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江苏省无锡新领航教育咨询有限公司2022届中考数学经典例题大串讲七
江苏省无锡新领航教育咨询有限公司2022届中考数学经典例题大串讲七
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数与式中典型例题串讲二1.在平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心的圆过点A(13,0),直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点,则弦BC的长的最小值为()A.22B.24C.D.【答案】B.【解析】试题分析:如图:∵直线y=kx-3k+4必过点D(3,4),∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦,∵点D的坐标是(3,4),∴OD=5,∵以原点O为圆心的圆过点A(13,0),∴圆的半径为13,∴OB=13,∴BD=12,∴BC的长的最小值为24.故选B.考点:1.垂径定理;2.一次函数图象上点的坐标特征;3.勾股定理.2.如图,两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是C1和C2,设点P在C1上,轴于点C,交C2于点A,轴于点D,交C2于点B,则四边形PAOB的面积为()A、2B、3C、4D、5【答案】B.【解析】试题分析:∵PC⊥x轴,PD⊥y轴,14\n∴S矩形PCOD=4,S△AOC=S△BOD=×1=,∴四边形PAOB的面积=S矩形PCOD-S△AOC-S△BOD=4--=3.故选B.考点:反比例函数系数k的几何意义.3.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是边长为4的正方形,M(4,m)、N(n,4)分别是AB、BC上的两个动点,且ON⊥MN,当OM最小时,=.【答案】5.【解析】试题分析:∵OABC是正方形,∴∠OCN=∠NBM=90°,∴∠CON+∠CNO=90°,∵ON⊥NM,∴∠CNO+∠BNM=90°,∴△CNO∽△BMN,∴CN:CO=BM:NB,∴,∴,∴,∵,∴,,∵OM=,∴当OM最小时,m最小,∵,∴,∴,∴.故答案为:5.考点:1.正方形的值;2.相似三角形的判定与性质.4.如图,双曲线经过Rt△BOC斜边上的点A,且满足,与BC交于点D,S△BOD=21,求k=_________.【答案】8.【解析】试题分析:过A作AE⊥x轴于点E.∵,∴=21,∵AE∥BC,∴△OAE∽△OBC,∴,∴,则k=8.故答案为:8.14\n考点:1.反比例函数系数k的几何意义;2.相似三角形的判定与性质.5.如图,以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心、OA长为半径作⊙O,⊙O经过B、D两点,过点B作BK⊥AC,垂足为K,过点D作DH∥KB,DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H。(1)求证:AE=CK(2)若AB=a,AD=a(a为常数),求BK的长(用含a的代数式表示)。(3)若F是EG的中点,且DE=6,求⊙O的半径和GH的长。【答案】(1)证明见解析;(2);(3),6.【解析】试题分析:(1)根据ABCD是矩形,求证△BKC≌△ADE即可;(2)根据勾股定理求得AC的长,根据三角形的面积公式得出AB×BC=AC×BK,代入即可求得BK.(3)根据三角形中位线定理可求出EF,再利用△AFD≌△HBF可求出HF,然后即可求出GH;利用射影定理求出AE,再利△AED∽△HEC求证AE=AC,然后即可求得AC即可.试题解析:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AD=BC,∴∠DAE=∠BCK,∵BK⊥AC,DH∥KB,∴∠BKC=∠AED=90°,∴△BKC≌△ADE,∴AE=CK;(2)解:∵AB=a,AD=a=BC,∴14\n∵S△ABC=AB×BC=AC×BK,∴BK=(3)连结OG,∵AC⊥DG,AC是⊙O的直径,DE=6,∴DE=EG=6,又∵EF=FG,∴EF=3;∵Rt△ADE≌Rt△CBK,∴DE=BK=6,AE=CK,在△ABK中,EF=3,BK=6,EF∥BK,∴EF是△ABK的中位线,∴AF=BF,AE=EK=KC;在Rt△OEG中,设OG=r,则OE=,EG=6,,∴,∴.