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四川省成都市状元廊学校2022届中考数学思维方法讲义 第15讲 几何
四川省成都市状元廊学校2022届中考数学思维方法讲义 第15讲 几何
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第15讲几何【典例精析】专题一直线型专题题型1:直线型填空题【例1】如图,在等腰直角△ACB=90°,O是斜边AB的中点,点D、E分别在直角边AC、BC上,且∠DOE=90°,DE交OC于点P.则下列结论:(1)图形中全等的三角形只有两对;(2)△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍;(3)CD+CE=OA;(4)AD2+BE2=2OP•OC.其中正确的结论有.(填番号)变式训练:1、如图所示,在△ABC中,BC=6,E、F分别是AB、AC的中点,动点P在射线EF上,BP交CE于D,∠CBP的平分线交CE于Q,当CQ=CE时,EP+BP=.2、长为20,宽为a的矩形纸片(10<a<20),如图那样折一下,剪下一个边长等于矩形宽度的正方形(称为第一次操作);再把剩下的矩形如图那样折一下,剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形(称为第二次操作);如此反复操作下去.若在第n次操作后,剩下的矩形为正方形,则操作终止.当n=3时,a的值为.题型2:直线型综合性问题(图形变换)【例2】(成华区20)(本小题满分10分)如图,BD平分∠ABC,CD∥AB交BD于D,点E在线段BC上(不与端点重合),AE交DC延长线于点G,交BD于点F,连接FC.(1)当AB=CD时,求证:∠BAF=∠BCF;(2)在(1)的条件下,当AF=2EF时,判断EG与EF有怎样的数量关系?请写出你的结论并予以证明.再探究:当AF=nEF(n>2),而其余条件不变时,线段EG与EF之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论,不必证明.【例3】已知四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD边上的点,DE与CF交于点G.(1)如图①,若四边形ABCD是矩形,且DE⊥CF,求证;(2)如图②,若四边形ABCD是平行四边形,试探究:当∠B与∠EGC满足什么关系时,使得成立?并证明你的结论;(3)如图③,若BA=BC=6,DA=DC=8,∠BAD=90°,DE⊥CF,请直接写出的值.图①图②图③专题二圆的专题题型1:圆的填空题型-6-\n【例4】1、(青羊区22)如图,⊙O的半径为2,弦AB=,点C在弦AB上,AC=AB,则OC的长为_______。2、(成华区25)如图,△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,D是边BC上(不与端点重合)的一个动点,以AD为直径画⊙O分别交AB,AC于E,F,连接EF,若线段AD长度的最小值为,则线段EF长度的最小值为.变式训练:1、如图.Rt△ABC内接于⊙O,BC为直径,AB=4,AC=3,D是的中点,CD与AB的交点为E,则等于。2、如图,AB是⊙O的一条弦,点C是⊙O上一动点,且∠ACB=30°,点E、F分别是AC、BC的中点,直线EF与⊙O交于G、H两点.若⊙O的半径为7,则GE+FH的最大值为.1题图2题图3题图3、如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点G,点F是CD上一点,且满足,连接AF并延长交⊙O于点E,连接AD、DE,若CF=2,AF=3.给出下列结论:①△ADF∽△AED;②FG=2;③tan∠E=;④S△DEF=4.其中正确的是(写出所有正确结论的序号).题型2:圆的综合题型【例5】已知:如图,DABC内接于⊙O,AB为直径,∠CBA的平分线交AC于点F,交⊙O于点D,DE⊥AB于点E,且交AC于点P,连结AD.(1)求证:AC=2DE;(2)若tan∠CBD=,AP•AC=5,求AC的长;(3)若AD=,⊙O的半径为,延长DE交⊙O于点M,且DP∶DM=1∶4,求CM的长.【例6】(武侯区27)△ABC内接于半圆,圆心为O,AB是直径,过A作直线MN,若∠MAC=∠ABC.(1)求证:MN是半圆的切线;(2)设D是的中点,BD交AC于G,过D作DE⊥AB于E,交AC于F.求证:DE=AC;(3)在(2)的条件下,若△DFG的面积为S,且DG=a,GC=b,试求△BCG的面积.(用a、b、S的代数式表示)变式训练:1、(高新区27)如图,BC是⊙O直径,DF⊥BC于H,D是AC的中点,连接AC交DF于点G,交BD于E。(1)求证:DG=CG;(2)连接OG,求证:OG∥BD;-6-\n(3)已知BC=5,CD=,求AE的值.2、(成华区27)如图,AB是⊙O的直径,AC是弦(不是直径).(1)请按下面步骤画图(画图要求:画图或作辅助线时先使用铅笔画出,确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑):第一步,过点A作∠BAC的角平分线,交⊙O于点D;第二步,过点D作AC的垂线,交AC的延长线于点P;第三步,连接BD,连接OP交AD于点E;(2)请在(1)的基础上完成下列各题:①求证:PE•DE=OE•AE;②若,,求AD的长度.附B卷模拟训练:B卷(共50分)(时间:60分钟,总分50分)一、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分):21、设α、β是方程的两根,则的值是。22、已知,在矩形AOBC中,OB=4,OA=3.分别以OB,OA所在直线为x轴和y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.F是边BC上的一个动点(不与BC重合),过F点的反比例函数(x>0)的图象与AC边交于点E.记,当S取得最大值时,则k=。23、对于一切不小于2的自然数n,关于x的一元二次方程的两个根记为,(n≥2),则的值为。24、在菱形ABCD中,AB=2,∠ADC=120°,M是AB的中点,P为对角线BD上的一动点,在运动过程中,记AP+MP的最大值为S,最小值为T,则的值为。