第二节 一元二次方程及应用河北五年中考命题规律年份题号考查点考查内容分值总分202219一元二次方程的解法综合题，在新定义的背景下用直接开平方法解一元二次方程3726(2)一元二次方程及根的判别式利用题中已知条件列出方程，并用判别式判断根的情况4202214一元二次方程根的判别式利用已知条件判断含字母系数的一元二次方程的根的情况22202212一元二次方程根的判别式考一元二次方程无实数根求参数的取值范围22202221解一元二次方程(1)从推导一元二次方程的求根公式的步骤中找错误，并写出正确的求根公式；(2)用配方法解一元二次方程10102022年未考查命题规律纵观河北近五年中考，2022、2022、2022、2022年考查了一元二次方程，分值2～10分，涉及的题型有选择、填空、解答，题目难度一般，其中一元二次方程的配方法在选择和解答题中各考查了1次，一元二次方程的应用在选择、填空中各考过1次，一元二次方程根的判别式考查了3次，属基础题.河北五年中考真题及模拟 一元二次方程的解法1．(2022河北中考)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式时，对于b2－4ac>0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax2＋bx＋c＝0变形为：x2＋x＝－，第一步x2＋x＋＝－＋，第二步8\n＝，第三步x＋＝(b2－4ac＞0)，第四步x＝.第五步(1)嘉淇的解法从第__四__步开始出现错误；事实上，当b2－4ac>0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为__x＝__．(2)用配方法解方程：x2－2x－24＝0.解：x1＝6，x2＝－4.2．(2022沧州中考模拟)在解方程(x＋2)(x－2)＝5时，甲同学说：由于5＝1×5，可令x＋2＝1，x－2＝5，得方程的根x1＝－1，x2＝7；乙同学说：应把方程右边化为0，得x2－9＝0，再分解因式，即(x＋3)(x－3)＝0，得方程的根x1＝－3，x2＝3.对于甲、乙两名同学的说法，下列判断正确的是( A )A．甲错误，乙正确B．甲正确，乙错误C．甲、乙都正确D．甲、乙都错误3．(2022石家庄二十八中一模)现定义运算“★”，对于任意实数a，b，都有a★b＝a2－3a＋b，如3★5＝32－3×3＋5，若x★2＝6，则实数x的值是( B )A．－4或－1B．4或－1C．4或－2D．－4或2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系4．(2022河北中考)若关于x的方程x2＋2x＋a＝0不存在实数根，则a的取值范围是( B )A．a<1B．a>1C．a≤1D．a≥15．(2022河北中考)a，b，c为常数，且(a－c)2>a2＋c2，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0根的情况是( B )A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．有一根为06．(2022唐山十三中三模)已知关于x的方程2x2－mx－6＝0的一个根是2，则m＝__1__，另一个根为__－__．7．(2022唐山二模)对于实数a，b，定义新运算“*”：a*b＝例如：4*2，因为4>2，所以4*2＝42－4×2＝8.(1)求(－5)*(－3)的值；(2)若x1，x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的两个根，求x1*x2的值．解：(1)∵－5<－3，∴(－5)*(－3)＝(－5)×(－3)－(－3)2＝6；(2)方程x2－5x＋6＝0的两根为2或3；①2*3＝2×3－9＝－3；②3*2＝32－2×3＝3. 一元二次方程的应用8．(2022邯郸25中模拟)某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为( D )A．48(1－x)2＝36B．48(1＋x)2＝36C．36(1－x)2＝48D．36(1＋x)2＝489．(2022石家庄十八县重点中学一模)为落实“两免一补”政策，某市2022年投入教育经费2500万元，预计2022年要投入教育经费3600万元．已知2022年至2022年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2022年该市要投入的教育经费为__3__000__万元．10．(2022河北中考)某厂按用户的月需求量x(件)完成一种产品的生产，其中x＞0.每件的售价为18万元，每件的成本y(万元)是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，8\n浮动价与月需求量x(件)成反比．经市场调研发现，月需求量x与月份n(n为整数，1≤n≤12)符合关系式x＝2n2－2kn＋9(k＋3)(k为常数)，且得到了表中的数据．月份n(月)12成本y(万元/件)1112需求量x(件/月)120100(1)求y与x满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；(2)求k，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；(3)在这一年12个月中，若第m个月和第(m＋1)个月的利润相差最大，求m.