【中考12年】浙江省衢州市2001-2022年中考数学试题分类解析 专题05 数量和位置变化

【中考12年】浙江省衢州市2022-2022年中考数学试题分类解析专题05数量和位置变化一、选择题1.（2022年浙江金华、衢州4分）函数中，自变量x的取值范围是【】（A）x≥3（B）x＞3（C)x＜3（D）x＜32.（2022年浙江衢州4分）如图，点P（3，4）是角α终边上一点，则sinα的值为【】A、B、C、D、3.（2022年浙江衢州4分）在函数中，自变量x的取值范围是【】A、x≥2B、x>2C、x≠3D、x≥2且x≠3【答案】D。【考点】函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件。【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须且x≠3。故选D。29\n4.（2022年浙江衢州4分）如图，若在象棋盘上建立直角坐标系，使“将”位于点（1，－2），“象”位于点（3，－2），则炮位于点【】A、（1，3）B、（－2，1）C、（－1，2）D、（－2，2）【答案】B。【考点】直角坐标系和坐标，数形结合思想的应用。【分析】根据题意，建立直角坐标系：所以炮位于点（－2，1）。故选B。5.（2022年浙江衢州4分）有一天早上，小明骑车上学，途中用了10min吃早餐，用完早餐后，小明发现如果按原来速度上学将会迟到，于是他加快了骑车速度，终于在上课前到达学校．下面几个图形中能大致反映小明上学过程中时间与路程关系的图象是【】A、B、C、D、【答案】A。【考点】函数的图象。【分析】根据小明的行驶情况，行走﹣停下﹣加速行走；路程逐步增加，逐一排除：路程将随着时间的增多而不断增加，排除D；吃早餐时时间在增多，而路程不再变化，排除C；后来小明加快速度，那么后来的函数图象走势应比前面的走势要陡，排除B。故选A。6.（2022年浙江衢州4分）如图，已知直线l的解析式是29\n，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点。一个半径为1.5的⊙C,圆心C从点（0，1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动,当⊙C与直线l相切时,则该圆运动的时间为【】A.3秒或6秒B.6秒C.3秒D.6秒或16秒7.（2022年浙江衢州4分）把抛物线向右平移2个单位得到的抛物线是【】A、B、C、D、29\n8.（2022年浙江衢州3分）如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是【】A．B．C．D．【答案】D。【考点】中心对称，图形位似。【分析】如图，△ABC变换为△A’B’C的变换为：，∴点B’的横坐标是a还原为点B的横坐标的变换为：29\n。故选D。9.（2022年浙江衢州、丽水3分）下列四个函数图象中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是【】A．B．C．D．10.（2022年浙江衢州、丽水3分）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是【】A．B．C．D．在Rt△CDF中，由勾股定理得，29\n，即，解得：。∴。故选C。11.（2022年浙江衢州3分）小亮同学骑车上学，路上要经过平路、下坡、上坡和平路（如图），若小亮上坡、平路、下坡的速度分别为v1，v2，v3，v1＜v2＜v3，则小亮同学骑车上学时，离家的路程s与所用时间t的函数关系图象可能是【】A、B、C、D、12.（2022年浙江衢州3分）函数的自变量x的取值范围在数轴上可表示为【】　　A．　　B．　　C．　　D．二、填空题1.（2022年浙江金华、衢州5分）函数 中自变量x的取值范围为▲29\n2.（2022年浙江金华、衢州5分）某中学要在校园内划出一块面积是100m2的矩形土地做花圃，设这个矩形的相邻两边的长分别为xm和ym，那么y关于x的函数解析式是▲．3.（2022年浙江衢州5分）请你写出一个图象经过点（1，1）的函数解析式：▲。4.（2022年浙江衢州5分）如图是一张传说中的“藏宝图”,图上除标明了A﹑B﹑C三点的位置以外,并没有直接标出”宝藏”的位置,但图上注有寻找“宝藏”的方法:把直角△ABC补成矩形，使矩形的面积是ABC的2倍，“宝藏”就在矩形未知的顶点处，那么“宝藏”的位置可能是▲(用坐标表示)【答案】（－2，）或（，）或（，）。【考点】网格问题，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，分类思想的应用。