全国名校近两年(2022、2022)中考数学试卷分类汇编 相似的应用
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相似的应用一、选择题1、(第10题)10.如图,△ABC中,点DE分别是ABC的中点,则下列结论:①BC=2DE;②△ADE∽△ABC;③.其中正确的有【】(A)3个(B)2个(C)1个(D)0个答案:AABOCD(第4题)2、如图,AB∥CD,AD,BC相交于O点,∠BAD=35°,∠BOD=76°,则∠C的度数是()A.31° B.35°C.41°D.76°答案:C3、平面直角坐标系中,已知点O(0,0)、A(0,2)、B(1,0),点P是反比例函数图象上的一个动点,过点P作PQ⊥x轴,垂足为点Q.若以点O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似,则相应的点P共有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案:D4、(2022年中考数学新编及改编题试卷)图(1)、图(2)、图(3)分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图。已知;甲的路线为:A®C®B。乙的路线为:A®D®E®F®B,其中E为AB的中点。丙的路线为:A®G®H®K®B,其中H在AB上,且AH>HB。若符号「®」表示「直线前进」,则根据图(1)、图(2)、图(3)的数据,则三人行进路线长度的大小关系为()(A)甲=乙=丙(B)甲<乙<丙(C)乙<丙<甲(D)丙<乙<甲ABCABDABGI50°EF60°70°50°60°70°50°60°70°50°60°70°50°60°70°HK图(1)图(2)图(3)答案:A11\n5、(2022广西贵港)小刚身高,测得他站立在阳光下的影子长为,紧接着他把手臂竖直举起,测得影子长为,那么小刚举起的手臂超出头顶A.B.C.D.答案:A二、填空题1、(2022四川省泸县福集镇青龙中学一模)如图,为了测量某棵树的高度,小明用长为2m的竹竿做测量工具,移动竹竿,使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.第1题图此时,竹竿与这一点距离相距6m,与树相距15m,则树的高度为_________m.答案:72、[淮南市洞山中学第四次质量检测,12,5分]将一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点的连线对折,要使矩形AEFB与原矩形相似,则原矩形的长和宽的比应为 答案:3、(杭州市2022年中考数学模拟)已知△ABC与△DEF相似且相似比为3︰5,则△ABC与△DEF的面积比为.答案:9︰25;4、(盐城市亭湖区2022年第一次调研考试)如图4,正方形ABCD的边长为2,AE=EB,MN=1,线段MN的两端在CB、CD上滑动,当CM=时,△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似。答案CM=或CM=;ABCDEO5、(2022年,瑞安市模考)如图,在半圆O中,直径AE=10,四边形ABCD是平行四边形,且顶点A、B、C在半圆上,点D在直径AE上,连接CE,若AD=8,则CE长为.答案:11\n6、(2022年春期福集镇青龙中学中考模拟)如图,为了测量某棵树的高度,小明用长为2m的竹竿(第1题)做测量工具,移动竹竿,使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时,竹竿与这一点距离相距6m,与树相距15m,则树的高度为_________m.答案15.7三、解答题1、(海南省2022年中考数学科模拟)(本题满分13分)如图,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点,交y轴于点C,对称轴为直线x=1,已知:A(-1,0)、C(0,-3)。(1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式;(2)求△AOC和△BOC的面积比;ABOC-11yx第24题图(3)在对称轴上是否存在一个P点,使△PAC的周长最小。若存在,请你求出点P的坐标;若不存在,请你说明理由。答案:解:(1)∵抛物线与x轴交于A(-1,0)、B两点,且对称轴为直线x=1,∴点B的坐标为(3,0),∴可设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)…………2分yABOC-11x第24题图PD又∵抛物线经过点C(0,-3),∴-3=a(0+1)(0-3)∴a=1,∴所求抛物线的解析式为y=(x+1)(x-3),即y=x2-2x-3…………………………4分(2)依题意,得OA=1,OB=3,∴S△AOC∶S△BOC=OA·OC∶OB·OC=OA∶OB=1∶3…………………………………8分(3)在抛物线y=x2-2x-3上,存在符合条件的点P。…9分解法1:如图,连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC。∵AC长为定值,∴要使△PAC的周长最小,只需PA+PC最小。∵点A关于对称轴x=1的对称点是点B(3,0),抛物线y=x2-2x-3与y轴交点C的坐标为(0,3)∴由几何知识可知,PA+PC=PB+PC为最小。