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四川省成都市状元廊学校2022届中考数学思维方法讲义 第14讲 代数

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第14讲代数反比例函数与二次函数的相关知识是期末考试重点,二次函数的考察也是一难点,所以本次专题以这二者的讲解与训练为主。【典例精析】●专题一一元二次方程考点1:一元二次方程的根的判别式、韦达定理、根的定义以及整体思想【例1】1、方程有两个实数根,则k的取值范围是.2、已知是方程的根,则代数式的值为.考点2:一元二次方程的应用【例2】“低碳生活,绿色出行”,自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具。某运动商城的自行车销售量自2022年起逐月增加,据统计,该商城1月份销售自行车64辆,3月份销售了100辆。(1)若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同,问该商城4月份卖出多少辆自行车?(2)考虑到自行车需求不断增加,该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车,已知A型车的进价为500元/辆,售价为700元/辆,B型车进价为1000元/辆,售价为1300元/辆。根据销售经验,A型车不少于B型车的2倍,但不超过B型车的2.8倍。假设所进车辆全部售完,为使利润最大,该商城应如何进货?●专题二反比例函数和二次函数考点1:反比例函数图像及性质应用【例3】1、如图,矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点,矩形的边分别平行于坐标轴,点C在反比例函数的图象上。若点A的坐标为(-2,-2),则k的值为()A.1B.-3C.4D.1或-32、如图,直线与反比例函数的图象在第一象限内交于A、B两点,交x轴的正半轴于C点,若AB:BC=(m-1):1(m>1),则△OAB的面积(用m表示)为.图1图2图33、如图,M为双曲线上的一点,过点M作x轴、y轴的垂线,分别交直线于D、C两点,若直线与y轴交与点A,与x轴交与点B,则AD·BC的值为。考点2:规律探索【例4】1、如图12,一段抛物线:y=-x(x-3)(0≤x≤3),记为C1,它与x轴交于点O,A1;将C1绕点A1旋转180°得C2,交x轴于点A2;将C2绕点A2旋转180°得C3,交x轴于点A3;……如此进行下去,直至得C13.若P(37,m)在第13段抛物线C13上,则m=_________.2、如图,点P1(x1,y1),点P2(x2,y2),…,点Pn(xn,yn)在函数(x>0)的图象上,△P1OA1,△P2A1A2,△P3A2A3,…,△PnAn﹣1An都是等腰直角三角形,斜边OA1、A1A2、A2A3,…,An﹣1An都在x轴上(n是大于或等于2的正整数),则点P3的坐标是;点Pn的坐标是(用含n的式子表示).考点3:反比列函数与一次函数的综合运用-9-\n【例5】如图,矩形的顶点分别在轴和轴上,点的坐标为。双曲线的图像经过的中点,且与交于点,连接。(1)求的值及点的坐标;(2)若点是边上一点,且,求直线的解析式。【例6】如图,已知矩形OABC中,OA=2,AB=4,双曲线(k>0)与矩形两边AB、BC分别交于E、F。(1)若E是AB的中点,求F点的坐标;(2)若将△BEF沿直线EF对折,B点落在x轴上的D点,作EG⊥OC,垂足为G,证明△EGD∽△DCF,并求k的值。.考点4:求二次例函数解析式【例7】§1、(已知顶点坐标、对称轴、或极值求二次函数的解析式)已知二次函数的图象过点(-1,2),对称轴为且最小值为-2,求这个函数的解析式。§2、(已知图象与x轴两交点间的距离求解析式)已知二次函数的图象x轴两交点间的距离为6,对称轴为且经过点(3,-4),求这个二次函数的解析式。§3、(由二次函数的图象变换求解析式)把函数的图象绕其图象与y轴的交点旋转1800,求所得抛物线的解析式。考点2:二次函数图像及性质运用【例8】1、对于二次函数,有下列说法:①它的图象与轴有两个公共点;②如果当≤1时随的增大而减小,则;③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点,则;④如果当时的函数值与时的函数值相等,则当时的函数值为.