河北省2022年中考数学复习第二部分热点专题突破专题五函数图象的变化试题含解析

专题五　函数图象的变化例1(2022，河北，导学号5892921)如图，已知点A(0，1)，M(3，2)，N(4，4)．动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，且过点P的直线l：y＝－x＋b也随之移动，设移动时间为ts.(1)当t＝3时，求l的解析式；(2)若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；(3)直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．　例1题图【思路分析】(1)利用一次函数图象上点的坐标特征，求出一次函数的解析式．(2)分别求出直线l经过点M，N时的t值，即可得到t的取值范围．(3)找出点M关于直线l在坐标轴上的对称点．求出对称点的坐标，然后分别求出对称点与点M连线的中点的坐标，最后分别求出时间t的值．解：(1)直线y＝－x＋b交y轴于点P(0，b)．由题意，得b＞0，t≥0，b＝1＋t.当t＝3时，b＝4.故l的解析式为y＝－x＋4.(2)当直线y＝－x＋b过点M(3，2)时，2＝－3＋b.解得b＝5.由5＝1＋t，得t＝4.当直线y＝－x＋b过点N(4，4)时，4＝－4＋b.解得b＝8.由8＝1＋t，得t＝7.故若点M，N位于l的异侧，t的取值范围为4＜t＜7.(3)当t＝1时，点M关于l的对称点落在y轴上；当t＝2时，点M关于l的对称点落在x轴上.针对训练1(2022，河北，导学号5892921)如图，在直角坐标系xOy中，A(0，5)，直线x＝－5与x轴交于点D，直线y＝－x－与x轴及直线x＝－5分别交于点C，E.点B，E关于x轴对称，连接AB.(1)求点C，E的坐标及直线AB的解析式；(2)设面积的和S＝S△CDE＋S四边形ABDO，求S的值；(3)在求(2)中S时，嘉琪有个想法：“将△CDE沿x轴翻折到△CDB的位置，而△CDB与四边形ABDO拼接后可看成△AOC，这样求S便转化为直接求△AOC的面积不更快捷吗？”但大家经反复验算，发现S△AOC≠S，请通过计算解释他的想法错在哪里．13\n　训练1题图【思路分析】(1)由直线y＝－x－与x轴和直线x＝－5的交点求得点C，E的坐标，再求得点B的坐标，最后用待定系数法求直线AB的解析式．(2)分别求△CDE和四边形ABDO的面积，再求和即可．(3)点C不在直线AB上．解：(1)在直线y＝－x－中，令y＝0，则有0＝－x－，∴x＝－13.∴C(－13，0)．令x＝－5，则有y＝－×(－5)－＝－3，∴E(－5，－3)．∵点B，E关于x轴对称，∴B(－5，3)．∵A(0，5)，∴设直线AB的解析式为y＝kx＋5.∴－5k＋5＝3.∴k＝.∴直线AB的解析式为y＝x＋5.(2)由(1)，知E(－5，－3)．∴DE＝3.∵C(－13，0)，∴CD＝－5－(－13)＝8.∴S△CDE＝CD·DE＝12.由题意，知OA＝5，OD＝5，BD＝3.∴S四边形ABDO＝(BD＋OA)·OD＝20.∴S＝S△CDE＋S四边形ABDO＝12＋20＝32.(3)由(2)，知S＝32.在△AOC中，OA＝5，OC＝13，∴S△AOC＝OA·OC＝＝32.5.∴S△AOC≠S.理由：由(1)知，直线AB的解析式为y＝x＋5.13\n令y＝0，则0＝x＋5，∴x＝－≠－13.∴点C不在直线AB上，即点A，B，C不在同一条直线上．∴S△AOC≠S.针对训练2(2022，保定竞秀区二模，导学号5892921)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的解析式为y＝kx＋x－k＋1.若将直线l绕点A旋转，当直线l旋转到l1的位置时，k＝2且l1与y轴相交于点B，与x轴相交于点C；当直线l旋转到l2的位置时，k＝－且l2与y轴相交于点D.(1)求点A的坐标；(2)直接写出B，C，D三点的坐标，连接CD，计算△ADC的面积；(3)已知坐标平面内一点E，其坐标满足E(a，a)，当点E与点A的距离最小时，直接写出a的值．　训练2题图【思路分析】(1)将k＝2和k＝－分别代入直线的解析式，得到关于x，y的方程组，然后解方程组可求得点A的坐标．(2)先求得点B，C，D的坐标，然后根据S△ADC＝S△ADB－S△BDC求解即可．(3)过点A作直线y＝x的垂线，垂足为E，此时点E与点A的距离最小．求得点E的坐标，可得到a的值．解：(1)当k＝2时，y＝3x－1.当k＝－时，y＝x＋.解方程组得∴点A的坐标为(1，2)．(2)B(0，－1)，C，D.∴BD＝，OC＝.∴S△ADC＝S△ADB－S△BDC＝××1－××＝.13\n(3)a＝.