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河北省2022年中考数学复习第二部分热点专题突破专题六运动问题试题含解析

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专题六 运动问题例1(2022,唐山路北区二模,导学号5892921)把Rt△ABC和Rt△DEF按如图①摆放(点C与点E重合),点B,C(E),F在同一条直线上,∠ACB=∠EDF=90°,∠DEF=45°,AC=8cm,BC=6cm,EF=9cm.如图②,△DEF从图①的位置出发,以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动.在△DEF移动的同时,点P从△ABC的顶点B出发,以2cm/s的速度沿BA匀速移动,当△DEF的顶点D移动到AC边上时,△DEF停止移动,点P也随之停止移动,DE与AC相交于点Q,连接PQ,设移动时间为ts(0<t<4.5).例1题图解答下列问题:(1)当t为何值时,点A在线段PQ的垂直平分线上?(2)连接PE,设四边形APEC的面积为ycm2,求y与t之间的函数关系式.是否存在某一时刻t,使面积y最小?若存在,请求出y的最小值;若不存在,请说明理由;(3)是否存在某一时刻t,使P,Q,F三点在同一条直线上?若存在,请求出此时t的值;若不存在,请说明理由.【思路分析】(1)因为点A在线段PQ的垂直平分线上,所以AP=AQ,用含t的式子表示出这两条线段的长解方程即可得解.(2)过点P作PM⊥BC,将四边形APEC的面积表示为S△ABC-S△BPE即可求解.(3)由相似三角形的性质即可求解.解:(1)∵点A在线段PQ的垂直平分线上,∴AP=AQ.∵∠DEF=45°,∠ACB=90°,∠DEF+∠ACB+∠EQC=180°,∴∠EQC=45°.∴∠DEF=∠EQC.∴CE=CQ.由题意,知CE=t,BP=2t.∴CQ=t.∴AQ=8-t.在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB=10.∴AP=10-2t.∴10-2t=8-t.解得t=2.∴当t=2时,点A在线段PQ的垂直平分线上.(2)如答图①,过点P作PM⊥BE,交BE于点M.∴∠BMP=90°.在Rt△ABC和Rt△PBM中,sinB==,∴=.∴PM=t.∵BC=6,CE=t,∴BE=6-t.13\n∴y=S△ABC-S△BPE=BC·AC-BE·PM=×6×8-×(6-t)×t=t2-t+24=(t-3)2+.∵a=,∴抛物线开口向上.∴当t=3时,y最小=.∴存在一个t值,且当t=3时,四边形APEC的面积最小,最小面积为cm2.(3)存在某一时刻t,使P,Q,F三点在同一条直线上.如答图②,过点P作PN⊥AC,交AC于点N.∴∠ANP=∠ACB=∠PNQ=90°.∵∠PAN=∠BAC,∴△PAN∽△BAC.∴==.∴==.∴PN=6-t,AN=8-t.∵NQ=AQ-AN,∴NQ=8-t-=t.∵∠ACB=90°,B,C,E,F四点在同一条直线上,∴∠QCF=90°.∴∠QCF=∠PNQ.∵∠FQC=∠PQN,∴△QCF∽△QNP.∴=.∴=.解得t=1.∴存在一个t值,且当t=1时,P,Q,F三点在同一条直线上.例1答图针对训练1(2022,黄冈,导学号5892921)如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形OABC13\n的边OA在x轴正半轴上,点B,C在第一象限,∠C=120°,边长OA=8.点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长度的速度做匀速运动,点N从点A出发沿边AB→BC→CO以每秒2个单位长度的速度做匀速运动,过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB于点P,交对角线OB于点Q,点M和点N同时出发,分别沿各自路线运动,点N运动到原点O时,M和N两点同时停止运动.(1)当t=2时,求线段PQ的长;(2)求t为何值时,点P与点N重合;(3)设△APN的面积为S,求S与t之间的函数关系式及t的取值范围.