其中正确的说法是.(把你认为正确说法的序号都填上)-9-\n2、小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象中,观察得出了下面五条信息:①ab>0;②a+b+c<0;③b+2c>0;④a﹣2b+4c>0;⑤.你认为其中正确信息的有(填番号)。考点5:二次例函数的实际应用【例9】某电子厂商投产一种新型电子厂品,每件制造成本为18元,试销过程中发现,每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100.(利润=售价﹣制造成本)(1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;(2)当销售单价为多少元时,厂商每月能获得350万元的利润?当销售单价为多少元时,厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少?(3)根据相关部门规定,这种电子产品的销售单价不能高于32元,如果厂商要获得每月不低于350万元的利润,那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元?考点6:二次函数的压轴题【例10】如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点,已知点A(﹣3,0),B(0,3),C(1,0).(1)求此抛物线的解析式.(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点,(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线,垂足为F,交直线AB于点E,作PD⊥AB于点D.①动点P在什么位置时,△PDE的周长最大,求出此时P点的坐标;②连接PA,以AP为边作图示一侧的正方形APMN,随着点P的运动,正方形的大小、位置也随之改变.当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时,求出对应的P点的坐标.(结果保留根号)【课后测控】-9-\n1、如图1,等腰直角三角形ABC位于第一象限,AB=AC=2,直角顶点A在直线y=x上,其中A点的横坐标为1,且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴。若双曲线y=(k≠0)与△ABC的边有交点,则k的取值范围是()A.1<k<2B.1≤k≤3C.1≤k≤4D.1≤k<42、如图,直线交x轴、y轴于A、B两点,P是反比例函数图象上位于直线下方的一点,过点P作x轴的垂线,垂足为点M,交AB于点E,过点P作y轴的垂线,垂足为点N,交AB于点F。则。3、某汽车销售公司6月份销售某厂家汽车,在一定范围内,每辆汽车的进价与销售量有如下关系,若当月仅售出1辆汽车,则该汽车的近价为27万元;每多售出1辆,所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆,月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司,销售量在10辆以内(含10辆),每辆返利0.5万元,销售量在10辆以上,每辆返利1万.(1)若该公司当月售出3辆汽车,则每辆汽车的进价为多少万元?(2)如果汽车的售价为28万元/辆,该公司计划当月盈利12万元,那么需要售出多少辆汽车?(盈利=销售利润+返利)4、如图所示,在直角坐标系中,点是反比例函数的图象上一点,轴的正半轴于点,是的中点;一次函数的图象经过、两点,并将轴于点若(1)求反比例函数和一次函数的解析式;(2)观察图象,请指出在轴的右侧,当时,求的取值范围.5、如图,在平面直角坐标系中,将矩形的顶点O与原点重合,边OC、OA分别在x、y轴上,顶点B在第四象限,,,将矩形沿直线折叠,使点落在处,交于.(1)求的长;(2)求过三点抛物线的解析式;(3)若为过三点抛物线的顶点,一动点从点出发,沿射线以每秒1个单位长度的速度匀速运动,当运动时间(秒)为何值时,直线把分成面积之比为的两部分?部分答案:【例2】(1)27-(3-1)×0.1=26.8.