连接BG可得△BGF≌△AEF,AF=BF,△ADF≌△BHF∵AD=BC,BF∥CD,∴HF=DF,∵FG=EF,∴HF-FG=DF-EF,∴HG=DE=6.考点:1.相似三角形的判定与性质;2.全等三角形的判定与性质;3.三角形中位线定理;4.垂径定理.6.(本题满分12分)如图,在平面直角坐标系中,矩形OCDE的三个顶点分别是C(3,0),D(3,4),E(0,4).点A在DE上,以A为顶点的抛物线过点C,且对称轴交z轴于点B.连接EC,AC.点P,Q为动点,设运动时间为t秒.14\n(1)填空:点A坐标为,抛物线的解析式为;(2)在图1中,若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动,同时,点Q在线段CE上从点C向E以2个单位/秒的速度运动,当一个点到达终点时,另一个点随之停止运动.连接PQ,是否存在实数t,使得PQ所在的直线经过点D,若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;(3)在图2中,若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动,过点P做PF⊥AB,交AC于点F,过点F作FG⊥AD于点G,交抛物线于点Q,连接AQ,CQ.当t为何值时,△ACQ的面积最大?最大值是多少?【答案】(1)(1,4),;(2);(3),最大值为1.【解析】试题分析:(1)根据抛物线的对称轴与矩形的性质可得点A坐标,根据待定系数法可得抛物线的解析式;(2)若PQ所在的直线经过点D,由DE∥CP,得到△DEQ∽△PCQ,得到,即:,解出t的值即可;(3)根据待定系数法可得直线AC的解析式,根据可得,依此即可求解.试题解析:(1)∵抛物线的对称轴为x=1,矩形OCDE的三个顶点分别是C(3,0),D(3,4),E(0,4),点A在DE上,∴点A坐标为(1,4),设抛物线的解析式为,把C(3,0)代入抛物线的解析式,可得,解得,故抛物线的解析式为,即;(2)若PQ所在的直线经过点D,∵DE∥CP,∴△DEQ∽△PCQ,∴,即:,整理得:,解得或(舍去),∴当(s)时,PQ所在的直线经过点D;(3)∵A(1,4),C(3,0),设直线AC的解析式为,则:,解得,14\n故直线AC的解析式为,∵P(1,),将代入中,得,∴Q点的横坐标为,将代入中,得,∴Q点的纵坐标为,∴QF=,∴=FQ•AG+FQ•DG=FQ(AG+DG)=FQ•AD==,∴当t=2时,△ACQ的面积最大,最大值是1.考点:1.二次函数综合题;2.三角形的面积;3.勾股定理;4.矩形的性质;5.代数几何综合题.7.在平面直角坐标系中,抛物线与x轴的两个交点分别为A(-3,0),B(1,0),过顶点C作CH⊥x轴于点H.(1)a=,b=,顶点C的坐标为.(2)在轴上是否存在点D,使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,说明理由.(3)若点P为x轴上方的抛物线上一动点(点P与顶点C不重合),PQ⊥AC于点Q,当△PCQ与△ACH相似时,求点P的坐标.【答案】(1),,C(﹣1,4);(2)存在,点D(0,3)或(0,1);(3)P(,)或(,).【解析】试题分析:(1)将A(﹣3,0)、B(1,0),代入求出即可,再利用平方法求出顶点坐标即可;(2)首先证明△CED∽△DOA,得出y轴上存在点D(0,3)或(0,1),即可得出△ACD是以AC为斜边的直角三角形;(3)首先求出直线CA的解析式为,再利用联立两函数解析式即可得出交点坐标,再利用若点P在对称轴左侧(如图②),只能是△PCQ∽△ACH,得∠PCQ=∠ACH得出答案即可.试题解析:(1)将A(﹣3,0)、B(1,0),代入得:,解得:,14\n,∴,∴,顶点C的坐标为(﹣1,4);(2)假设在y轴上存在满足条件的点D,过点C作CE⊥y轴于点E.由∠CDA=90°得,∠1+∠2=90°.又∠2+∠3=90°,∴∠3=∠1.又∵∠CED=∠DOA=90°,∴△CED∽△DOA,∴.设D(0,c),则.变形得,解之得,.综合上述:在y轴上存在点D(0,3)或(0,1),使△ACD是以AC为斜边的直角三角形;(3)①若点P在对称轴右侧(如图①),只能是△PCQ∽△CAH,得∠QCP=∠CAH.延长CP交x轴于M,∴AM=CM,∴.设M(m,0),则,∴m=2,即M(2,0).设直线CM的解析式为,则:,解得:,.∴直线CM的解析式为:.联立,解得:或(舍去).