25、如图,已知⊙O的半径为1,PQ是⊙O的直径,n个相同的正三角形沿PQ排成一列,所有正三角形都关于PQ对称,其中第一个的顶点与点P重合,第二个的顶点是与PQ的交点,…,最后一个的顶点、在圆上.当时,则正三角形的边长=;探索:正三角形的边长=(用含n的代数式表示).二、解答题(本大题共3小题,共30分)26、(共8分)某商家经销一种绿茶,用于装修门面已投资3000元。已知绿茶成本50元/千克,在第一个月的试销时间内发现,销量w(kg)与销售单价x(元/kg)满足关系式:w=-2x+240。(1)设该绿茶的月销售利润为y(元),求y与x之间的函数关系式(不必写出自变量x的取值范围),并求出x为何值时,y的值最大?(销售利润=单价×销售量-成本-投资)。-6-\n(2)若在第一个月里,按使y获得最大值的销售单价进行销售后,在第二个月里受物价部门干预,销售单价不得高于90元,要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元,那么第二个月时里应该确定销售单价为多少元?27、(共10分)如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,点D是弧AC上的一点,连结AD并延长与BC的延长线交于点E,AC、BD相交于点M.(1)求证:BC•CE=AC•MC;(2)若点D是弧AC的中点,tan∠ACD=,MD•BD=5,求⊙O的半径;(3)若CD∥AB,过点A作AF∥BC,交CD的延长线于点F,求的值。28、(共12分)如图,二次函数的图象与x轴相交于点A、B(点在点的左侧),与y轴相交于点C,顶点D在第一象限.过点D作x轴的垂线,垂足为H。(1)当时,求tan∠ADH的值;(2)当60°≤∠ADB≤90°时,求m的变化范围;(3)设△BCD和△ABC的面积分别为S1、S2,且满足S1=S2,求点D到直线BC的距离。变式2解:由题意,可知当10<a<20时,第一次操作后剩下的矩形的长为a,宽为20﹣a,所以第二次操作时正方形的边长为20﹣a,第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为20﹣a,2a﹣20.此时,分两种情况:①如果20﹣a>2a﹣20,即a<40,那么第三次操作时正方形的边长为2a﹣20.则2a﹣20=(20﹣a)﹣(2a﹣20),解得a=12;-6-\n②如果20﹣a<2a﹣20,即a>40,那么第三次操作时正方形的边长为20﹣a.则20﹣a=(2a﹣20)﹣(20﹣a),解得a=15.∴当n=3时,a的值为12或15.故答案为:12或15..变式解析:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠ADC=90°,∵DE⊥CF,∴∠ADE=∠DCF,∴△ADE∽△DCF,∴.(2)当∠B+∠EGC=180°时,成立,证明如下:在AD的延长线上取点M,使CM=CF,则∠CMF=∠CFM.∵AB∥CD,∴∠A=∠CDM,∵∠B+∠EGC=180°,∴∠AED=∠FCB,∴∠CMF=∠AED.∴△ADE∽△DCM,∴,即.(3).考点:相似三角形的判定与性质;垂径定理;圆周角定理.分析:①由AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,根据垂径定理可得:=,DG=CG,继而证得△ADF∽△AED;②由=,CF=2,可求得DF的长,继而求得CG=DG=4,则可求得FG=2;③由勾股定理可求得AG的长,即可求得tan∠ADF的值,继而求得tan∠E=;④首先求得△ADF的面积,由相似三角形面积的比等于相似比,即可求得△ADE的面积,继而求得S△DEF=4.解答:解:①∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,∴=,DG=CG,∴∠ADF=∠AED,∵∠FAD=∠DAE(公共角),∴△ADF∽△AED;故①正确;②∵=,CF=2,∴FD=6,∴CD=DF+CF=8,∴CG=DG=4,∴FG=CG﹣CF=2;故②正确;③∵AF=3,FG=2,∴AG==,∴在Rt△AGD中,tan∠ADG==,∴tan∠E=;故③错误;④∵DF=DG+FG=6,AD==,∴S△ADF=DF•AG=×6×=3,∵△ADF∽△AED,∴=()2,∴=,∴S△AED=7,∴S△DEF=S△AED﹣S△ADF=4;故④正确.故答案为:①②④.26解:(1)y与x的关系式为:∵,∴当x=85时,y的值最大为2450元。(2)∵在第一个月里,按使y获得最大值的销售单价进行销售所获利润为2450元,∴第1个月还有3000-2450=550元的投资成本没有收回。则要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元,即y=2250才可以,可得方程,解得x1=75,x2=95。-6-\n根据题意,x2=95不合题意应舍去。答:当销售单价为75元时,可获得销售利润2250元,即在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元。28、解:(1))当时,。∴D。∴DH=。在中令,即,解得。∴A(-1,0)。∴AH=。∴tan∠ADH=。(2)∵,∴D。∴DH=。在中令,即,解得。∵顶点D在第一象限,∴。∴∴A(-1,0)。∴AH=。当∠ADB=600时,∠ADH=300,tan∠ADH=。∴,解得(增根,舍去)。当∠ADB=900时,∠ADH=450,AH=DH,即,解得(不符合,舍去)。∴当60°≤∠ADB≤90°时,。(3)设DH与BC交于点M,则点M的横坐标为m,设过点B(,0),C(0,)的直线为,则,解得。∴直线BC为。当时,。∴M(m,)。∴DM=,AB=。∵S△BCD=DM·OB,S△ABC=AB·OC,S△BCD=S△ABC,∴。又∵顶点D在第一象限,∴,解得。当时,A(-1,0),B(5,0),C(0,)。∴BC=,S△ABC=。设点D到BC的距离为d,∵S△DBC=,∴,解得。答:点D到直线BC的距离为。-6-
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中考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 20:47:39
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