…………11分设直线BC的解析式为y=kx-3,将B(3,0)代入得3k-3=0∴k=1。∴y=x-3∴当x=1时,y=-2.∴点P的坐标为(1,-2)……………13分11\n解法2:如图,连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC。设直线x=1交x轴于D∵AC长为定值,∴要使△PAC的周长最小,只需PA+PC最小。∵点A关于对称轴x=1的对称点是点B(3,0),抛物线y=x2-2x-3与y轴交点C的坐标为(0,3)∴由几何知识可知,PA+PC=PB+PC为最小。…………11分∵OC∥DP∴△BDP∽△BOC。∴即∴DP=2……12分∴点P的坐标为(1,-2)………………………………………………13分2、(盐城市亭湖区2022年第一次调研考试)(本题满分14分)如图12,在△ABC中,∠ACB=,AC=BC=2,M是边AC的中点,CH⊥BM于H.(1)试求sin∠MCH的值;(2)求证:∠ABM=∠CAH;(3)若D是边AB上的点,且使△AHD为等腰三角形,请直接写出AD的长为________.MABCDH(图12)解:(1)在△MBC中,∠MCB=,BC=2,又∵M是边AC的中点,∴AM=MC=BC=1,——————————————————(1分)∴MB=,————————————————(1分)又CH⊥BM于H,则∠MHC=,∴∠MCH=∠MBC,——————————————————(1分)∴sin∠MCH=.————————————————(1分)(2)在△MHC中,.———————(1分)∴AM2=MC2=,即,————————(2分)又∵∠AMH=∠BMA,∴△AMH∽△BMA,——————————————————(1分)∴∠ABM=∠CAH.——————————————————(1分)11\n(3)、、.—————————————————(5分)3.(2022年江苏南通三模)小明和几位同学做手的影子游戏时,发现对于同一物体,影子的大小与光源到物体的距离有关.因此,他们认为:可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置.于是,他们做了以下尝试.(1)如图①,垂直于地面放置的正方形框架ABCD,边长AB为30cm,在其正上方有一灯泡,在灯泡的照射下,正方形框架的横向影子A′B,D′C的长度和为6cm.那么灯泡离地面的高度为.第1题图图①图②图③(2)不改变①中灯泡的高度,将两个边长为30cm的正方形框架按图②摆放,请计算此时横向影子A′B,D′C的长度和为多少?(3)有n个边长为a的正方形按图③摆放,测得横向影子A′B,D′C的长度和为b,求灯泡离地面的距离.(写出解题过程,结果用含a,b,n的代数式表示)答案:27.(1)180cm.(2)12cm.(3)记灯泡为点P,如图∵AD∥A′D′,∴∠PAD=∠PA′D′,∠PDA=∠PD′A′.∴△PAD∽△PA′D′.根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质,可得11\n设灯泡离地面距离为由题意,得PM=,PN=AD=,A′D′=,∴4、(2022江苏无锡前洲中学模拟)如图1,在△ABC中,AB=BC=5,AC=6.△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的,连接AE.AC和BE相交于点O.(1)判断四边形ABCE是怎样的四边形,说明理由;(2)如图2,P是线段BC上一动点(图2),(不与点B、C重合),连接PO并延长交线段AE于点Q,QR⊥BD,垂足为点R.①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化?若变化,请说明理由;若不变,求出四边形PQED的面积;②当线段BP的长为何值时,△PQR与△BOC相似?(第1题图1)1COEDBA(备用图)1COEDBARPQCOEDBA(第1题图2)答案:(1)菱形(证明略)---------------3分HC图②ABDMFEGK(2)①四边形PQED的面积不发生变化,理由如下:由菱形的对称性知,△PBO≌△QEO,∴S△PBO=S△QEO,∵△ECD是由△ABC平移得到得,∴ED∥AC,ED=AC=6,又∵BE⊥AC,∴BE⊥ED,∴S四边形PQED=S△QEO+S四边形POED=S△PBO+S四边形POED=S△BED(第28题1)PQCHROEDBA=×BE×ED=×8×6=24.---------------6分(第28题2)PQCROEDBA132G11\n②如图2,当点P在BC上运动,使△PQR与△COB相似时,∵∠2是△OBP的外角,∴∠2>∠3,∴∠2不与∠3对应,∴∠2与∠1对应,即∠2=∠1,∴OP=OC=3,过O作OG⊥BC于G,则G为PC的中点,△OGC∽△BOC,∴CG:CO=CO:BC,即:CG:3=3:5,∴CG=,∴PB=BC-PC=BC-2CG=5-2×=.∴BD=PB+PR+RF+DF=x++x+=10,x=.---------------10分5.(2022荆门东宝区模拟)在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,将△ABC绕顶点C顺时针旋转,旋转角为(0°<<180°),得到△A1B1C.AA1ACCCA1A1ADB1BBBB1B1EP图1图2图3(第2题图)(1)如图1,当AB∥CB1时,设A1B1与BC相交于点D.