∴P(,).②若点P在对称轴左侧(如图②),只能是△PCQ∽△AHC,得∠PCQ=∠ACH.过A作CA的垂线交PC于点F,作FN⊥x轴于点N.由△CFA∽△CAH得,由△FNA∽△AHC得.∴AN=2,FN=1,CH=4,HO=1,则AH=2,∴点F坐标为(﹣5,1).设直线CF的解析式为,则,解得:,.∴直线CF的解析式为:.联立:,解得:或(舍去).∴P(,).∴满足条件的点P坐标为(,)或(,).考点:1.二次函数综合题;2.压轴题.14\n8.如图,已知正比例函数和反比例函数的图象交于点A(m,-2).(1)求反比例函数的解析式;(2)观察图象,直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围;(3)若双曲线上点C(2,n)沿OA方向平移个单位长度得到点B,判断四边形OABC的形状并证明你的结论.【答案】(1);(2)或;(3)菱形.【解析】试题分析:(1)设反比例函数的解析式为(),然后根据条件求出A点坐标,再求出k的值,进而求出反比例函数的解析式;(2)直接由图象得出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围;(3)首先求出OA的长度,结合题意CB∥OA且CB=,判断出四边形OABC是平行四边形,再证明OA=OC即可判定出四边形OABC的形状.试题解析:(1)设反比例函数的解析式为(),∵A(m,﹣2)在上,∴﹣2=2m,∴m=﹣1,∴A(﹣1,﹣2),又∵点A在上,∴k=2,∴反比例函数的解析式为;(2)观察图象可知正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为或;(3)四边形OABC是菱形.∵A(﹣1,﹣2),∴OA==,由题意知:CB∥OA且CB=,∴CB=OA,∴四边形OABC是平行四边形,∵C(2,n)在上,∴n=1,∴C(2,1),OC==,∴OC=OA,∴四边形OABC是菱形.考点:反比例函数综合题.9.(本题满分12分)如图,二次函数的图象与x轴交与A(4,0),并且OA=OC=4OB,点P为过A、B、C三点的抛物线上一动点.14\n(1)求点B、点C的坐标并求此抛物线的解析式;(2)是否存在点P,使得△ACP是以点C为直角顶点的直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;(3)过动点P作PE垂直于y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线,垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时,求出点P的坐标.【答案】(1)B(-1,0);C(0,4);;(2)P(2,6);(3)点或【解析】试题分析:(1)根据点A的坐标和OA=OC=4OB求出点B和点C的坐标,然后利用待定系数法求出函数解析式;(2)过点C作CP⊥AC,过点P作PM垂直y轴,设出点P的坐标,根据OM=OC+MC=OC+PM=4+m列出方程求出m的值;(3)四边形OFDE是矩形,则OD=EF,据垂线段最短,可知:当OD⊥AC时,OD最短,即EF最短.根据(1)求出AC的长度,根据中点得出点P的纵坐标,列出关于x的方程,求出x的值.试题解析:(1)∵A(4,0)∴OA=4又∵OA=OC=4OB∴OC=4,OB=1∴B(-1,0),C(0,4)设抛物线的解析式为:把C(0,4)代入得:∴∴∴抛物线的解析式为:(2)存在过点C作.交抛物线于点,过点作轴于点M.∵∴又∵∴14\n∴∴∵在抛物线上.∴设∴∴∴∴∴∴(3)连OD,由题意知,四边形OFDE是矩形,则,据垂线段最短,可知:当时,OD最短,即EF最短.由(1)知,在Rt△AOC中,∴又∵D为AC的中点.∴DF∥OC∴∴点P的纵坐标是2.∴∴∴当EF最短时,点或考点:二次函数的性质.10.如图,已知平面直角坐标系中,⊙O的圆心在坐标原点,直线l与轴相交于点P,与⊙O相交于A、B两点,∠AOB=90°.点A和点B的横坐标是方程x2-x-k=0的两根,且两根之差为3.(1)求方程x2-x-k=0的两根;(2)求A、B两点的坐标及⊙O的半径;(3)把直线l绕点P旋转,使直线l与⊙O相切,求直线l的解析式.