例2(2022，石家庄长安区一模，导学号5892921)如图，在直角坐标系xOy中，直线l1：y＝tx－t(t≠0)分别与x轴、y轴相交于A，B两点，与双曲线l2：y＝(k≠0)相交于点D(2，2)，点B，C关于x轴对称，连接AC.将Rt△AOC沿AD方向平移，使点A移动到点D，得到Rt△DEF.(1)k的值是__4__，点A的坐标是__(1，0)__；(2)判断点F是否在l2上，并验证你的结论；(3)在ED的延长线上取一点M(4，2)，过点M作MN∥y轴，交l2于点N，连接ND，求直线ND的解析式；(4)直接写出线段AC扫过的面积．　例2题图【思路分析】(1)利用待定系数法和x轴上点的坐标的特征即可得出结论．(2)先确定出点B的坐标，进而得出点C的坐标，利用平移求出点F的坐标，判断即可．(3)先确定出点N的坐标，利用待定系数法即可得出结论．(4)先判断出AC扫过的部分是▱ACFD，再判断出点C，D，E在同一条直线上，点A，E，F也在同一条直线上，即可得出结论．解：(1)4　(1，0)(2)点F在l2上．∵直线l1过点D(2，2)，∴2＝2t－t.解得t＝2.∴直线l1的解析式为y＝2x－2.∴B(0，－2)．∵点B，C关于x轴对称，∴C(0，2)．∵平移后，DE＝AO＝1，EF＝CO＝2，∴E(1，2)，F(1，4)．∵双曲线l2的解析式为y＝，∴点F(1，4)的坐标满足解析式y＝.故点F在l2上．(3)∵M(4，2)，MN∥y轴，交l2于点N，∴点N的横坐标为4，且在y＝上．∴N(4，1)．设直线ND的解析式为y＝ax＋b(其中a，b为常数，且a≠0)．13\n把点N(4，1)，D(2，2)的坐标分别代入y＝ax＋b，得解得∴直线ND的解析式为y＝－x＋3.(4)4.针对训练3(2022，泰州，导学号5892921)在平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1＝(x＞0)的图象上，点A′与点A关于点O对称，一次函数y2＝mx＋n的图象经过点A′.(1)设a＝2，点B(4，2)在函数y1，y2的图象上．①分别求函数y1，y2的解析式；②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的取值范围；(2)如图①，设函数y1，y2的图象相交于点B，点B的横坐标为3a，△AA′B的面积为16，求k的值；(3)设m＝，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图象相交于点D，以AD为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上．训练3题图【思路分析】(1)由已知代入点的坐标即可．(2)先进行面积转化，再用a，k表示面积可解．(3)设出点A，A′的坐标，依次表示AD，AF及点P的坐标即可解决问题．解：(1)①由已知，得点B(4，2)在y1＝(x＞0)的图象上，∴k＝8.∴y1＝.∵a＝2，且点A在y1＝上，∴点A的坐标为(2，4)．∴点A′的坐标为(－2，－4)．把B(4，2)，A′(－2，－4)的坐标代入y2＝mx＋n，得解得∴y2＝x－2.②2＜x＜4.13\n(2)如答图，分别过点A，B作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接BO.　训练3答图∵O为AA′的中点，∴S△AOB＝S△AA′B＝8.∵点A，B在双曲线上，∴S△AOC＝S△BOD.∴S△AOB＝S四边形ACDB＝8.由已知，得点A，B的坐标可以表示为，.∴··2a＝8.解得k＝6.(3)由A，得点A′的坐标为.把点A′的坐标代入y＝x＋n，得－＝－a＋n.∴n＝a－.∴A′D的解析式为y＝x＋a－.当x＝a时，点D的纵坐标为a－.∴AD＝－a.∵AD＝AF,∴点F和点P的横坐标为a＋－a＝.∴点P的纵坐标为·＋a－＝a.∵·a＝k，∴点P在y1＝(x＞0)的图象上．例3(2022，衡水模拟，导学号5892921)如图，直线y＝x＋2与y轴相交于点A13\n，与直线y＝－x相交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线y＝(x－h)2＋k的顶点在直线y＝－x上移动．若抛物线与菱形的边AB，BC都有公共点，则h的取值范围是(A)例3题图A.－2≤h≤B.－2≤h≤1C.－1≤h≤D.－1≤h≤【解析】将y＝x＋2与y＝－x联立，得解得∴点B的坐标为(－2，1)．由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为(h，k)．将x＝h，y＝k代入y＝－x，得－h＝k，∴抛物线的解析式为y＝(x－h)2－h.