29\n（2）以原三角形的斜边为矩形的一边补成矩形，如图所示：在原三角形的斜边上作出过直角顶点的高，垂足为点H，则把原三角形分成两个直角三角形，以长为的直角边为斜边，再补一个与这个小直角三角形重合斜边的小直角三角形的顶点D，即为矩形的顶点D，以长为2的直角边为斜边，再补一个与这个小直角三角形重合斜边的小直角三角形的顶点E，即为矩形的顶点E。则点，点D的横坐标，点D的纵坐标=-1×sin60°=-32，点D的坐标为（，）。点CE，点E的横坐标=，点E的纵坐标=，点E的坐标为（，）。综上所述，“宝藏”的位置可能是：（－2，）或（，）或（，）。5.（2022年浙江衢州5分）一个水池有有2个速度相同的进水口,1个出水口，单开一个进水口每小时可进水1立方米,单开一个出水口每小时可出水2立方米.。某天0点到6点，该水池的蓄水量与时间的函数关系如图所示（至少打开一个进水口）。.给出以下三个论断：（1）0点到3点只进水不出水；（2）3点到4点不进水只出水；（3）4点到6点不进水也不出水。则错误的论断是▲(填序号)29\n6.（2022年浙江衢州5分）已知n是正整数，(，)是反比例函数图象上的一列点，其中，，…，，记，，…，；若，则的值是▲；【答案】。【考点】探索规律题（图形的变化类），反比例函数图象上点的坐标特征。【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答：∵，且x1=1，∴。又∵T1=1，∴x1y2=1。又∵x1=1，∴y2=1，即。又∵x2=2，∴k=2。∴。∴。29\n7.（2022年浙江衢州4分）如图，DB为半圆的直径，A为BD延长线上一点，AC切半圆于点E，BC⊥AC于点C，交半圆于点F．已知BD=2，设AD=x，CF=y，则y关于x的函数解析式是　　▲　　．三、解答题1.（2022年浙江金华、衢州12分）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－4，0），点C为y轴上一动点，连接AC，过点C作CB⊥AC，交x轴于B．（1）当点B坐标为（1，0）时，求点C的坐标；（2）如果sinA和cosA是关于x的一元二次方程的两个实数根，过原点O作OD⊥AC，垂足为D，且点D的纵坐标为a2，求b的值．【答案】解：（1）设点C的坐标为（0，c）。则OC=c。∵点A的坐标为（－4，0），点B坐标为（1，0），∴OA=4，OB=1，AB=5。∴在Rt△AOC中，，在Rt△BOC中，，在Rt△ABC中，，即，解得：。29\n∴点C的坐标为（0，2）或（0，－2）。（2）∵sinA和cosA是关于x的一元二次方程的两个实数根，∴sinA+cosA=－a，sinA•cosA=b。又∵，∴。又，∴。如图，过点D作DE⊥AO于点E，则AO=4，DE=，，∴由三角形面积公式，得，即，。∴，代入得，得。2.（2022年浙江衢州14分）如图，在平面直角坐标系中，已知ΔABC的顶点坐标分别为A（0，3），B（－2，0）,C(m，0),其中m>0.以OB，OC为直径的圆分别交AB于点E，交AC于点F，连结EF。（！）求证：ΔAFE∽ΔABC。（2）是否存在m的值，使得ΔAEF是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。（3）观察当点C在x轴上移动时，点F移动变化的情况。试求点C1（，0）移动到点C2（3，0）点F移动的行程。29\n【答案】解：（1）根据题意，由切割线定理，得：，即。又∵∠EAF=∠CAB（公共角），∴ΔAFE∽ΔABC。（2）存在。∵A（0，3），B（－2，0）,C(m，0)，即OA=3，OB=2，OC=m，BC=2＋m∴根据勾股定理，得。由（1）ΔAFE∽ΔABC，∴若要使ΔAEF是等腰三角形，必须ΔABC是等腰三角形。①若要AE=AF，则要AC=AB，即，解得（－2舍去）。②若要AE=FE，则要AC=CB，即，解得。③若要AF=FE，则要AB=CB，即，解得。综上所述，存在m的值，使得ΔAEF是等腰三角形，m的值为2，，。（3）连接OF，则∠CFO=900。∴∠AFO始终为直角，且OA为定值OA=3。∴点F移动的行程在以AO的中点D为圆心，AO的一半为半径的圆上（如图）。连接DF1，DF2，则点F移动的行程为。29\n∵OC1=，∴。∴∠OAC1=300。∵OC1=3，∴。∴∠OAC2=600。∴∠C1AC2=300。∴∠F1DF2=600。∴点F移动的行程为：。3.