【答案】(1)2和-1(2)A(-1,2),B(2,1)(3)【解析】试题分析:(1)设方程的两根分别为x1,x2(x1>x2),由根与系数的关系可得x1+x2=1,由两根之差为3,可点x1-x2=3,解方程组即可得方程的根;过点A作AC⊥x轴于点C,过点B作BD⊥x轴于点D,通过△AOC≌△OBD得到A点坐标,利用勾股定理得OA的长;由A、B在坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式,从而得到点P的坐标,过点P的直线与圆相切,有两种情况,因此分切点在第一象限与第四象限两种情况求切线的解析式.14\n试题解析:(1)设方程的两根分别为x1,x2(x1>x2),由已知得,解得,∴方程的两根分别为2和-1;(2)过点A作AC⊥x轴于点C,过点B作BD⊥x轴于点D,易证:△AOC≌△OBD,∴BD=OC=1,AC=OD=2∴A(-1,2),B(2,1),∴OA=(3)设直线AB的解析式为y=k1x+b1,则,解得,∴y=,当y=0时,=0,解得x=5,∴P(5,0);当直线l与⊙O的切点在第一象限时,设直线l与⊙O相切于点E,过点E作EF⊥x轴于点F,∵PE是⊙O的切线,∴OE⊥PE,∴PE=,∵S△POE=OP·EF=OE·PE,∴5EF=,∴EF=2,∴OF==1,E(1,2);设直线l的解析式为y=k2x+b2,则,解得,∴y=-;当直线l与⊙O的切点在第四象限时,同理可求得y=.考点:1、根与系数的关系;2、三角形全等的判定与性质;3、待定系数法;4、圆的切线.11.(10分)如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,以AC为直径的⊙O与BC交于点D,DE⊥AB,垂足为E,ED的延长线与AC的延长线交于点F.14\n(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)若⊙O的半径为2,BE=1,求cosA的值.【答案】(1)详见解析;(2).【解析】试题分析:(1)证得OD⊥DE,根据切线的判定定理得到DE是⊙O的切线;(2)由OD//AE,得到,通过转换得到,解得FC的长,进而求得AF的长,应用锐角三角函数求出cosA的值.试题解析:解:(1)证明:连结AD、OD,∵AC是直径,∴AD⊥BC,∵AB=AC,∴D是BC的中点,又∵O是AC的中点∴OD//AB,∵DE⊥AB,∴OD⊥DE,∴DE是⊙O的切线;(2)由(1)知OD//AE,∴,∴,14\n∴,解得FC=2,∴AF=6,∴cosA=.考点:1、切线的判定;2、平行线分线段成比例定理;3、锐角三角函数.12.如图,在△ABD中,AB=AD,AO平分∠BAD,过点D作AB的平行线交AO的延长线于点C,连接BC(1)求证:四边形ABCD是菱形。(2)如果OA,OB(OA>OB)的长(单位:米)是一元二次方程的两根,求AB的长以及菱形ABCD的面积。(3)若动点M从A出发,沿AC以2m/S的速度匀速直线运动到点C,动点N从B出发,沿BD以1m/S的速度匀速直线运动到点D,当M运动到C点时运动停止。若M、N同时出发,问出发几秒钟后,△MON的面积为?【答案】(1)证明见解析;(2)5,24;(3)M,N出发秒,秒,秒钟后,△MON的面积为m2.【解析】试题分析:(1)根据题意,用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”先判定平行四边形,再用邻边相等证明菱形;(2)解方程可得OA、OB的长,用勾股定理可求AB,根据“菱形的面积对应对角线积的一半”计算连线面积;(3)根据点M、N运动过程中与O点的位置关系,分三种情况分别讨论.试题解析:(1)证明:∵AO平分∠BAD,AB∥CD∴∠DAC=∠BAC=∠DCA∴△ACD是等腰三角形,AD=DC又∵AB=AD∴AB=CD,∴四边形ABCD为平行四边形,又∵AB=AD,∴▱ABCD是菱形;(2)解:解方程x2-7x+12=0,得OA=4,OB=3,利用勾股定理AB==5,14\nS菱形ABCD=AC×BD=×8×6=24平方米.(3)解:在第(2)问的条件下,设M、N同时出发x秒钟后,△MON的面积为m2,当点M在OA上时,x≤2,S△MON=(4-2x)(3-x)=;解得x1=,x2=(大于2,舍去);当点M在OC上且点N在OB上时,2<x<3,S△MON=(3-x)(2x-4)=,解得x1=x2=;当点M在OC上且点N在OD上时,即3≤x≤4,S△MON=(2x-4)(x-3)=;解得x1=,x2=(小于3,舍去).综上所述:M,N出发秒,秒,秒钟后,△MON的面积为m2.考点:1.菱形的判定;2.一元二次方程的应用;3.等腰三角形的性质.14
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