训练1题图【思路分析】(1)解直角三角形求出PM,QM即可解决问题.(2)根据点P,N的路程之和等于24,构建方程即可解决问题.(3)分四种情况考虑问题即可.解:(1)当t=2时,OM=2.在Rt△OPM中,易知∠POM=60°,∴PM=OM·tan60°=2.在Rt△OMQ中,∠QOM=∠POM=30°,∴QM=OM·tan30°=.∴PQ=PM-QM=2-=.(2)当t≤4时,点P在OC上,点N在AB上,∴点P,N在边BC上相遇,t>4.由题意,得8+(t-4)+2t=8×3.解得t=.(3)①当0<t<4时,S=×8××2t=4t.②当4≤t<时,S=[8-(t-4)-(2t-8)]×4=-6t+40.③当<t<8时,S=[(t-4)+(2t-8)-8]×4=6t-40.④当8≤t≤12时,如答图,S=S菱形ABCO-S△AON-S△ABP-S△PNC=32-(24-2t)×4-[8-(t-4)]×4-(t-4)×(2t-16)13\n=-t2+12t-56.综上所述,S=训练1答图针对训练2(导学号5892921)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=4,动点P从点A出发,沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.过点P作PD⊥AC于点D(点P不与点A,B重合),作∠DPQ=60°,边PQ交射线DC于点Q.设点P的运动时间为ts.(1)用含t的代数式表示线段DC的长;(2)当点Q与点C重合时,求t的值;(3)设△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S,求S与t之间的函数关系式.  训练2题图【思路分析】(1)先求出AC的长,用三角函数求出AD的长,进而可得出结论.(2)利用AD+DQ=AC,即可得出结论.(3)分两种情况,利用三角形的面积公式和面积差即可得出结论.解:(1)在Rt△ABC中,∠A=30°,AB=4,∴AC=2.∵PD⊥AC,∴∠ADP=∠CDP=90°.在Rt△ADP中,AP=2t,∴DP=t,AD=AP·cosA=2t·=t.∴DC=AC-AD=2-t(0<t<2).(2)在Rt△PDQ中,∵∠DPQ=60°,∴∠PQD=30°=∠A.∴PA=PQ.∵PD⊥AC,∴AD=DQ.∵点Q与点C重合,∴AD+DQ=AC.∴2×t=2.∴t=1.13\n(3)当0<t≤1时,S=S△PDQ=DQ·DP=×t·t=t2.当1<t<2时,如答图,训练2答图CQ=AQ-AC=2AD-AC=2t-2=2(t-1).在Rt△ECQ中,∠CQE=30°,∴CE=CQ·tan∠CQE=2(t-1)×=2(t-1).∴S=S△PDQ-S△ECQ=×t·t-×2(t-1)×2(t-1)=-t2+4t-2.∴S=例2(2022,邯郸模拟,导学号5892921)如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠ABC=120°.动点P从点B出发,沿BC→CD边以每秒1个单位长度的速度运动,到点D时停止,连接AP,点Q与点B关于AP所在直线对称,连接AQ,PQ.设运动时间为ts.例2题图(1)菱形ABCD的对角线AC的长为6;(2)当点Q恰在AC上时,求t的值;(3)当CP=3时,求△APQ的周长;(4)直接写出在整个运动过程中,点Q运动的路径长.【思路分析】(1)连接BD交AC于点O,依据在菱形ABCD中,AB=6,∠ABC=120°,求出AO的长,即可得到菱形ABCD对角线AC的长.(2)依据点Q与点B关于AP所在直线对称,可得△AQP≌△ABP,进而得出PQ=PB,AQ=AB=6,∠AQP=∠ABC=120°,进而可知∠CPQ=90°,CQ=2PQ=2PB=2t,即可得到t的值.(3)当CP=3时,有两种情况:①P是BC的中点;②P是CD的中点.分别依据△APQ的周长=△ABP的周长=AB+BP+AP,进行计算即可.(4)点Q运动的路径为以点A为圆心,6为半径,圆心角为120°的弧,进而得到点Q运动的路径长为=4π.解:(1)613\n(2)如答图①.∵在菱形ABCD中,∠ABC=120°,∴∠BCD=60°.∵AC是菱形ABCD的对角线,∴∠ACB=30°.∵点Q与点B关于AP所在直线对称,∴△AQP≌△ABP.