（2022年浙江衢州14分）在等腰梯形ABCD中，已知AB=6，BC=，∠A=45º，以AB所在直线为x轴，A为坐标原点建立直角坐标系，将等腰梯形ABCD饶A点按顺时针方向旋转90º得到等腰梯形OEFG（O﹑E﹑F﹑G分别是A﹑B﹑C﹑D旋转后的对应点）（图1）（1）写出C﹑F两点的坐标。29\n（2）等腰梯形ABCD沿x轴的负半轴平行移动，设移动后的OA=x（图2），等腰梯形ABCD与等腰梯形OEFG重叠部分的面积为y，当点D移动到等腰梯形OEFG的内部时，求y与x之间的关系式。（3）线段DC上是否存在点P，使EFP为等腰三角形。若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）C点的坐标为（4，2），F点的坐标为（－2，4）。（2）当点D移动到等腰梯形OEFG的内部时，2＜x＜4，如图，∵重合部分是四边形ONDH，它的面积等于梯形DNOA的面积减去△OHA的面积，梯形DNOA上底为x－2，下底为x，高为2，△OHA的底边为x，高为，∴。∴当点D移动到等腰梯形OEFG的内部时，y与x之间的关系式为（2＜x＜4）。（3）存在。易得F（－2，4），E（0，6），EF=BC=，设P（p，2）（2≤p≤4），根据勾股定理，得，若EP=FP，则，解得：p=2。若EP=EF，则，即，方程无解。若FP=EF，则，解得：p=0或p=-4。都不符合2≤p≤4，舍去。29\n综上所述，线段DC上存在点P，使EFP为等腰三角形，点P坐标为（2，2）。【考点】平移和旋转问题，等腰梯形的性质，由实际问题列函数关系式，等腰三角形的判定，勾股定理，分类思想的应用。4.（2022年浙江衢州10分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在x轴的正半轴上，点B在第象限，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转至△OA′B′，使点B的对应点B′落在y轴的正半轴上，已知OB=2，∠BOA=300（1）求点B和点A′的坐标；（2）求经过点B和点B′的直线所对应的一次函数解析式，并判断点A是否在直线BB′上。29\n【答案】解：（1）在△OAB中，∵∠OAB=9009，∠BOA=300，∴AB=OB·OA=OB·。∴点B的坐标为(，1)。过点A´作A´D垂直于y轴，垂足为D。在Rt△ODA´中DA´=OA´·，OD=OA´·∴A´点的坐标为(，)。（2）点B的坐标为(，1)，点B´的坐标为(0，2)，设所求的解析式为,则，解得。∴经过点B和点B′的直线所对应的一次函数解析式为。∵当时，，∴A´(，)在直线BB´上。29\n5.（2022年浙江衢州14分）已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，)，C(0，)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A′)，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S；（1）求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式；（2）当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；（3）S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）∵A，B两点的坐标分别是A（10，0）和B（8，），∴，∴∠OAB=600。当点A´在线段AB上时，∵∠OAB=600，TA=TA′，∴△A´TA是等边三角形，且。∴，。∴。当A´与B重合时，AT=AB=，∴。29\n∴当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式为。（2）当点A′在线段AB的延长线，且点P在线段AB（不与B重合）上时，纸片重叠部分的图形是四边形（如图①，其中E是TA′与CB的交点）。当点P与B重合时，AT=2AB=8，点T的坐标是（2，0）。又由（1）中求得当A´与B重合时，T的坐标是（6，0），∴当纸片重叠部分的图形是四边形时，2＜t＜6。（3）S存在最大值。①当6≤t＜10时，，在对称轴t=10的左边，S的值随着t的增大而减小，∴当t=6时，S的值最大是。②当2≤t＜6时，由图①，重叠部分的面积。∵△A′EB的高是A′B•sin600，∴。∴当t=2时，S的值最大是。③当0＜t＜2，即当点A′和点P都在线段AB的延长线时29\n（如图②，其中E是TA´与CB的交点，F是TP与CB的交点），∵∠EFT=∠FTP=∠ETF，四边形ETAB是等腰梯形，∴EF=ET=AB=4。