（1）∵点A、B在抛物线上，∴点A、B的坐标满足抛物线方程。∴，解之得：。∴抛物线的解析式为所求。（2）如图，连接BD，交轴于点M，则点M就是所求作的点。设BD的解析式为，则有，。∴BD的解析式为。令则，∴M（0，－2）。(3)如图，连接AM，BC交y轴于点N，∵A（－2，0），D（2，0），M（0，－2），∴OM=OA=OD=2。27\n∴∠AMB=900。∵B（－1,－3），M（0，－2），∴BN=MN=1∴，。设，依题意有：，即：。解之得：，。∴符合条件的P点有三个：。【考点】二次函数综合题，等腰梯形的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，对称的性质，三角形三边关系，直角的判定，勾股定理，解一元二次方程。【分析】（1）由点A、B在抛物线上，点A、B的坐标满足抛物线方程的关系，将点A、B的坐标代入抛物线方程即可求出抛物线的解析式。（2）∵点A，D关于对称轴轴对称，连接BD交对称轴轴于M点，由三角形三边关系知M点即为所求，求出直线BD的解析式，即可求得M点的坐标。（3）求出S△ABM，设，即可由已知S△PAD＝4S△ABM列出关于的方程即可求解。10.（深圳2022年招生9分）为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数（台）与补贴款额（元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z（元）会相应降低且Z与之间也大致满足如图②所示的一次函数关系.(1)(3分）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？(2)(3分）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数和每台家电的收益Z与政府补贴款额之的函数关系式，(3)(3分）要使该商场销售彩电的总收益W（元）最大，政府应将每台补贴款额定为多少？并求出总收益W的最大值．27\n【答案】解：（1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为800×200=160000（元）。（2）依题意（图），设，，则有，，解得，。∴，。（3）∵∴要使该商场销售彩电的总收益W（元）最大，政府应将每台补贴款额定为100元？其总收益W的最大值为162000元。【考点】一次、二次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，二次函数最值。【分析】（1）由图，直接求出。（2）根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法即可求出该商场销售彩电台数和每台家电的收益Z与政府补贴款额之的函数关系式。（3）求出该商场销售彩电的总收益W的函数关系式，用二次函数最值原理求解。11.（深圳2022年9分）深圳某科技公司在甲地、乙地分别生产了17台、15台相同型号的检测设备，全部运往大运赛场A、B两馆，其中运往A馆18台，运往B馆14台，运往A、B两馆运费如表1：（1）设甲地运往A馆的设备有x台，请填写表2，并求出总运费（元）与（台）的函数关系式；（2）要使总运费不高于20220元，请你帮助该公司设计调配方案，并写出有哪几种方案；（3）当x为多少时，总运费最少，最少为多少元？27\n【答案】解：（1）填写表2如下所示依题意，得：y＝800x＋700(18－x)＋500(17－x)＋600(x－3)即：y＝200x＋19300（3≤x≤17）（2）∵要使总运费不高于20220元，∴200x＋19300<20220解得：∵3≤x≤17，∴且设备台数x只能取正整数。∴x只能取3或4。∴该公司的调配方案共有2种，具体如下表：（3）由（1）和（2）可知，总运费y为：y＝200x＋19300（x＝3或x＝4）由一次函数的性质，可知：当x＝3时，总运费最小，最小值为：＝200×3＋19300＝19900（元）。答：当x为3时，总运费最小，最小值是19900元。27\n【考点】一次函数，一元一次不等式，函数的最小值。【分析】（1）已知条件直接填写表2，再根据等量关系列出函数关系式：总运费=甲地运A馆运费+乙地运A馆运费+甲地运B馆运费+乙地运B馆运费y=800x+700(18-x)+500(17-x)+600(3-x)考虑到甲地共生产了17台和乙地运B馆3-x台，有3≤x≤17。（2）根据所列一元一次不等式求解，并结合实际得出x的取值进行分析，并根据一次函数的增减性求解。12.（深圳2022年9分）如图1，抛物线的顶点为（1，4），交轴于A、B，交轴于D，其中B点的坐标为（3，0）（1）求抛物线的解析式（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图3，抛物线上是否存在一点T，过点T作的垂线，垂足为M，过点M作直线MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.