九年级数学下册第二十七章相似本章中考演练同步练习新版新人教版

第二十七章相似一、选择题1．2022·内江已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1∶3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为(　　)A．1∶1B．1∶3C．1∶6D．1∶92．2022·绍兴学校门口的栏杆如图1所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为(　　)图1A．0.2mB．0.3mC．0.4mD．0.5m3．2022·临沂如图2，利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.4m，则建筑物CD的高是(　　)　图2A．9.3mB．10.5mC．12.4mD．14m4．2022·潍坊在平面直角坐标系中，P(m，n)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为(　　)A．(2m，2n)B．(2m，2n)或(－2m，－2n)8\nC．(m，n)D．(m，n)或(－m，－n)5．2022·宜宾如图3，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4.若AA′＝1，则A′D等于(　　)图3A．2B．3C.D.6．2022·泰州如图4，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(9，6)，AB⊥y轴，垂足为B，点P从原点O出发向x轴正方向运动，同时，点Q从点A出发向点B运动，当点Q到达点B时，点P，Q同时停止运动，若点P与点Q的速度之比为1∶2，则下列说法正确的是(　　)图4A．线段PQ始终经过点(2，3)B．线段PQ始终经过点(3，2)C．线段PQ始终经过点(2，2)D．线段PQ不可能始终经过某一定点二、填空题7．2022·嘉兴如图5，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，已知＝，则＝________．图58．2022·南充如图6，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F，若AD＝1，BD＝2，BC＝4，则EF＝________．　图68\n9．2022·岳阳《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“如图7，今有直角三角形，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是________步．图7三、解答题10．2022·杭州如图8，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.(1)求证：△BDE∽△CAD；(2)若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．图811．2022·安徽如图9，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点．(1)在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1(点A，B的对应点分别为A1，B1)，画出线段A1B1；(2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1；(3)以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是________个平方单位．图98\n12．2022·衢州如图10，已知AB为⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接BC交⊙O于点F，取的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EH⊥AB于点H.(1)求证：△HBE∽△ABC；(2)若CF＝4，BF＝5，求AC和EH的长．图1013．2022·宁波若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．(1)已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，请直接写出所有满足条件的AC的长；(2)如图11①，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC.求证：△ABC是比例三角形；(3)如图②，在(2)的条件下，当∠ADC＝90°时，求的值．图118\n详解详析1．[解析]D　∵△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1∶3，∴＝()2＝.故选D.2．[解析]C　由题意可知△ABO∽△CDO，根据相似三角形的性质可得＝，又AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，∴＝，解得CD＝0.4(m)．故选C.3．[解析]B　由题意知BE∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴＝，即＝，解得CD＝10.5(m)．故选B.4．[解析]B　当放大后的△A′O′B′与△AOB在原点O的同侧时，点P的对应点的坐标为(2m，2n)；当放大后的△A′O′B′与△AOB在原点O的异侧时，点P的对应点的坐标为(－2m，－2n)．故选B.5．[解析]A　如图，∵S△ABC＝9，S△A′EF＝4，且AD为BC边上的中线，∴S△A′DE＝S△A′EF＝2，S△ABD＝S△ABC＝.∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A′B′C′，∴A′E∥AB，∴△DA′E∽△DAB，∴＝，即＝，解得A′D＝2或A′D＝－(舍去)．故选A.6．[解析]B　解法一：如图，连接AO交PQ于点C，过点C作CD⊥AB于点D，∵AB⊥y轴，∴AB∥x轴，∴∠A＝∠COP，∠AQC＝∠OPC，∴△AQC∽△OPC，∴＝＝2，∴＝.同理可得CD＝BO＝4，AD＝AB＝6.∵点A的坐标为(9，6)，∴点C的坐标为(3，2)．即线段PQ始终经过点(3，2)．故选B.8\n解法二：当OP＝t时，点P的坐标为(t，0)，点Q的坐标为(9－2t，6)．设直线PQ的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将P(t，0)，Q(9－2t，6)代入y＝kx＋b，得解得∴直线PQ的解析式为y＝x＋.当x＝3时，y＝2，∴直线PQ始终经过点(3，2)．故选B.7．[答案]2[解析]由＝得＝＝，则＝2.因为直线l1∥l2∥l3，所以＝＝2.故答案为2.8．[答案][解析]∵DE∥BC，AD＝1，BD＝2，BC＝4，∴＝，即＝，解得DE＝.∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠FBC.又∵DE∥BC，∴∠FBC＝∠F，∴∠ABF＝∠F，∴BD＝DF＝2.∵DF＝DE＋EF，∴EF＝2－＝.故答案为：.9．[答案][解析]如图．设该直角三角形能容纳的正方形边长为x，则AD＝12－x，FC＝5－x.根据题意，得△ADE∽△EFC，∴＝，即＝，解得x＝.故答案为.10．解：(1)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.8\n∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，AD⊥BC.又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC，∴△BDE∽△CAD.(2)∵BC＝10，∴BD＝BC＝5.在Rt△ABD中，有AD2＋BD2＝AB2，∴AD＝＝12.∵△BDE∽△CAD，∴＝，即＝，∴DE＝.11．解：(1)如图所示，线段A1B1即为所求．(2)如图所示，线段A2B1即为所求．(3)由图可得，四边形AA1B1A2为正方形，∴四边形AA1B1A2的面积是()2＝()2＝20.故答案为：20.12．[解析](1)根据切线的性质可证明∠CAB＝∠EHB，由此即可解决问题；(2)连接AF.由△CAF∽△CBA，推出AC2＝CF·CB＝36，可得AC＝6，AB＝＝3，AF＝＝2，由Rt△AEF≌Rt△AEH，推出AF＝AH＝2.设EF＝EH＝x.在Rt△EHB中，可得(5－x)2＝x2＋()2，解方程即可解决问题．解：(1)证明：∵AC是⊙O的切线，∴CA⊥AB.∵EH⊥AB，∴∠EHB＝∠CAB.又∵∠EBH＝∠CBA，∴△HBE∽△ABC.(2)如图，连接AF.∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°.∵∠C＝∠C，∠CAB＝∠AFC，∴△CAF∽△CBA，∴＝，∴AC2＝CF·CB＝36，∴AC＝6，AB＝＝3，AF＝＝2.∵＝，∴∠EAF＝∠EAH.∵EF⊥AF，EH⊥AB，∴EF＝EH.又∵AE＝AE，∴Rt△AEF≌Rt△AEH，∴AF＝AH＝2.设EF＝EH＝x.在Rt△EHB中，(5－x)2＝x2＋()2，∴x＝2，∴EH＝2.13．解：(1)AC的长为或或.(2)证明：∵AD∥BC，8\n∴∠ACB＝∠CAD.又∵∠BAC＝∠ADC，∴△ABC∽△DCA，∴＝，即CA2＝BC·AD.∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD，∴CA2＝BC·AB，∴△ABC是比例三角形．(3)如图，过点A作AH⊥BD于点H.∵AB＝AD，∴BH＝BD.∵AD∥BC，∠ADC＝90°，∴∠BCD＝90°，∴∠BHA＝∠BCD＝90°.又∵∠ABH＝∠DBC，∴△ABH∽△DBC，∴＝，∴AB·BC＝DB·BH，∴AB·BC＝BD2.又∵AB·BC＝AC2，∴BD2＝AC2，∴＝.8