-9-\n(2)设销售汽车x辆,则汽车的进价为27-(x-1)×0.1=27.1-0.1x万元,若x≤10,则(28-27.1+0.1x)x+0.5x=12解得x1=6,x2=-20(不合题意,舍去)若x>10,则(28-27.1+0.1x)x+x=12解得x3=5(与x>10舍去,舍去),x4=-24(不合题意,舍去)公司计划当月盈利12万元,需要售出6辆汽车.【例6】解:(1)OABC为矩形,AB=OC=4,点E是AB的中点,AE=2,OA=2,,点E(2,2)在双曲线y=上,k=2×2=4,点F在直线BC及双曲线y=,设点F的坐标为(4,f),f==1,所以点F的坐标为(4,1).(2)①证明:△DEF是由△BEF沿EF对折得到的,∠EDF=∠EBF=90º,点D在直线OC上,∠GDE+∠CDF=180º-∠EDF=180º-90º=90º,∠DGE=∠FCD=90º,∠GDE+∠GED=90º,∠CDF=∠GED,△EGD∽△DCF;②设点E的坐标为(a,2),点F的坐标为(4,b),点E、F在双曲线y=上,k=2a=4b,a=2b,所以有点E(2b,2),AE=2b,AB=4,ED=EB=4-2b,EG=OA=CB=2,CF=b,DF=BF=CB-CF=2-b,DC===2,△EGD∽△DCF,=,=,b=,有点F(4,),k=4×=3.考点:二次函数综合题.3718684专题:代数几何综合题.分析:(1)把点A、B、C的坐标代入抛物线解析式,利用待定系数法求二次函数解析式解答即可;(2)①根据点A、B的坐标求出OA=OB,从而得到△AOB是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得∠BAO=45°,然后求出△PED是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质,PD越大,△PDE的周长最大,再判断出当与直线AB平行的直线与抛物线只有一个交点时,PD最大,再求出直线AB的解析式为y=x+3,设与AB平行的直线解析式为y=x+m,与抛物线解析式联立消掉y,得到关于x的一元二次方程,利用根的判别式△=0列式求出m的值,再求出x、y的值,从而得到点P的坐标;②先确定出抛物线的对称轴,然后(i)分点M在对称轴上时,过点P作PQ⊥对称轴于Q,根据同角的余角相等求出∠APF=∠QPM,再利用“角角边”证明△APF和△MPQ全等,根据全等三角形对应边相等可得PF=PQ,设点P的横坐标为n,表示出PQ的长,即PF,然后代入抛物线解析式计算即可得解;(ii)点N在对称轴上时,同理求出△APF和△ANQ全等,根据全等三角形对应边相等可得PF=AQ,根据点A的坐标求出点P的纵坐标,再代入抛物线解析式求出横坐标,即可得到点P的坐标.解答:解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣3,0),B(0,3),C(1,0),∴,解得,所以,抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3;(2)①∵A(﹣3,0),B(0,3),∴OA=OB=3,∴△AOB是等腰直角三角形,∴∠BAO=45°,∵PF⊥x轴,∴∠AEF=90°﹣45°=45°,又∵PD⊥AB,∴△PDE是等腰直角三角形,∴PD越大,△PDE的周长越大,易得直线AB的解析式为y=x+3,设与AB平行的直线解析式为y=x+m,联立,消掉y得,x2+3x+m﹣3=0,当△=32﹣4×1×(m﹣3)=0,即m=时,直线与抛物线只有一个交点,PD最长,此时x=﹣,y=﹣+=,∴点P(﹣,)时,△PDE的周长最大;-9-\n②抛物线y=﹣x2﹣2x+3的对称轴为直线x=﹣=﹣1,(i)如图1,点M在对称轴上时,过点P作PQ⊥对称轴于Q,在正方形APMN中,AP=PM,∠APM=90°,∴∠APF+∠FPM=90°,∠QPM+∠FPM=90°,∴∠APF=∠QPM,∵在△APF和△MPQ中,,∴△APF≌△MPQ(AAS),∴PF=PQ,设点P的横坐标为n(n<0),则PQ=﹣1﹣n,即PF=﹣1﹣n,∴点P的坐标为(n,﹣1﹣n),∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上,∴﹣n2﹣2n+3=﹣1﹣n,整理得,n2+n﹣4=0,解得n1=(舍去),n2=,﹣1﹣n=﹣1﹣=,所以,点P的坐标为(,);(ii)如图2,点N在对称轴上时,设抛物线对称轴与x轴交于点Q,∵∠PAF+∠FPA=90°,∠PAF+∠QAN=90°,∴∠FPA=∠QAN,又∵∠PFA=∠AQN=90°,PA=AN,∴△APF≌△NAQ,∴PF=AQ,设点P坐标为P(x,﹣x2﹣2x+3),则有﹣x2﹣2x+3=﹣1﹣(﹣3)=2,解得x=﹣1(不合题意,舍去)或x=﹣﹣1,此时点P坐标为(﹣﹣1,2).