∴PQ=PB,AQ=AB=6,∠AQP=∠ABC=120°.∴∠CPQ=∠AQP-∠ACB=90°.在Rt△CPQ中,∠ACB=30°,∴CQ=2PQ=2PB=2t,即6-6=2t.解得t=3-3.(3)当CP=3时,有两种情况.①当P是BC的中点时,如答图②,过点A作AE⊥BC,交CB的廷长线于点E.在Rt△ABE中,∠ABE=60°,∴BE=AB=3,AE=AB=3.在Rt△AEP中,AE=3,EP=3+3=6,∴AP===3.∴△APQ的周长=△ABP的周长=AB+BP+AP=6+3+3=9+3.②当P是CD的中点时,如答图③,连接BD,则△BCD是等边三角形.∴∠BPC=90°.在Rt△BPC中,BP=CP·tanC=3.易证∠ABP=90°,由勾股定理可得AP=3.∴△APQ的周长=△ABP的周长=AB+BP+AP=6+3+3.综上所述,当CP=3时,△APQ的周长为9+3或6+3+3.(4)由题意,得点Q的运动路径为以点A为圆心,6为半径,圆心角为120°的弧.∴点Q运动的路径长为=4π.例2答图针对训练3(2022,石家庄长安区模拟,导学号5892921)如图,正方形ABCD的边长为6,点P从点B出发沿边BC→CD以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动,以BP为边作等边三角形BPQ,使点Q在正方形ABCD内或边上,当点Q恰好在AD边上时,点P停止运动.设运动时间为ts.13\n(1)当t=2时,点Q到BC的距离为2;(2)如图①,当点P在BC边上运动时,求CQ的最小值及此时t的值;(3)如图②,当点Q在AD边上时,求出t的值;(4)直接写出点Q运动路线的长.训练3题图【思路分析】(1)先求出BP=4,∠PBQ=60°,进而可得出结论.(2)先判断出CQ⊥BQ时,CQ最小,再用含30°角的直角三角形的性质即可得出结论.(3)先判定Rt△BAQ≌Rt△BCP,再由勾股定理建立方程即可得出结论.(4)判断出点Q的运动路线长等于点P的运动路线长即可得出结论.解:(1)2(2)当点P在BC边上运动时,有∠QBC=60°.根据垂线段最短,当CQ⊥BQ时,CQ最小.如答图.在Rt△BCQ中,∠QBC=60°,∴∠BCQ=30°.∴BQ=BC=3.∴BP=BQ=3.∴CQ=BQ·tan∠QBC=3,t=. 训练3答图(3)当点Q在AD边上时,CP=2t-6.∵BA=BC,BQ=BP,∠A=∠C=90°,∴Rt△BAQ≌Rt△BCP(HL).∴AQ=CP=2t-6.∴DQ=DP=12-2t.∵BP=PQ,在Rt△PDQ和Rt△BCP中,由勾股定理可得DQ2+DP2=QP2,BC2+CP2=BP2,∴2(12-2t)2=62+(2t-6)2.解得t1=9+3(不合题意,舍去),t2=9-3.∴t=9-3.(4)∵△PBQ是等边三角形,∴点Q运动路线的长等于点P运动路线的长.由(3)知,t=9-3.∴点Q运动路线的长为2(9-3)=18-6.针对训练4(2022,河北,导学号5892921)平面内,如图,在▱ABCD中,AB=10,AD=15,tanA=,P为AD边上任意一点,连接PB,将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ.13\n(1)当∠DPQ=10°时,求∠APB的度数;(2)当tan∠ABP∶tanA=3∶2时,求点Q与点B间的距离;(结果保留根号)(3)若点Q恰好落在▱ABCD的边所在的直线上,直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积.训练4题图【思路分析】(1)按点Q,B与PD的位置关系讨论确定∠APB的度数.(2)过点P作PH⊥AB于点H,连接BQ,由三角函数值的比确定AH,BH,PH的长,再由勾股定理计算出QB的长.(3)根据题意分类讨论点Q所在位置并画出满足题意的图形进而计算出扇形面积.解:(1)当点Q与点B在PD异侧时,由∠DPQ=10°,∠BPQ=90°,得∠BPD=80°.∴∠APB=180°-∠BPD=100°.当点Q与点B在PD同侧时,如答图①,∠APB=180°-∠BPQ-∠DPQ=80°.综上所述,当∠DPQ=10°时,∠APB的度数为80°或100°.