证明:△A1CD是等边三角形;(2)如图2,连接AA1、BB1,设△ACA1和△BCB1的面积分别为S1、S2.求证:S1∶S2=1∶3;(3)如图3,设AC的中点为E,A1B1的中点为P,AC=a,连接EP.当等于多少度时,EP的长度最大,最大值是多少?答案:(1)易求得,,因此得证.(2)易证得∽,且相似比为,得证.(3)120°,(当E,C,P三点在一条直线上时,即可求解)6、(2022山东省德州一模)一天晚上,身高1.6米的张雅婷发现:当她离路灯底脚(B)12米时,自己的影长(CD)刚好为3米,当她继续背离路灯的方向再前进2米(到达点F11\n)时,她说自己的影长是(FH)5米。你认为张雅婷说的对吗?若她说的对,请你说明理由;若她说的不对,请你帮她求出她的影长(FH).第21题图答案:解:张雅婷说的不对…………1’如图,∵AB⊥BD,GC⊥BD∴GC∥AB∴△DGC∽△DAB∴……5’解之得:AB=8………………………7’同理可证:…………9’解之得:HF=3.5……………………………………………11’即张雅婷再继续沿背离灯光的方向前进2米,她的影长应为3.5米……………12’相似的应用一、选择题1、(2022吉林镇赉县一模)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,对角线AC,BD相交于点O,若AD=1,BC=3,则S△AOD:S△BOC等于()1题图A.B.C.D.答案:D2、(2022山西中考模拟六)如图,是的中位线,则与的面积之比是()BACEDA.1:1B.1:2C.1:3D.1:4答案:D二、解答题1、(2022江苏射阴特庸中学)如图,AB是⊙O的直径,点A、11\nC、D在⊙O上,过D作PF∥AC交⊙O于F、交AB于E,且∠BPF=∠ADC.(1)判断直线BP和⊙O的位置关系,并说明你的理由;(2)当⊙O的半径为,AC=2,BE=1时,求BP的长.答案:(1)直线BP和⊙O相切.……1分理由:连接BC,∵AB是⊙O直径,∴∠ACB=90°.……2分∵PF∥AC,∴BC⊥PF,则∠PBH+∠BPF=90°.……3分∵∠BPF=∠ADC,∠ADC=∠ABC,得AB⊥BP,……4分所以直线BP和⊙O相切.……5分(2)由已知,得∠ACB=90°,∵AC=2,AB=2,∴BC=4.……6分∵∠BPF=∠ADC,∠ADC=∠ABC,∴∠BPF=∠ABC,由(1),得∠ABP=∠ACB=90°,∴△ACB∽△EBP,……8分∴=,解得BP=2.即BP的长为2.……10分2、(2022江苏射阴特庸中学)如图a,在平面直角坐标系中,A(0,6),B(4,0).(1)按要求画图:在图a中,以原点O为位似中心,按比例尺1:2,将△AOB缩小,得到△DOC,使△AOB与△DOC在原点O的两侧;并写出点A的对应点D的坐标为,点B的对应点C的坐标为;(2)已知某抛物线经过B、C、D三点,求该抛物线的函数关系式,并画出大致图象;(3)连接DB,若点P在CB上,从点C向点B以每秒1个单位运动,点Q在BD上,从点B向点D以每秒1个单位运动,若P、Q两点同时分别从点C、点B点出发,经过t秒,当t为何值时,△BPQ是等腰三角形?答案:(1)画图1分;C(-2,0),D(0,-3).……3分(2)∵C(-2,0),B(4,0).设抛物线y=a(x+2)(x-4),将D(0,-3)代入,得a=3/8.……5分∴y=3/8(x+2)(x-4),即y=3/8x2-3/4x-3.……6分11\n大致图象如图所示.……7分(3)设经过ts,△BPQ为等腰三角形,此时CP=t,BQ=t,∴BP=6-t.∵OD=3,OB=4,∴BD=5.①若PQ=PB,过P作PH⊥BD于H,则BH=1/2BQ=1/2t,由△BHP∽△BOD,得BH:BO=BP:BD,∴t=48/13s.……9分②若QP=QB,过Q作QG⊥BC于G,BG=1/2(6-t).由△BGQ∽△BOD,得BG:BO=BQ:BD,∴t=30/13s.……10分③若BP=BQ,则6-t=t,t=3s.……11分∴当t=48/13s或30/13s或3s时,△BPQ为等腰三角形.……12分3、(2022年河北三摸)如图,梯形是一个拦河坝的截面图,坝高为6米.背水坡的坡度i为1∶1.2,为了提高河坝的抗洪能力,防汛指挥部决定加固河坝,若坝顶加宽0.8米,新的背水坡的坡度为1∶1.4.河坝总长度为4800米.(1)求完成该工程需要多少方土?(2)某工程队在加固600米后,采用新的加固模式,这样每天加固长度是原来的2倍,结果只用9天完成了大坝加固的任务。请你求出该工程队原来每天加固的米数.CDEAFB第22题图答案:(本小题满分8分)解:(1)作DG⊥AB于G,作EH⊥AB于H.∵CD∥AB,∴EH=DG=6米,∵,∴AG=7.2米,……………1分∵,∴FH=8.4米,………………2分∴FA=FH+GH-AG=8.4+0.8-7.2=2(米)…………3分∴SADEF=.V=8.4×4800=4032(立方米).……………………………………4分(2)设原来每天加固x米,根据题意,11\n得:去分母,得1200+4200=18x(或18x=5400)解得.检验:当时,(或分母不等于0).∴是原方程的解.答:该工程队原来每天加固300米……………………………8分11
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