【【答案】解：（1）设所求抛物线的解析式为：，依题意，将点B（3，0）代入，得：，解得：＝－1∴所求抛物线的解析式为：。（2）如图，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称，在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF＝HI，∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2，将x＝2代入抛物线27\n，得，∴点E坐标为（2，3）。又∵抛物线图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D，∴当y＝0时，，∴x＝－1或x＝3当x＝0时，y＝－1＋4＝3,∴点A（－1，0），点B（3，0），点D（0，3）又∵抛物线的对称轴为：直线x＝1，∴点D与点E关于PQ对称，GD＝GE设过A、E两点的一次函数解析式为：y＝kx＋b（k≠0），分别将点A（－1，0）、点E（2，3）代入y＝kx＋b，得：，解得：过A、E两点的一次函数解析式为：y＝x＋1∴当x＝0时，y＝1。∴点F坐标为（0，1）。∴DF=2。又∵点F与点I关于x轴对称，∴点I坐标为（0，－1）又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值，∴只要使DG＋GH＋HI最小即可由图形的对称性和HF＝HI，GD＝GE可知，DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI只有当EI为一条直线时，EG＋GH＋HI最小。。设过E（2，3）、I（0，－1）两点的函数解析式为：，分别将点E（2，3）、点I（0，－1）代入，得：，解得：过A、E两点的一次函数解析式为：y＝2x－1∴当x＝1时，y＝1；当y＝0时，x＝；27\n∴点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0）∴四边形DFHG的周长最小为：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI=∴四边形DFHG的周长最小为。（3）设点M的坐标为（，0），由MN∥BD，可得△AMN∽△ABD∴。再由（1）、（2）可知，AM＝1＋，BD＝，AB＝4，∴∵，由题意可知，∠NMD＝∠MDB，要使，△DNM∽△BMD，只要使即可。即：∴解得：或（不合题意，舍去）。∴点M的坐标为（，0）。又∵点T在抛物线图像上，∴当x＝时，y＝。∴点T的坐标为（，）。【考点】待定系数法求二次函数，抛物线的对称性，一次函数，两点之间线段最短，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）用待定系数法将点B（3，0）代入即可求二次函数表达式。（2）应用抛物线的对称性和两点之间线段最短的性质可求。（3）由题意可知，∠NMD＝∠MDB，要使，△DNM∽△BMD，只要使即可，即：。因此由（1）、（2）的结论和△AMN∽△ABD即可求得。13.（2022广东深圳9分）如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－4，0)、B(1，0)、C(－2，6)．(1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式；(2)设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE;(3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F，为顶点的三角形与△ABC相似吗？请说明理由．27\n【答案】解：（1）∵抛物线经过A(－4，0)、B(1，0)，∴设函数解析式为：y=a（x＋4）（x－1）。又∵由抛物线经过C（－2，6），∴6=a（－2＋4）（－2－1），解得：a=－1。∴经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=－（x＋4）（x－1），即y=－x2－3x＋4。（2）证明：设直线BC的函数解析式为y=kx+b，由题意得：，解得：。∴直线BC的解析式为y=－2x+2．∴点E的坐标为（0，2）。∴。∴AE=CE。（3）相似。理由如下：设直线AD的解析式为y=k1x+b1，则，解得：。∴直线AD的解析式为y=x+4。联立直线AD与直线BC的函数解析式可得：，解得：。∴点F的坐标为（）。则。又∵AB=5，，∴。∴。又∵∠ABF=∠CBA，∴△ABF∽△CBA。27\n∴以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定。【分析】（1）利用待定系数法求解即可得出抛物线的解析式。（2）求出直线BC的函数解析式，从而得出点E的坐标，然后分别求出AE及CE的长度即可证明出结论。（3）求出AD的函数解析式，然后结合直线BC的解析式可得出点F的坐标，根据勾股定理分别求出BF，BC得出；由题意得∠ABF=∠CBA，即可作出判断。27