全国名校近两年(2022、2022)中考数学试卷分类汇编 相似形
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相似形一、选择题1(2022荆州中考模拟).在直角坐标系中,已知O(0,0),A(2,0),B(0,4),C(0,3),D为x轴上一点.若以D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似,这样的D点有()A.2个B.3个C.4个D.5个答案:C2、EABDFGC(图1)如图1,△ABC和△GAF是两个全等的等腰直角三角形,图中相似三角形(不包括全等)共有()A.1对B.2对C.3对D.4对答案:C3、ABCDEF(10题图)(杭州市2022年中考数学模拟)如图,在中,是斜边上两点,且将绕点顺时针旋转90°后,得到连接下列结论:①②③的面积等于四边形的面积;④⑤其中正确的是( )A.①②④B.③④⑤C.①③④D.①③⑤答案:C4、如图,在⊿ABC中,点D、E分别在AB、AC上,AD=3,DB=2,DE∥BC,则DE:BC的值是(A);(B);(C);(D).答案:D二、填空题1、(2022山东省德州四模)如图,△ABC,△DCE,△22\nGEF都是正三角形,且B,C,E,F在同一直线上,A,D,G也在同一直线上,设△ABC,△DCE,△GEF的面积分别为.当时,_____________答案:93、(2022上海市奉贤区调研试题)已知△中,点是△的重心,过点作∥,与相交于点,与相交于点,如果△的面积为9.那么△的面积是.答案:44、2022江西高安)长为1,宽为a的矩形纸片(),如图那样折一下,剪下一个边长等于矩形宽度的正方形(称为第一次操作);再把剩下的矩形如图那样折一下,剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形(称为第二次操作);如此反复操作下去.若在第n此操作后,剩下的矩形为正方形,则操作终止.当n=3时,a的值为_____________.第一次操作第二次操作答案:5、(2022年,瑞安市模考)如图,中,,两点分别在边上,且与不平行.请填上一个你认为合适的条件:,使.(不再添加其他的字母和线段)1DCE2BA答案:或或6、(2022学年度九年级第二学期普陀区期终调研)如图,在△ABC中,DE∥BC,如果DE=1,BC=4,那么△与△面积的比是.22\n答案:7马鞍山六中2022中考一模).如图,△ABC中,CD⊥AB于D,由下列条件中的某一个就能推出△ABC是直角三角形的是__________________.(把所有正确答案的序号都填写在横线上)一定能确定①ACD=∠B;②∠A∶∠B∶∠C=4∶3∶5;②③AC·BC=AB·CD;④.答案:①③④8(2022年上海金山区中考模拟)如果线段AB=4cm,点P是线段AB的黄金分割点,那么较长的线段BP=cm.答案:;9、(2022年上海金山区中考模拟如图,已知AD为△ABC的角平分线,交AC于E,如果,那么=.答案:MADNECB图4M10、(盐城市亭湖区2022年第一次调研考试)如图4,正方形ABCD的边长为2,AE=EB,MN=1,线段MN的两端在CB、CD上滑动,当CM=时,△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似。答案CM=或CM=;三、解答题1、(2022广西贵港)(本题满分12分)如图所示,在平面直角坐标系中,顶点为(,)的抛物线交轴于点,交轴于,两点(点在点的左侧),已知点坐标为(,).(1)求此抛物线的解析式;(2)过点作线段的垂线交抛物线于点,22\n如果以点为圆心的圆与直线相切,请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系,并给出证明;(3)已知点是抛物线上的一个动点,且位于,两点之间,问:当点运动到什么位置时,的面积最大?并求出此时点的坐标和的最大面积.答案:解:(1)设抛物线为.……………1分∵抛物线经过点(0,3),∴.∴.……………2分∴抛物线为.