如答图①所示，当抛物线经过点C且顶点在C的右侧时，将(0，0)代入y＝(x－h)2－h，得h2－h＝0，解得h1＝0(舍去)，h2＝.如答图②所示，当抛物线的顶点经过点B时，h＝－2.综上所述，h的范围是－2≤h≤.　　例3答图针对训练4(2022，河北，导学号5892921)如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运动ts(t＞0)，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点O和点P.已知矩形ABCD的三个顶点为A(1，0)，B(1，－5)，D(4，0)．(1)求c，b(用含t的代数式表示)；(2)当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N.①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的度数；②求△MPN的面积S与t之间的函数关系，并求当t为何值时，S＝；13\n(3)在矩形ABCD的内部(不含边界)，把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．训练4题图【思路分析】(1)由抛物线y＝x2＋bx＋c经过点O和点P，将点O与点P的坐标分别代入方程即可求得c，b.(2)①当x＝1时，y＝1－t，求得点M的坐标，则可求得∠AMP的度数．②由S＝S四边形AMNP－S△PAM＝S△DPN＋S梯形NDAM－S△PAM，即可求得关于t的二次函数，列方程即可求得t的值．(3)根据图形，找出临界点算出答案．解：(1)把x＝0，y＝0代入y＝x2＋bx＋c，得c＝0.把x＝t，y＝0代入y＝x2＋bx，得t2＋bt＝0.∵t＞0，∴b＝－t.(2)①不变．∵抛物线的解析式为y＝x2－tx，点M的横坐标为1，∴当x＝1时，y＝1－t.∴M(1，1－t)．∴AM＝|1－t|＝t－1.∵OP＝t，∴AP＝t－1.∴AM＝AP.∵∠PAM＝90°，∴∠AMP＝45°.②S＝S四边形AMNP－S△PAM＝S△DPN＋S梯形NDAM－S△PAM＝(t－4)(4t－16)＋[(4t－16)＋(t－1)]×3－(t－1)(t－1)＝t2－t＋6.∵t2－t＋6＝，∴t1＝，t2＝.∵4＜t＜5，∴t＝.(3)＜t＜.例4(2022，河北，导学号5892921)如图，抛物线L：y＝－(x－t)(x－t＋4)(常数t＞0)与x轴从左到右的交点为B，A，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线y＝(k＞0，x＞0)于点P，且OA·MP＝12.13\n(1)求k的值；(2)当t＝1时，求AB的长，并求直线MP与抛物线L的对称轴之间的距离；(3)把抛物线L在直线MP左侧部分的图象(含与直线MP的交点)记为G，用t表示图象G最高点的坐标；(4)设抛物线L与双曲线有个交点的横坐标为x0，且满足4≤x0≤6，通过L位置随t变化的过程，直接写出t的取值范围．　例4题图【思路分析】(1)设点P(x，y)，只要求出xy即可解决问题．(2)先求出点A，B的坐标，再求出对称轴以及点M的坐标即可解决问题．(3)根据对称轴的位置即可判断：当对称轴在直线MP左侧时，L的顶点就是最高点；当对称轴在MP右侧时，L与MP的交点就是最高点．(4)求出两个临界点的纵坐标，再利用二次函数的性质即可解决问题．解：(1)设点P(x，y)，则MP＝y.由OA的中点为M，可知OA＝2x.由OA·MP＝12，得2x·y＝12.∴xy＝6.∴k＝xy＝6.(2)当t＝1时，令y＝0，则0＝－(x－1)(x＋3)．解得x＝1或x＝－3.∵点B在点A的左边，∴B(－3，0)，A(1，0)．∴AB＝4.∵抛物线L的对称轴是x＝＝－1，且M为，∴直线MP与抛物线L的对称轴之间的距离为.(3)∵A(t，0)，B(t－4，0)，∴抛物线L的对称轴为x＝t－2.∵OM为x＝，∴当t－2≤，即t≤4时，顶点(t－2，2)就是G的最高点．当t＞4时，L与MP的交点就是G的最高点．(4)5≤t≤8－或7≤t≤8＋.针对训练5(2022，保定一模，导学号5892921)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c是由抛物线y＝－x2先向左平移1个单位长度，再向上平移个单位长度得到的，抛物线与x轴相交于13\nA，B两点，与y轴相交于点C.点D在线段OC上且OD＝OB.(1)写出此抛物线的解析式；(2)求线段AD所在直线的解析式；(3)若P是第二象限内抛物线上一点，其横坐标为t，是否存在一点P，使△PAD的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PAD的面积的最大值；若不存在，请说明理由；(4)若P仍为第二象限内抛物线上一点，抛物线的对称轴交x轴于点E，连接PE交AD于点F，当△AEF与△AOD相似时，请直接写出点P的坐标．