训练4答图(2)如答图②,过点P作PH⊥AB于点H,连接BQ.∵tan∠ABP∶tanA=∶=3∶2,∴AH∶HB=3∶2.∵AB=10,∴AH=6,HB=4.在Rt△PHA中,PH=AH·tanA=8.∴PQ=PB===4.∴在Rt△PQB中,QB=PB=4.(3)16π或20π或32π.例3(2022,石家庄裕华区一模,导学号5892921)如图①,图②,在⊙O中,OA=1,AB=,将弦AB与弧AB所围成的弓形(包括边界的阴影部分)绕点B顺时针旋转α(0°≤α≤360°),点A的对应点是A′.(1)点O到线段AB的距离是(),∠AOB=__120°__,点O落在阴影部分(包括边界)时,α的取值范围是__30°≤α≤60°__;(2)如图③,线段A′B与弧ACB的交点是D.当∠A′BA=90°时,说明点D在AO的延长线上;(3)当直线A′B与⊙O相切时,求α的值并求此时点A′运动路径的长度.13\n例3题图【思路分析】(1)前两空利用垂径定理和特殊角的三角函数值解答.第三空,当A′B与OB重叠时,α取最小值.当弧A′B绕点B顺时针旋转到过圆心O时得到α的最大值.(2)连接AD,利用圆周角定理进行证明.(3)利用切线的性质求得α的值,并利用弧长公式求得点A′运动路径的长度.解:(1) 120° 30°≤α≤60°(2)如答图,连接AD. 例3答图∵∠A′BA=90°,∴AD为直径.∴AD过圆心O.∴点D在AO的延长线上.(3)当A′B与⊙O相切时,∠OBA′=90°,此时∠ABA′=90°+30°=120°或∠ABA′=90°-30°=60°.∴α=120°或300°.当α=120°时,点A′运动路径的长度为=.当α=300°时,点A′运动路径的长度为=.针对训练5(2022,石家庄长安区模拟,导学号5892921)在扇形AOB中,圆心角∠AOB=120°,半径OA=OB=8.(1)如图①,过点O作OE⊥OB,交弧AB于点E,再过点E作EF⊥OA于点F,则FO的长是4,∠FEO=60°;(2)如图②,设P为弧AB上的动点,过点P作PM⊥OA于点M,PN⊥OB于点N,点M,N分别在半径OA,OB上,连接MN.①求点P运动的路径长;②MN的长度是否是定值?(3)在(2)中的条件下,若点D是△PMN的外心,直接写出点D运动的路径长.13\n训练5题图【思路分析】(1)先求出∠AOE,即可得出结论.(2)①当点M与点O重合时,∠PMB=30°.当点N与点O重合时,∠PNA=30°.进而可求出点P运动路径所对的圆心角是120°-30°-30°=60°,最后用弧长公式即可得出结论.②先判断出P,M,O,N四点均在同一个圆上,进而可得出结论.(3)先判断出△PMN的外接圆的圆心的运动轨迹,最后根据弧长公式即可得出结论.解:(1)4 60°(2)①点P在弧AB上运动,其路径也是一段弧.由题意,可知当点M与点O重合时,∠PMB=30°;当点N与点O重合时,∠PNA=30°.∴点P运动路径所对的圆心角是120°-30°-30°=60°.∴点P运动的路径长为=.②如答图,连接PO,取PO的中点H,连接MH,NH.∵在Rt△PMO和Rt△PNO中,H是斜边PO的中点,∴MH=NH=PH=OH=PO=4.∴根据圆的定义,可知P,M,O,N四点均在同一个圆,即⊙H上.∵∠MON=120°,∠PMO=∠PNO=90°,∴∠MPN=60°.∴∠MHN=2∠MPN=120°.过点H作HK⊥MN,垂足为K.由垂径定理,得MK=KN=MN,∠MHK=60°.∵在Rt△HMK中,MH=4,∴MK=2.∴MN=2MK=4.∴MN的长度是定值.(3)点D运动的路径长为. 训练5答图例4(2022,资阳模拟,导学号5892921)如图,△ABC为等边三角形,且点A,B的坐标分别是(-2,0),(-1,0).将△ABC沿x轴正方向翻滚,翻滚120°为一次变换.如果这样连续经过2018次变换后,等边三角形ABC的顶点C的坐标为__(2_016,0)__.例4题图13\n【解析】由题意,得C1(0,0),C2(0,0),C3,C4(3,0),C5(3,0),C6,….3次为一组循环,2018÷3=672……2,672×3=2016,∴经过2018次变换后,等边三角形ABC的顶点C的坐标为(2016,0).针对训练6(导学号5892921)如图,在扇形铁皮AOB中,OA=20,∠AOB=36°,OB在直线l上.