……………………………3分(2)答:与⊙相交…………………………………………………………………4分证明:当时,,.∴为(2,0),为(6,0).∴.…………………5分设⊙与相切于点,连接,则.∵,∴.又∵,∴.∴∽.……6分∴.∴.∴.…………………………7分∵抛物线的对称轴为,∴点到的距离为2.∴抛物线的对称轴与⊙相交.……………………………………………8分(3)解:如图,过点作平行于轴的直线交于点。可求出的解析式为.…………………………………………9分设点的坐标为(,),则点的坐标为(,).∴.……………10分∵,∴当时,的面积最大为.……………11分此时,点的坐标为(3,).………12分22\n2、(2022年上海市黄浦二模)如图9,已知中,,,,是边上的中点,是边上的点(不与端点重合),是边上的点,且∥,延长与直线相交于点,点是延长线上的点,且,联结,设,.(1)求关于的函数关系式及其定义域;图9(2)联结,当以为半径的和以为半径的外切时,求的正切值;(3)当与相似时,求的长.备用图b备用图a答案:解:(1)∵∥,∴,……………………………………(2分)∵,,,∴,∵是边上的中点,∴,………………………………………(1分)∵,,∴,∴.………(2分)(2)∵以为半径的和以为半径的外切,∴,又,∴,…………………(1分)∴,又,∴,∵,∴,∴,又,∴≌,∴,…………………(1分)∵,∴,∴,…………………………(1分)∵,,是边上的中点,∴,(1分)∵∥,∴,∴,∴,…(1分)(3)∵,当与相似时,22\n①若时,过点作,垂足为点.∴,∴,∴,………………………(1分)又,∴.………………………………………………………(1分)②若时,过点作,垂足为点.∴,∴,∴,……………………………………(1分)又,∴.………………………………………………………(1分)综上所述,当与相似时,的长为2或.(以上各题,若有其他解法,请参照评分标准酌情给分)3、(2022年上海市浦东新区中考预测)已知:如图,点D、E分别在线段AC、AB上,.(1)求证:⊿AEC∽⊿ADB;(2)AB=4,DB=5,sinC=,求.答案:证明:(1)∵∴……………………………………(2分)又∵∠DAB=∠EAC,∴⊿AEC∽⊿ADB.……………………………………(2分)解(2)∵⊿AEC∽⊿ADB,∴∠B=∠C.…………………………………………(2分)过点A作BD的垂线,垂足为F,则………………………(2分)∴……………(2分)4、(2022学年度九年级第二学期普陀区期终调研)如图,四边形中,,点在的延长线上,联结,交于点,联结DB,,且.22\n(1)求证:;(2)当平分时,求证:四边形是菱形.答案:(1)证明:∵,∴.…………………………………………(2分)∵,…………………………………………(1分)∴∽.………………………………………(1分)∴.……………………………………………(1分)(2)∵,又∵,∴.………………………………………………(1分)∴.………………………………………………(1分)又∵,∴四边形是平行四边形………………………………………(1分)∵,∴.……………………………………………(1分)∵平分,∴.…………………………………………(1分)∴.∴.……………………………………………(1分)∴四边形是菱形.……………………………………………………(1分)5、(2022石家庄市42中二模)操作:如图,在正方形ABCD中,P是CD上一动点(与C、D不重合),使三角板的直角顶点与点P重合,并且一条直角边始终经过点B,另一直角边与正方形的某一边所在直线交于点E.22\n探究:①观察操作结果,哪一个三角形与△BPC相似,写出你的结论,(找出两对即可);并选择其中一组说明理由;②当点P位于CD的中点时,直接写出①中找到的两对相似三角形的相似比和面积比.答案:分两种情况:①如图(1),∵∠BPE=90°,∴∠BPC+∠DPE=90°,又∠BPC+∠PBC=90°,∴∠PBC=∠DPE,又∠C=∠D=90°,∴△BPC∽△PED.如图(2),同理可证△BPC∽△BEP∽△PCE.