训练5题图【思路分析】(1)根据平移的特点直接得出结论．(2)先求出点A，B的坐标，进而得出点D的坐标，再利用待定系数法即可得出结论．(3)过点P作PM⊥x轴于点M，交AD于点N.设出点P的坐标，得出点N的坐标，进而表示出PN的长，得出S△PAD＝－＋，即可得出结论．(4)分两种情况，利用相似三角形的性质即可得出结论．解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c是由抛物线y＝－x2先向左平移1个单位长度，再向上平移个单位长度得到的，∴此抛物线的解析式为y＝－(x＋1)2＋＝－x2－x＋4.(2)令y＝0，则－x2－x＋4＝0.∴x＝－4或x＝2.∴A(－4，0)，B(2，0)．∴OB＝2.∵OD＝OB，∴OD＝2.∴D(0，2)．设线段AD所在直线的解析式为y＝kx＋2.∵点A(－4，0)在线段AD所在的直线上，∴－4k＋2＝0.∴k＝.∴线段AD所在直线的解析式为y＝x＋2.(3)存在．设点P.如答图，过点P作PM⊥x轴于点M，交AD于点N，连接PA，PD.∴N.13\n∴PN＝－t2－t＋4－＝－t2－t＋2.∴S△PAD＝S△PAN＋S△PND＝PN·OA＝－t2－3t＋4＝－＋.∴当t＝－时，S△PAD最大，最大值为，此时点P的坐标为.(4)点P的坐标为或(1－，2－4)．训练5答图针对训练6(导学号5892921)如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(－3，－3)．(1)求正比例函数和反比例函数的解析式；(2)把直线OA向上平移后与反比例函数的图象交于点B(－6，m)，与x轴相交于点C，求m的值和直线BC的解析式；(3)在(2)的条件下，直线BC与y轴相交于点D，求以点A，B，D为顶点的三角形的面积；(4)在(3)的条件下，点A，B，D在二次函数的图象上，试判断该二次函数在第三象限内的图象上是否存在一点E，使四边形OECD的面积S1与四边形OABD的面积S满足S1＝S？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．　训练6题图【思路分析】(1)利用待定系数法即可求得函数的解析式．(2)根据直线平移的性质即可求解．(3)作AM⊥y轴于点M，作BN⊥y轴于点N，根据S四边形ABDM＝S梯形ABNM＋S△BDN，S△ABD＝S四边形ABDM－S△ADM即可求解．(4)首先求得点D的坐标，然后利用待定系数法求得二次函数的解析式，根据S1＝S△OCD＋S△OCE＝S即可求得点E的纵坐标，根据点E(x0，y0)在二次函数的图象上，即可求得x0的值，进而求得点E的坐标．解：(1)设正比例函数的解析式为y＝kx.把点A(－3，－3)的坐标代入解析式，得－3k＝－3.解得k＝1.13\n∴正比例函数的解析式为y＝x.设反比例函数的解析式为y＝.把点A(－3，－3)的坐标代入解析式，得k1＝9.∴反比例函数的解析式为y＝.(2)∵m＝＝－，∴点B的坐标是.设直线BC的解析式为y＝k3x＋n.∵y＝k3x＋n的图象是由y＝x的图象平移得到的，∴k3＝1，即y＝x＋n.∴－＝－6＋n.解得n＝.故直线BC的解析式为y＝x＋.(3)∵y＝x＋的图象交y轴于点D，∴点D的坐标是.如答图，过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，连接AB，AD.∵点A的坐标是(－3，－3)，点B的坐标是，∴点M的坐标是(0，－3)，点N的坐标是.∴OM＝3，ON＝.∴MD＝3＋＝，DN＝＋＝6，MN＝3－＝.∴S△ADM＝×3×＝，S△BDN＝×6×6＝18，S梯形ABNM＝×(3＋6)×＝.∴S四边形ABDM＝S梯形ABNM＋S△BDN＝＋18＝，S△ABD＝S四边形ABDM－S△ADM＝－＝.(4)设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋，则解得13\n这个二次函数的解析式为y＝x2＋4x＋.易得点C的坐标是.∴S＝S四边形ABDM－S△OAM＝－×3×3＝－＝.假设存在点E(x0，y0)，使S1＝S＝×＝.∵四边形OECD的顶点E只能在x轴的下方，∴y0＜0.∴S1＝S△OCD＋S△OCE＝××＋×|y0|＝＋|y0|.∴y0＝－.∵点E(x0，y0)在二次函数y＝x2＋4x＋的图象上，∴x＋4x0＋＝－.解得x0＝－2或x0＝－6.当x0＝－6时，点E与点B重合，这时OECD不是四边形，故x0＝－6(舍去)．∴点E的坐标是.训练6答图13