综上所述,当顶点M恰好落在抛物线对称轴上时,点P坐标为(,),当顶点N恰好落在抛物线对称轴上时,点P的坐标为(﹣﹣1,2).解:(1)三,k>0;(2)∵梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上,AC∥OB,BC⊥OB,而点C的坐标标为(2,2),∴A点的纵坐标为2,E点的横坐标为2,B点坐标为(2,0),把y=2代入得x=;把x=2代入得y=,∴A点的坐标为(,2),E点的坐标为(2,),∴=,当k-2=0,即k=2时,S阴影部分最小,最小值为;∴E点的坐标为(2,1),即E点为BC的中点,∴当点E在BC的中点时,阴影部分的面积S最小;(3)设D点坐标为(a,),∵,∴OD=DC,即D点为OC的中点,∴C点坐标为(2a,),把y=代入得x=,确定A点坐标为(,),∵,∴-9-\n×=1,解得k=.例8(2)【例9】解:(1)∵z=(x﹣18)y=(x﹣18)(﹣2x+100)=﹣2x2+136x﹣1800,∴z与x之间的函数解析式为z=﹣2x2+136x﹣1800。(2)由z=350,得350=﹣2x2+136x﹣1800,解这个方程得x1=25,x2=43。∴销售单价定为25元或43元时,厂商每月能获得3502万元的利润。∵z═﹣2x2+136x﹣1800=﹣2(x﹣34)2+512,∴当销售单价为34元时,每月能获得最大利润,最大利润是512万元。(3)结合(2)及函数z=﹣2x2+136x﹣1800的图象(如图所示)可知,当25≤x≤43时,z≥350。又由限价32元,得25≤x≤32。根据一次函数的性质,得y=﹣2x+100中y随x的增大而减小,∴当x=32时,每月制造成本最低。最低成本是18×(﹣2×32+100)=648(万元)。∴所求每月最低制造成本为648万元。【例10】解:(1)设抛物线的函数表达式∵抛物线与轴交于点,将该点坐标代入上式,得.∴所求函数表达式,即.(2)∵点C是点A关于点B的对称点,点,点,∴点C的坐标是.将点C的坐标是代入,得.∴直线CD的函数表达式为.设K点的坐标为,则H点的坐标为,G点的坐标为.∵点K为线段AB上一动点,∴.∴.∵,∴当时,线段HG长度有最大值.(3)∵点F是线段BC的中点,点,点,∴点F的坐标为.∵直线过点F且与轴平行,∴直线的函数表达式为.∵点M在直线上,点N在抛物线上,∴设点M的坐标为,点N的坐标为.∵点,点,∴.分情况讨论:①若线段AC是以点A,C,M,N为顶点的四边是平行四边形的边,则须MN∥AC,且MN=AC=8.当点N在点M的左侧时,.∴,解得.∴N点的坐标为.-9-\n当点N在点M的右侧时,.∴,解得.∴N点的坐标为.②若线段AC是以点A,C,M,N为顶点的平行四边形的对角线,由“点C与点A关于点B中心对称”知:点M与点N关于点B中心对称.取点F关于点B对称点P,则点P的坐标为.过点P作NP⊥轴,交抛物线于点N.将代入,得.过点N,B作直线NB交直线于点M.在△BPN和△BFM中,∵∴△BPN≌△BFM.∴NB=MB.∴四边形点ANCM为平行四边形.∴坐标为的点N符合条件.∴当点N的坐标为,,时,以点A,C,M,N为顶点的四边是平行四边形.课后测控6、解:(1)四边形是矩形,,.(1分)又,.(2分).,即,解之,得.(3分)(2).如图4,过作于,.(4分),.,..(5分)因点为坐标原点,故可设过三点抛物线的解析式为.解之,得.(3)抛物线的对称轴为,其顶点坐标为.设直线的解析式为,则解之,得.(9分)设直线交直线于,过作于...或,或,或.或,即或.,.(10分)直线的解析式为.当时,.直线的解析式为.当时,.当秒或秒时,直线把分成面积之比为的两部分.(12分)-9-\n说明:只求对一个值的给11分.-9-

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发布时间:2022-08-25 20:47:40 页数:9
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文章作者:U-336598

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