解：(1)由题意，设y＝a＋，由表中数据得解得∴y＝6＋，由题意，若12＝18－，则＝0，∵x＞0，∴＞0，∴不可能；(2)将n＝1，x＝120代入x＝2n2－2kn＋9(k＋3)，得120＝2－2k＋9k＋27，解得k＝13，∴x＝2n2－26n＋144，将n＝2，x＝100代入x＝2n2－26n＋144也符合，∴k＝13；由题意，得18＝6＋，解得x＝50，∴50＝2n2－26n＋144，即n2－13n＋47＝0，∵Δ＝(－13)2－4×1×47＜0，∴方程无实数根，∴不存在；(3)设第m个月的利润为W，W＝x(18－y)＝18x－x＝12(x－50)＝24(m2－13m＋47)，∴第(m＋1)个月的利润为W′＝24[(m＋1)2－13(m＋1)＋47]＝24(m2－11m＋35)，若W≥W′，W－W′＝48(6－m)，m取最小值1时，W－W′取得最大值240；若W＜W′，W′－W＝48(m－6)，由m＋1≤12知m取最大值11时，W′－W取得最大值240；∴m＝1或11.8\n,中考考点清单 一元二次方程的概念1．只含有__1__个未知数，未知数的最高次数是__2__，像这样的__整式__方程叫一元二次方程．其一般形式是__ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__．【易错警示】判断一个方程是一元二次方程的条件：①是整式方程；②二次项系数不为零；③未知数的最高次数是2，且只含有一个未知数． 一元二次方程的解法2.直接开平方法这种方法适合于左边是一个完全平方式，而右边是一个非负数的一元二次方程，即形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程.配方法配方法一般适用于解二次项系数为1，一次项系数为偶数的这类一元二次方程，配方的关键是把方程左边化为含有未知数的__完全平方__式，右边是一个非负常数．公式法求根公式为__x＝(b2－4ac≥0)__，适用于所有的一元二次方程.因式分解法因式分解法的步骤：(1)将方程右边化为__0__；(2)将方程左边分解为一次因式的乘积；(3)令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.【温馨提示】关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解法：(1)当b＝0，c≠0时，x2＝－，考虑用直接开平方法解；(2)当c＝0，b≠0时，用因式分解法解；(3)当a＝1，b为偶数时，用配方法解简便． 一元二次方程根的判别式3．根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可由__b2－4ac__来判定，我们将__b2－4ac__称为根的判别式．4．判别式与根的关系：(1)b2－4ac>0⇔方程有__两个不相等__的实数根；(2)b2－4ac<0⇔方程没有实数根；(3)b2－4ac＝0⇔方程有__两个相等__的实数根．【易错警示】(1)一元二次方程有实数根的前提是b2－4ac≥0；(2)当a，c异号时，Δ>0. 一元二次方程的应用5．列一元二次方程解应用题的步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)列方程；(4)解方程；(5)检验；(6)做结论．6．一元二次方程应用问题常见的等量关系：(1)增长率中的等量关系：增长率＝增量÷基础量；8\n(2)利率中的等量关系：本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×时间；(3)利润中的等量关系：毛利润＝售出价－进货价，纯利润＝售出价－进货价－其他费用，利润率＝利润÷进货价．,中考重难点突破 一元二次方程的解法【例1】(2022保定十七中二月调研)解下列方程：(1)(x－2)2＝；(2)x2－4x＋1＝0；(3)x2－3x＋1＝0；(4)x2＝2x.【解析】(1)可以用直接开平方法解；(2)因为b＝－4是偶数，可以用配方法解；(3)因为b＝－3是奇数，配方法解较复杂，可用公式法；(4)直接因式分解．【答案】解：(1)直接开平方，得x－2＝±，即x1＝2＋，x2＝2－；(2)配方，得(x－2)2＝3，直接开平方，得x－2＝±，即x1＝2＋，x2＝2－；(3)∵a＝1，b＝－3，c＝1，∴Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×1＝5>0，∴x＝，即x1＝，x2＝；(4)分解因式，得x(x－2)＝0.即x1＝2，x2＝0.1．方程(x－3)(x＋1)＝0的解是( C )A．x＝3B．x＝－1C．x1＝3，x2＝－1D．x1＝－3，x2＝12．(2022唐山路北一模)用配方法解一元二次方程x2＋4x－5＝0，此方程可变形为( A )A．(x＋2)2＝9B．(x－2)2＝9C．(x＋2)2＝1D．(x－2)2＝13．用公式法解方程：(1)(广东中考)x2－3x＋2＝0；解：x1＝1，x2＝2；(2)(兰州中考)x2－1＝2(x＋1)．解：x1＝－1，x2＝3. 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【例2】(2022包头中考)若关于x的不等式x－＜1的解集为x＜1，则关于x的一元二次方程x2＋ax＋1＝0根的情况是( A )A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根8\nD．无法确定【解析】解不等式x－＜1得x＜1＋，而不等式x－＜1的解集为x＜1，所以1＋＝1，解得a＝0，又因为Δ＝a2－4＝－4，所以关于x的一元二次方程x2＋ax＋1＝0没有实数根．故选C.【答案】C4．(2022唐山丰润二模)方程x2－x＋3＝0根的情况是( D )A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根5．(2022保定博野模拟)已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( C )A．