∴。综上所述，S的最大值是，此时t的值是0＜t≤2。6.（2022年浙江衢州12分）如图，已知点A(－4，8)和点B(2，n)在抛物线上．（1）求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；（2）平移抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(-2，0)和点D(－4，0)是x轴上的两个定点．①　当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的函数解析式；②　当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．29\n【答案】解：(1)将点A(－4，8)的坐标代入，解得。∴抛物线的解析式为。将点B(2，n)的坐标代入，求得点B的坐标为(2，2)。则点B关于x轴对称点P的坐标为(2，－2)。设直线AP的解析式，则，解得。∴直线AP的解析式是。令y=0，得．即所求点Q的坐标是(，0)。29\n（2）①设将抛物线向左平移m个单位，则平移后A′，B′的坐标分别为A′(－4－m，8)和B′(2－m，2)，点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(－4-m，－8)。同（1）可得直线A′′B′的解析式为。∵要使A′C+CB′最短，点C应在直线A′′B′上，∴将点C(－2，0)代入直线A′′B′的解析式，解得。∴抛物线向左平移个单位时，A′C+CB′最短，此时抛物线的函数解析式为。②左右平移抛物线，因为线段A′B′和CD的长是定值，所以要使四边形A′B′CD的周长最短，只要使A′D+CB′最短。第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A′D+CB′>AD+CB，因此不存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短。第二种情况：设抛物线向左平移了b个单位，则点A′和点B′的坐标分别为A′(－4－b，8)和B′(2－b，2)。∵CD=2，∴将点B′向左平移2个单位得B′′(－b，2)。要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短。点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(－4－b，－8)，直线A′′B′′的解析式为。要使A′D+DB′′最短，点D应在直线A′′B′′上，将点D(－4，0)代入直线A′′B′′的解析式，解得。29\n∴将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短，此时抛物线的函数解析式为。（3）左右平移时，使A′D+DB′′最短即可，那么作出点A′关于x轴对称点的坐标为A′′，得到直线A′′B′′的解析式，让y=0，求得相应的点的坐标；进而得到抛物线顶点平移的规律，用顶点式设出相应的函数解析式，把新顶点坐标代入即可。7.（2022年浙江衢州、丽水12分）△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．（1）当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标；（2）如果抛物线（a≠0）的对称轴经过点C，请你探究：①当时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；②设b=－2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵点O是AB的中点，AB=，∴。设点B的横坐标是x(x>0)，则根据勾股定理得29\n，解得(舍去)。∴点B的横坐标是。（2）①　当时，抛物线为：，即。∴抛物线的对称轴为。以下分两种情况讨论：情况1：设点C在第一象限(如图1)，则点C的横坐标为，∵，∴点C的横坐标为。∴点C的坐标为。如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥y轴于点E，则由△ADO∽△CEO得：，即。∴。∴点A的坐标为。∵A，B两点关于原点对称，∴点B的坐标为。将点A的横坐标代入右边，计算得，即等于点A的纵坐标；29\n将点B的横坐标代入右边，计算得，即等于点B的纵坐标。∴在这种情况下，A，B两点都在抛物线上。情况2：设点C在第四象限(如图2)，则点C的坐标为，点A的坐标为，点B的坐标为，经计算，A，B两点都不在这条抛物线上。