将此扇形沿l按顺时针方向旋转(旋转过程中无滑动),当OA第一次落在l上时,停止旋转,则点O所经过的路线长为(C)训练6题图A.20πB.22πC.24πD.20π+10-10【解析】点O所经过的路线长为++=24π.针对训练7(导学号5892921)如图,一个长为4cm、宽为3cm的矩形木板在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向),木板点A位置的变化为A→A1→A2,其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住,使木板与桌面成30°的角,则点A滚到点A2位置时走过的路径长为(B)训练7题图A.cmB.cmC.cmD.cm【解析】∵矩形长为4cm,宽为3cm,∴其对角线长为5cm.第一次是以点B为旋转中心,5cm为半径旋转90°,此次点A走过的路径长是=(cm).第二次是以点C为旋转中心,4cm为半径旋转60°,此次走过的路径长是=(cm).∴点A走过的路径长是+=(cm).针对训练8(导学号5892921)如图,在平面直角坐标系中,一半径为2的圆的圆心的初始位置在(0,2),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上以每秒的速度沿x轴正方向滚动,8s后点P到x轴的距离为__3__.训练8题图13\n【解析】如答图,设圆心为点O′,作O′A⊥x轴于点A,PD⊥x轴于点D,O′F⊥PD于点F.设优弧AP的圆心角为n°.由题意,得=.解得n=240.∴∠PO′A=120°.∵∠O′AD=∠FDA=∠O′FD=90°,∴四边形O′ADF是矩形.∴DF=O′A=2,∠FO′A=90°.∴∠FO′P=30°.在Rt△O′PF中,PF=O′P=1,∴PD=PF+DF=1+2=3.∴点P到x轴的距离为3.训练8答图针对训练9(2022,唐山三模,导学号5892921)如图,直线l经过平面直角坐标系的原点O,且与x轴正方向的夹角是30°,点A的坐标是(0,1),点B在直线l上,且AB∥x轴,则点B的坐标是(,1),现将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置,使点A的对应点A1落在直线l上,再将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1O2的位置,使点O1的对应点O2落在直线l上,顺次旋转下去……则点A6的横坐标是(+).训练9题图【解析】∵点A的坐标是(0,1),∠BOx=30°,AB∥x轴,∴AB=,AO=1.∴点B的坐标为(,1).由题意,得点A1的横坐标为+,点A2的横坐标为+,点A3的横坐标为3+,点A4的横坐标为3+3,点A5的横坐标为+4,点A6的横坐标为+.例5(导学号5892921)如图,等边三角形和正方形的边长都是a,在图形所在的平面内,将△PAD以点A为中心沿逆时针方向旋转,使AP与AB重合,如此继续分别以点B,C,D为中心将三角形进行旋转,使点P回到原来位置为止,则点P从开始到结束所经过路径的长为(C)例5题图A.aB.aC.aD.a13\n【解析】如答图,点P所经过的路径是半径为a,圆心角分别为210°,210°和150°的三段圆弧.故总长度为×2+=a.例5答图针对训练10(导学号5892921)将半径为2cm的圆形纸板沿着挖空的部分方格纸板(小方格的边长为2cm)的内侧滚动一周,回到开始位置后,圆心经过的路线的长度约为(B)训练10题图A.36cmB.42.28cmC.40.28cmD.40cm【解析】如答图,圆心经过的路线为8条线段以及2条圆弧.因为小方格的边长为2cm,所以圆心经过的路线的长度为2×(5+1+1+2+4+1+2+2)+2×=36+2π≈42.28(cm).训练10答图13

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发布时间:2022-08-25 20:18:14 页数:13
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文章作者:U-336598

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