a>2B．a<2C．a<2且a≠1D．a<－26．(2022咸宁中考)已知a，b，c为常数，点P(a，c)在第二象限，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是( B )A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法判断 一元二次方程的应用【例3】(2022达州中考)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x.(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为________万元；(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率．【解析】(1)根据增长率问题由第1年的可变成本为2.6万元就可以表示出第二年的可变成本为2.6(1＋x)万元，则第三年的可变成本为2.6(1＋x)2万元；(2)根据养殖成本＝固定成本＋可变成本建立方程即可．【答案】(1)2.6(1＋x)2；(2)由题意，得4＋2.6(1＋x)2＝7.146.解得x1＝0.1，x2＝－2.1(不合题意，舍去)．答：可变成本平均每年增长的百分率为10%.【例4】有一人患了流感，经过两轮传染后共有256人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染( A )A．17人B．16人C．15人D．10人【解析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人；患流感的人把病毒传染给别人，自己也包括在总数中，第二轮作为传染源的是(x＋1)人，每人传染x个人，则传染x(x＋1)人．两轮后得流感的总人数为：一开始的1人＋第一轮传染的x个人＋第二轮传染的x(x＋1)人，列方程：1＋x＋x(1＋x)＝256，解得x1＝15，x2＝－17.因为x表示人数，所以x＝－17不合题意，应舍去；取x＝15，故选C.【答案】C【例5】商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，正常销售情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？【解析】设降价x元，则每件盈利(50－x)元，数量增多2x件，再由单件利润×数量＝2100即可．【答案】解：设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品盈利(50－x)元．由题意，得(50－x)(30＋2x)＝2100.整理，得x2－35x＋300＝0.解得x1＝15，x2＝20.∵要尽快减少库存，∴x＝15不合题意，舍去，只取x＝20.答：每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2100元．【例6】(2022南通中考)如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60m，宽为40m8\n的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的甬道，设甬道宽为am.(1)用含a的式子表示花圃的面积；(2)如果甬道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时甬道的宽．【解析】(1)用含a的式子先表示出花圃的长和宽，再利用矩形面积公式列出式子即可；(2)甬道所占面积等于大长方形空地面积减去中间小花圃的面积，再根据甬道所占面积是整个长方形空地面积的，列出方程进行计算即可．【答案】解：(1)(60－2a)(40－2a)；(2)由题意，得60×40－(60－2a)(40－2a)＝×60×40，解得a1＝5，a2＝45(舍去)．答：此时甬道的宽为5m.7．(2022巴中中考)某地2022年外贸收入为2.5亿元，2022年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为x，则可以列出方程为( A )A．2.5(1＋x)2＝4B．(2.5＋x%)2＝4C．2.5(1＋x)(1＋2x)＝4D．2.5(1＋x%)2＝48．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为( C )A．(x＋1)(x＋2)＝18B．x2－3x＋16＝0C．(x－1)(x－2)＝18D．x2＋3x＋16＝09．(2022原创)有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，问每轮传染中平均一个人传染__7__个人．如果不及时控制，第三轮又将有__448__人被传染．10．为了绿化校园环境，学校向某园林公司购买了一批树苗．园林公司规定；如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，每棵所出售的这批树苗售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最终向园林公司支付树苗款8800元，那么该校共购买了多少棵树苗？解：设该校共买了x棵树苗．120×60＝7200(元)．∵7200＜8800，∴购买树苗超过60棵；x[120－0.5(x－60)]＝8800，x1＝220，x2＝80，当x＝220时，120－0.5×(220－60)＝40＜100，8\n∴x＝220舍去．∴x＝80.答：该校共购买了80棵树苗．8
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