②存在。m的值是1或－1。②∵b=－2am，∴抛物线为：。∵OC=1，∴－1≤点C的横坐标≤1。又∵这条抛物线的对称轴经过点C，∴－1≤m≤1。当m=±1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上，∴当m=±1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上。8.（2022年浙江衢州12分）已知两直线l1，l2分别经过点A（1，0），点B（﹣3，0），并且当两直线同时相交于正半轴的点C时，恰好有l1⊥l2，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l2交于点K，如图所示．（1）求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；（2）抛物线的对称轴被直线l1，抛物线，直线l2和轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由；29\n（3）当直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标．【答案】解：（1）由题意易知：△BOC∽△COA，∴，即，∴。∴点C的坐标是（0，）。由题意，可设抛物线的函数解析式为，把A（1，0），B（﹣3，0）的坐标分别代入，得，解得。∴抛物线的函数解析式为。（2）截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF。理由如下：可求得直线l1的解析式为，直线l2的解析式为，∵抛物线的函数解析式可化为，∴抛物线的对称轴为直线=－1，顶点D的坐标为（﹣1，）；把=－1代入即可求得点K的坐标为（﹣1，）；把=－1代入即可求得点E的坐标为（﹣1，）；又点F的坐标为（﹣1，0），∴KD=，DE=，EF=。∴KD=DE=EF。29\n（3）当点M的坐标分别为（﹣2，），（﹣1，）时，△MCK为等腰三角形．理由如下：（i）连接BK，交抛物线于点G，连接CG，易知点G的坐标为（﹣2，），又∵点C的坐标为（0，），∴GC∥AB。∵可求得AB=BK=4，且∠ABK=60°，即△ABK为正三角形，∴△CGK为正三角形。∴当l2与抛物线交于点G，即l2∥AB时，符合题意，此时点M1的坐标为（﹣2，）。（ii）连接CD，由KD=，CK=CG=2，∠CKD=30°，易知△KDC为等腰三角形。∴当l2过抛物线顶点D时，符合题意，此时点M2坐标为（﹣1，）。（iii）当点M在抛物线对称轴右边时，只有点M与点A重合时，满足CM=CK，但点A、C、K在同一直线上，不能构成三角形。综上所述，当点M的坐标分别为（﹣2，），（﹣1，）时，△MCK为等腰三角形。9.（2022年浙江衢州12分）29\n如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点O，∴c=0。又∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A、C，∴，解得。∴抛物线解析式为。（2）设点P的横坐标为t，∵PN∥CD，∴△OPN∽△OCD，可得PN=。∴P（t，）。∵点M在抛物线上，∴M（t，）。如图1，过M点作MG⊥AB于G，过P点作PH⊥AB于H，AG=yA﹣yM=2﹣，29\nBH=PN=。当AG=BH时，四边形ABPM为等腰梯形，∴，化简得3t2﹣8t+4=0。解得t1=2（不合题意，舍去），t2=，∴点P的坐标为（）。∴存在点P（），使得四边形ABPM为等腰梯形。（3）如图2，△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′，A′B′交x轴于T，交OC于Q，A′O′交x轴于K，交OC于R。由A、C的坐标可求得过A、C的直线为yAC=﹣x+3，设点A′的横坐标为a，则点A′（a，﹣a+3），易知△OQT∽△OCD，可得QT=。29\n∴点Q的坐标为（a，）。设AB与OC相交于点J，∵△A′RQ∽△AOJ，相似三角形对应高的比等于相似比，∴。∴。∴KT=A′T=（3﹣a），A′Q=yA′﹣yQ=（﹣a+3）﹣=3﹣a。∴S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=KT•A′T﹣A′Q•HT。∵＜0，∴在线段AC上存在点A′（），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为。29