②如图(1),∵△BPC∽△PED,∴△PED与△BPC的周长比等于对应边的比,即PD与BC的比,∵点P位于CD的中点,∴PD与BC的比为1:2,∴△PED与△BPC的周长比1:2,△PED与△BPC的面积比1:4如图(2),∵△BPC∽△BEP,∴△BEP与△BPC的周长比等于对应边的比,即BP与BC的比,∵点P位于CD的中点,22\n设BC=2k,则PC=k,BP=k,∴BP与BC的比为:2,△BEP与△BPC的周长比为:2,△BEP与△BPC的面积比为5:4.同理:△PCE∽△BPC,周长比1:2,面积比1:4.66、(2022年江西南昌十五校联考)如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2;(1)先作△ABC关于直线成轴对称的图形,再向上平移1个单位,得到△A1B1C1;(2)以图中的O为位似中心,将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍,得到△A2B2C2.答案:解:如图:(1)…………………2分(2)……………………………4分22\n7、(2022年上海黄浦二模)(本题满分14分)如图,已知△中,,,,是边上的中点,是边上的点(不与端点重合),是边上的点,且∥,延长与直线相交于点,点是延长线上的点,且,联结,设,.(1)求关于的函数关系式及其定义域;(2)联结,当以为半径的和以为半径的外切时,求的正切值;(3)当与相似时,求的长.备用图a备用图b答案:解:(1)∵∥,∴,(2分)∵,,,∴,∵是边上的中点,∴,(1分)∵,,∴,∴(2分)22\n解:(2)∵以为半径的和以为半径的外切,∴,又,∴,(1分)∴,又,∴,∵,∴,∴,又,∴≌,∴,(1分)∵,∴,∴,(1分)∵,,是边上的中点,∴,(1分)∵∥,∴,∴,∴,(1分)(3)∵,当与相似时,①若时,过点作,垂足为点.∴,∴,∴,(1分)又,∴(1分)②若时,过点作,垂足为点.∴,∴,22\n∴,(1分)又,∴(1分)综上所述,当与相似时,的长为2或.(以上各题,若有其他解法,请参照评分标准酌情给分)8(2022山东省德州四模)在直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(2,2),点C是线段OA上的一个动点(不运动至O,A两点),过点C作CD⊥x轴,垂足为D,以CD为边在右侧作正方形CDEF.连接AF并延长交x轴的正半轴于点B,连接OF,设OD=t.⑴求tan∠FOB的值;⑵用含t的代数式表示△OAB的面积S;⑶是否存在点C,使以B,E,F为顶点的三角形与△OFE相似,若存在,请求出所有满足要求的B点的坐标;若不存在,请说明理由.答案:解:(1)∵A(2,2)∴∠AOB=45°∴CD=OD=DE=EF=∴……………………(2分)(2)由△ACF~△AOB得∴∴……………………(4分)(3)要使△BEF与△OFE相似,∵∠FEO=∠FEB=90°∴只要或即:或①当时,,22\n∴∴(舍去)或∴B(6,0)…………………(2分)①当时,(Ⅰ)当B在E的左侧时,,∴∴(舍去)或∴B(1,0)……………(2分)(Ⅱ)当B在E的右侧时,,∴∴(舍去)或∴B(3,0)……………(2分)9、(2022山东省德州四模)如图,梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=8,CD=6,BC=4,AB边上有一动点P(不与A、B重合),连结DP,作PQ⊥DP,使得PQ交射线BC于点E,设AP=x.⑴当x为何值时,△APD是等腰三角形?⑵若设BE=y,求y关于x的函数关系式;⑶若BC的长可以变化,在现在的条件下,是否存在点P,使得PQ经过点C?若存在,求出相应的AP的长;若不存在,请说明理由,并直接写出当BC的长在什么范围内时,可以存在这样的点P,使得PQ经过点C.ABCDPQEABCD(备用图2)ABCD(备用图1)ABCDQEHP答案:解:(1)过D点作DH⊥AB于H,则四边形DHBC为矩形,∴DH=BC=4,HB=CD=6∴AH=2,AD=2…………………1分∵AP=x,∴PH=x-2,情况①:当AP=AD时,即x=2……………………………2分情况②:当AD=PD时,则AH=PH∴2=x-2,解得x=4………………………………………………………·3分情况③:当AP=PD时,则Rt△DPH中,x2=42+(x-2)2,解得x=5…………………………………4分∵2<x<8,∴当x为2、4、5时,△APD是等腰三角形…………………………5分⑵易证:△DPH∽△PEB………………………………………………………………7分∴,∴整理得:y=(x-2)(8-x)=-x2+x-4………8分⑶若存在,则此时BE=BC=4,即y=-x2+x-4=4,整理得:x2-10x+32=0∵△=(-10)2-4×32<0,∴原方程无解,……………………………………………9分∴不存在点P,使得PQ经过点C……………………………………………………10分当BC满足0<BC≤3时,存在点P,使得PQ经过点C……………………………12分22\n相似形一、选择题1、(2022江苏东台实中)在直角三角形中,各边都扩大2倍,则锐角A的正弦值()A、缩小2倍B、扩大2倍 C、不变 D、不能确定答案:C2、(2022·温州市中考模拟)如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=2,AB=6,DE=3,则BC的长为A.9B.6C.4D.3答案:A3、(2022·湖州市中考模拟试卷3)如果两个相似三角形的相似比是1∶2,那么它们的面积比是().A.1∶2B.1∶C.1∶4D.2∶1答案:C4、6.