第二节 一元二次方程及应用1.(2022改编)下列方程中是一元二次方程的是( D )A.x2-2xy+3y2=0B.x2+-3=0C.(y-3)(x-2)=x2D.x(x-2)=12.(新疆中考)一元二次方程x2-6x-5=0配方后可变形为( A )A.(x-3)2=14B.(x-3)2=4C.(x+3)2=14D.(x+3)2=43.(2022资阳中考)若关于x的方程x2+2(k-1)x+k2=0有实数根,则k的取值范围是( B )A.k<B.k≤C.k>D.k≥4.(2022台州中考)下列关于x的一元二次方程中,有两个不相等的实数根的方程是( D )A.x2+1=0B.x2+2x+1=0C.x2+2x+3=0D.x2+2x-3=05.若关于x的一元二次方程x2+2(k-1)x+k2-1=0有实数根,则k的取值范围是( D )A.k≥1B.k>1C.k<1D.k≤16.(雅安中考)已知关于x的一元二次方程x2+mx-8=0的一个实数根为2,则另一个实数根及m的值分别为( D )A.4,-2B.-4,-2C.4,2D.-4,27.关于x的方程x2-4x+m=0有两个相等的实数根,÷的值为( B )A.1B.-1C.2D.-28.(2022邢台中考模拟)某校九年级学生毕业时,每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念,全班共送了2070张相片,如果全班有x名学生,根据题意,列出方程为( A )A.x(x-1)=2070B.x(x+1)=2070C.2x(x+1)=2070D.=20709.(衡阳中考)随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展,家用汽车已越来越多地进入普通家庭,抽样调查显示,截止2022年底某市汽车拥有量为16.9万辆.已知2022年底该市汽车拥有量为10万辆,设2022年底至2022年底该市汽车拥有量的平均增长率为x,根据题意列方程得( A )4\nA.10(1+x)2=16.9B.10(1+2x)=16.9C.10(1-x)2=16.9D.(1-2x)=16.910.(台州中考)有x支球队参加篮球比赛,共比赛了45场,每两队之间都比赛一场,则下列方程中符合题意的是( A )A.x(x-1)=45B.x(x+1)=45C.x(x-1)=45D.x(x+1)=4511.(2022烟台中考)广州市政府决定改善城市面貌,绿化环境,计划经过两年时间,绿化面积增加44%,这两年平均每年绿化面积的增长率为__20%__.12.解方程:3x(x-2)=2(2-x).解:x1=-,x2=2.13.(2022河北中考说明)关于x的方程(a-1)x2+x+1=0是一元二次方程,则a的取值范围是( B )A.a≥-1B.a≥-1且a≠1C.a≥1D.a>114.(烟台中考)等腰三角形三边长分别为a,b,2,且a,b是关于x的一元二次方程x2-6x+n-1=0的两根,则n的值为( B )A.9B.10C.9或10D.8或1015.(聊城中考)如果关于x的一元二次方程kx2-3x-1=0有两个不相等的实根,那么k的取值范围是__k>-且k≠0__.16.已知关于x的方程x2+mx+m-2=0.(1)若此方程的一个根为1,求m的值;(2)求证:不论m取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.解:(1)根据题意,将x=1代入方程x2+mx+m-2=0,得1+m+m-2=0,解得m=;(2)∵Δ=m2-4×1×(m-2)=m2-4m+8=(m-2)2+4>0,∴不论m取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.4\n17.(2022孝感中考)某商店从厂家以21元的价格购进一批商品,该商店可以自行定价,若每件商品售价为a元,则可卖(350-10a)件,但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%.商店计划要赚400元,需要卖出多少件商品?每件商品的售价为多少元?解:由题意,得(a-21)(350-10a)=400,解得a1=25,a2=31.∵31>21×(1+20%),∴a=31舍去,∴a=25.∴400÷(25-21)=100.因此需卖出100件商品,每件的售价为25元.18.(2022内江中考)某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为2∶1,在温室内,沿前侧内墙保留3m宽的空地,其他三侧内墙各保留1m宽的通道,当矩形温室的长与宽各为多少时,蔬菜种植区域的面积是288m2?解:设矩形温室长2xm,宽xm,则(x-2)(2x-4)=288,x1=14,x2=-10(舍去).答:矩形温室的长为28m,宽为14m.19.如图,要利用一面墙(墙长为25m)建羊圈,用100m的围栏围成总面积为400m2的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边长AB,BC各为多少米.解:设AB的长度为xm,则BC的长度为(100-4x)m.根据题意得(100-4x)x=400,解得x1=20,x2=5.则100-4x=20或100-4x=80.∵80>25,∴x2=5舍去.即AB=20m,BC=20m.答:羊圈的边长AB,BC分别是20m,20m.20.(永州中考)某种商品的标价为400元/件,经过两次降价后的价格为324元/件,4\n并且两次降价的百分率相同.(1)求该种商品每次降价的百分率;(2)若该种商品进价为300元/件,两次降价共售出此种商品100件,为使两次降价销售的总利润不少于3210元.问第一次降价后至少要售出该种商品多少件?解:(1)设该种商品每次降价的百分率为x%,依题意,得400×(1-x%)2=324,解得x=10或x=190(舍去).答:该种商品每次降价的百分率为10%;(2)设第一次降价后售出该种商品m件,则第二次降价后售出该种商品(100-m)件,第一次降价后的单件利润为:400×(1-10%)-300=60(元/件);第二次降价后的单件利润为:324-300=24(元/件).依题意得:60m+24×(100-m)=36m+2400≥3210,解得m≥22.5.∴m≥23.答:为使两次降价销售的总利润不少于3210元,第一次降价后至少要售出该种商品23件.4