(2022年河北二摸)两个相似三角形的面积比是9∶16,则这两个三角形的相似比是A.9∶16B.3∶4C.9∶4D.3∶16答案:B二、填空题1、(2022·湖州市中考模拟试卷1)在比例尺为1:2000的地图上测得A、B两地间的图上距离为5cm,则A、B两地间的实际距离为________m.答案:1002、(2022·湖州市中考模拟试卷7)与的比例中项是.答案:±13、(2022年河南西华县王营中学一摸)如图,已知△ABC的面积是的等边三角形,△ABC∽△ADE,AB=2AD,∠BAD=45°,AC与DE相交于点F,则△AEF的面积等于__________(结果保留根号).答案:22\n三、解答题1、(2022安徽芜湖一模)如图,已知:直线y=-x+3交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C(1,0)三点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点D的坐标为(-1,0),在直线y=-x+3上有一点P,使ΔABO与ΔADP相似,求出点P的坐标;(3)在(2)的条件下,在x轴下方的抛物线上,是否存在点E,使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积?如果存在,请求出点E的坐标;如果不存在,请说明理由.(本小题满分12分)解:(1):由题意得,A(3,0),B(0,3)∵抛物线经过A、B、C三点,∴把A(3,0),B(0,3),C(1,0)三点分别代入得方程组解得:∴抛物线的解析式为……………………………(4分)(2)由题意可得:△ABO为等腰三角形,如图所示,若△ABO∽△AP1D,则∴DP1=AD=4,∴P1若△ABO∽△ADP2,过点P2作P2M⊥x轴于M,AD=4,∵△ABO为等腰三角形,∴△ADP2是等腰三角形,由三线合一可得:DM=AM=2=P2M,即点M与点C重合∴P2(1,2)……………………(8分)(3)如图设点E,则22\n①当P1(-1,4)时,S四边形AP1CE=S三角形ACP1+S三角形ACE=∴∴∵点E在x轴下方∴代入得:,即∵△=(-4)2-4×7=-12<0∴此方程无解②当P2(1,2)时,S四边形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE=∴∴∵点E在x轴下方∴代入得:即,∵△=(-4)2-4×5=-4<0∴此方程无解综上所述,在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E。………………………………(14分)2、(2022江苏射阴特庸中学)如图a,在平面直角坐标系中,A(0,6),B(4,0).(1)按要求画图:在图a中,以原点O为位似中心,按比例尺1:2,将△AOB缩小,得到△DOC,使△AOB与△DOC在原点O的两侧;并写出点A的对应点D的坐标为,点B的对应点C的坐标为;(2)已知某抛物线经过B、C、D三点,求该抛物线的函数关系式,并画出大致图象;(3)连接DB,若点P在CB上,从点C向点B以每秒1个单位运动,点Q在BD上,从点B向点D以每秒1个单位运动,若P、Q两点同时分别从点C、点B点出发,经过t秒,当t为何值时,△BPQ是等腰三角形?答案:(1)画图1分;C(-2,0),D(0,-3).……3分(2)∵C(-2,0),B(4,0).设抛物线y=a(x+2)(x-4),将D(0,-3)代入,得a=3/8.……5分∴y=3/8(x+2)(x-4),即y=3/8x2-3/4x-3.……6分22\n大致图象如图所示.……7分(3)设经过ts,△BPQ为等腰三角形,此时CP=t,BQ=t,∴BP=6-t.∵OD=3,OB=4,∴BD=5.①若PQ=PB,过P作PH⊥BD于H,则BH=1/2BQ=1/2t,由△BHP∽△BOD,得BH:BO=BP:BD,∴t=48/13s.……9分②若QP=QB,过Q作QG⊥BC于G,BG=1/2(6-t).由△BGQ∽△BOD,得BG:BO=BQ:BD,∴t=30/13s.……10分③若BP=BQ,则6-t=t,t=3s.……11分∴当t=48/13s或30/13s或3s时,△BPQ为等腰三角形.……12分3、(2022温州市一模)如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,D是⊙O上一点,且AD∥OC.(1)求证:△ADB∽△OBC.(2)若AB=6,BC=4.求AD的长度.(结果保留根号)答案:证明:(1)∵AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,∴∠D=∠OBC=90°∵AD∥OC[∴∠A=∠COB∴△ADB∽△OBC(2)∵AB=6,∴OB=3,∵BC=4,∵△ADB∽△OBC[∴4、(2022年深圳育才二中一摸)如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为点E,CF⊥AF,且CF=CE.(1)求证:CF是⊙O的切线;(2)若sin∠BAC=,求的值.答案:22\n(1)证明:连接OC.∵CE⊥AB,CF⊥AF,CE=CF,∴AC平分∠BAF,即∠BAF=2∠BAC…………1分∵∠BOC=2∠BAC…………………………2分∴∠BOC=∠BAF∴OC∥AF…………………………………………3分∴CF⊥OC.∴CF是⊙O的切线…………………………4分(2)解:∵AB是⊙O的直径,CD⊥AB,∴CE=ED,∠ACB=∠BEC=90°.…………………………5分∴S△CBD=2S△CEB,∠BAC=∠BCE,∴△ABC∽△CBE………………………………………6分∴==(sin∠BAC)2==.…………………………7分∴=…………………………8分5、(2022年广西南丹中学一摸)如图,已知矩形纸片ABCD,AD=2,AB=4.将纸片折叠,使顶点A与边CD上的点E重合,折痕FG分别与AB,CD交于点G,F,AE与FG交于点O.(1)如图1,求证:A,G,E,F四点围成的四边形是菱形;(2)如图2,当△AED的外接圆与BC相切于点N时,求证:点N是线段BC的中点;(3)如图2,在(2)的条件下,求折痕FG的长.第25题图【解答】(1)(3分)由折叠的性质可得,GA=GE,∠AGF=∠EGF,∵DC∥AB,∴∠EFG=∠AGF,∴∠EFG=∠EGF,22\n∴EF=EG=AG,∴四边形AGEF是平行四边形(EF∥AG,EF=AG),又∵AG=GE,∴四边形AGEF是菱形.………………3分
(2)(3分)连接ON,∵△AED是直角三角形,AE是斜边,点O是AE的中点,△AED的外接圆与BC相切于点N,∴ON⊥BC,∵点O是AE的中点,∴ON是梯形ABCE的中位线,∴点N是线段BC的中点.………………6分(3)(4分)解法一:作OM⊥AB于M,则四边形OMBN是矩形。∴OM=BN=12BC=1令ON=x,则由(2)得OE=OA=ON=MB=x(外接圆半径),∵AM=AB-MB=4-x在Rt△AOM中,由勾股定理得:OA2=AM2+OM2即x2=(4-x)2+12解之得:x=∴AM=4-=又∵Rt△AOM∽Rt△EFO∴=即=∴OF=∴FG=2OF=………………………………10分解法二:(4分)延长NO交AD于H,则AH=BN=1,NH=4令ON=x,则由(2)得OE=OA=ON=x(外接圆半径),∵OH=4-x在Rt△AOH中,由勾股定理得:OA2=AH2+OH222\n即x2=12+(4-x)2解之得:x=∴HO=4-=又∵Rt△AOM∽Rt△EFO∴=即:=∴OF=∴FG=2OF=…………………………………………10分6、(2022年河北二摸)探究一:如图1,正△ABC中,E为AB边上任一点,△CDE为正三角形,连结AD,猜想AD与BC的位置关系,并说明理由.探究二:如图2,若△ABC为任意等腰三角形,AB=AC,E为AB上任一点,△CDE为等腰三角形,DE=DC,且∠BAC=∠EDC,连接AD,猜想AD与BC的位置关系,并说明理由.ADBCE图1ADBCE图2答案:解(1)…………………………………………………………1分ADBCE(8-2)123与为正三角形…………………………………………………………2分在与中………………………………………………3分…………………………………………………4分22\n…………………………………………………………5分ADBCE(8-3)231(2)与为等腰三角形,且∠BAC=∠EDC即……………………………………………………7分……………………………………………………8分又………………………………………………………………10分7、(2022年河北二摸)如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.(1)求证:PC是⊙O的切线;(2)求证:;(3)点是弧AB的中点,CM交AB于点N,若AB=4,求MN·MC的值.ABCPONM解:(1),又,.…………………………2分又是的直径,,,即,…………3分而是的半径,是的切线.………………………………………………4分(2),,又,∴∠AOB=∠CBO……………………………………………………6分∴BC=OC∴BC=AB……………………………………………………7分(3)连接,……………………………………………………………………8分22\n点是弧AB的中点,∴=,,∵,,…………………………9分又∵,,,∴BM=MN·MC,…………………………………10分又是的直径,=,.…………………………………………………………11分∴MN·MC=BM=()=8……………………………………………………12分22
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